Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
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Abbildung 16: i) Die Funktion x ↦→ f µ (x) für µ ∈ (1, 2) ii) Die Funktion x ↦→ fµ 2 (x) für µ ∈ (2, 3).
Wenn µ > 3 ist, wird das Verhalten mit zunehmendem µ komplizierter. Dieses Anwachsen
an Komplexität wollen wir später im Detail untersuchen. Für µ > 4 liegt chaotische Dynamik
vor, die wir nun genauer betrachten wollen. In diesem Fall gilt für das Maximum f µ (1/2) > 1.
Damit gibt es eine offene Menge
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Abbildung 17: Die Funktion x ↦→ f µ (x) für µ > 4.
A 0 = {x ∈ I = [0, 1] | f µ (x) > 1}.
Für x ∈ A 0 gilt fµ 2 (x) < 0 und folglich f µ n (x) → −∞ für n → ∞. Definiere dann A 1 = {x ∈
I | f µ (x) ∈ A 0 }. Für x ∈ A 1 gilt fµ 3 (x) < 0 und folglich f µ n (x) → −∞ für n → ∞. Weiter
setzen wir
A n = {x ∈ I | f n µ (x) ∈ A 0}
= {x ∈ I | f j µ(x) ∈ I für j ≤ n, aber f n+1
µ (x) ∉ I},
d.h. A n besteht aus allen Punkten, die I bei der n + 1-ten Iteration verlassen.
Wir analysieren nun die Dynamik auf der Menge
Λ = I − (∪ ∞ n=0 A n),
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