Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Zum Nachweis der Stabilität verwenden wir folgendes Kriterium. Theorem 4.19 Der Fixpunkt x = 0 ist stabil (bzw. instabil) unter der Iteration x n+1 =Bx n +g(x n ), g(x) = O(|x| 2 ), wenn |B| < 1 (bzw. |B| > 1). Beweis: Setze b = |B| − 1. Nach Voraussetzung gibt es ein ɛ > 0, so daß |g(x)| ≤ |b||x|/2 für alle |x| ≤ ɛ. Damit gilt im Fall |B| > 1, daß |x n+1 | ≥ |B||x n | − |b||x n | ≥ |1 + b/2||x n | für |x| ≤ ɛ, woraus unmittelbar die Instabilität folgt. Denn für alle δ > 0 gibt es ein n ∈ N mit |x n | ≥ |1 + b/2| n δ ≥ ɛ. Im Fall |B| < 1, d.h. auch |1 + b/2| < 1, folgt |x n+1 | ≤ |B||x n | − |b||x n | ≤ |1 + b/2||x n | und damit unmittelbar die Stabilität. Wähle dazu δ = ɛ. Bemerkung: Ist x ∈ R d , so ist x = 0 stabil, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die Bedingung |λ| < 1 erfüllen. Gibt es ein Eigenwert mit |λ| > 1, so ist x = 0 instabil. Der Punkt x = 0 heißt hyperbolisch, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die Bedingung |λ| ≠ 1 erfüllen. Wir wenden dieses Kriterium nun an. Dazu betrachten wir die Linearisierung um die Fixpunkte i) x = 0: y n+1 = f ′ µ(0)y n mit f ′ µ (0) = µ(1 − 2x)| x=0 = µ. Da der Eigenwert µ der Linearierung für µ ∈ (1, 3) außerhalb des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0 instabil ii) x = p µ : y n+1 = f ′ µ(p µ )y n mit f µ ′ (p µ) = µ(1 − 2x)| x=pµ = µ(1 − 2(µ − 1)/µ) = −µ + 2. Da der Eigenwert −µ + 2 der Linearierung für µ ∈ (1, 3) innerhalb des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0 stabil. Es gilt zusätzlich Lemma 4.20 Sei µ ∈ (1, 3) und x ∈ (0, 1), so gilt lim n→∞ f n µ (x) = p µ . Beweis: Sei zunächst µ ∈ (1, 2). Es gilt dann f µ (1/2) < 1/2. Für x ∈ (0, 1/2) folgt sofort, daß |f µ (x) − p µ | < |x − p µ |, womit sofort die Behauptung folgt. Ist x ∈ (1/2, 1), so folgt f µ (x) ∈ (0, 1/2) und die Überlegungen für x ∈ (0, 1/2) sind sofort anwendbar. Sei jetzt µ ∈ (2, 3). Hier betrachten wir fµ. 2 Aus dem Graph von fµ 2 ist sofort klar, daß es für µ
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abbildung 16: i) Die Funktion x ↦→ f µ (x) für µ ∈ (1, 2) ii) Die Funktion x ↦→ fµ 2 (x) für µ ∈ (2, 3). Wenn µ > 3 ist, wird das Verhalten mit zunehmendem µ komplizierter. Dieses Anwachsen an Komplexität wollen wir später im Detail untersuchen. Für µ > 4 liegt chaotische Dynamik vor, die wir nun genauer betrachten wollen. In diesem Fall gilt für das Maximum f µ (1/2) > 1. Damit gibt es eine offene Menge 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abbildung 17: Die Funktion x ↦→ f µ (x) für µ > 4. A 0 = {x ∈ I = [0, 1] | f µ (x) > 1}. Für x ∈ A 0 gilt fµ 2 (x) < 0 und folglich f µ n (x) → −∞ für n → ∞. Definiere dann A 1 = {x ∈ I | f µ (x) ∈ A 0 }. Für x ∈ A 1 gilt fµ 3 (x) < 0 und folglich f µ n (x) → −∞ für n → ∞. Weiter setzen wir A n = {x ∈ I | f n µ (x) ∈ A 0} = {x ∈ I | f j µ(x) ∈ I für j ≤ n, aber f n+1 µ (x) ∉ I}, d.h. A n besteht aus allen Punkten, die I bei der n + 1-ten Iteration verlassen. Wir analysieren nun die Dynamik auf der Menge Λ = I − (∪ ∞ n=0 A n), 47
- Seite 1 und 2: Gewöhnliche Differentialgleichunge
- Seite 3 und 4: Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2
- Seite 5 und 6: Im nichtautonomen Fall lautet dies
- Seite 7 und 8: Geschichte: Die Beschreibung der Me
- Seite 9 und 10: ii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ iii)
- Seite 11 und 12: Ist g ≡ 0, so gilt: x(t) = c 1 x
- Seite 13 und 14: Die Exponentialreihe e At kann wie
- Seite 15 und 16: 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1
- Seite 17 und 18: ε δ x=x(t) x 0 x 1 Abbildung 4: S
- Seite 19 und 20: Betrachte das autonome System ẋ =
- Seite 21 und 22: Dieses Lemma gilt allgemein für T
- Seite 23 und 24: Unteraum. Wie bei Differentialgleic
- Seite 25 und 26: 3 Nichtlineare Systeme Wir betracht
- Seite 27 und 28: nur aufhören zu existieren, falls
- Seite 29 und 30: Ist f differenzierbar, so hängt di
- Seite 31 und 32: Beweis: Die Differenz r(t) = x(t)
- Seite 33 und 34: Theorem 3.16 Sei f : R d × [t 0 ,
- Seite 35 und 36: und für die gesuchte Näherung spe
- Seite 37 und 38: und somit die Konvergenz der Lösun
- Seite 39 und 40: Beweis: Zum Nachweis dieses Satzes
- Seite 41 und 42: x µ Abbildung 11: Transkritische B
- Seite 43 und 44: kann für α = 0 explizit gelöst w
- Seite 45: O − (x) eines Punktes x ∈ R dur
- Seite 49 und 50: zu a) In diesem Fall ist p ∈ Λ n
- Seite 51 und 52: iii) Sei a ∈ Σ 2 und δ > 0 gege
- Seite 53 und 54: Einschub: Periodenverdopplung und d
- Seite 55 und 56: Theorem 4.33 Perioden-Verdopplungs-
- Seite 57 und 58: esitzt n-periodische Lösungen y n
- Seite 59 und 60: ii) Die periodische Lösung heißt
- Seite 61 und 62: Beispiel 4.43 (Pitchfork-Bifurkatio
- Seite 63 und 64: 5 Dynamik in der Nähe eines Fixpun
- Seite 65 und 66: und Damit ist T (·, f) : Cb 0 →
- Seite 67 und 68: Offensichtlich ist W s = E s . Für
- Seite 69 und 70: erhalten wir W c = {(µ, x, y) ∈
- Seite 71 und 72: Lemma 5.20 Es sei ˜f ∈ C k für
- Seite 73 und 74: Lemma 5.25 Für jedes η ∈ (0, β
- Seite 75 und 76: Beispiel 5.30 Wir betrachten das di
- Seite 77 und 78: Wir suchen nun Koordinatentransform
- Seite 79 und 80: Zu α 30 a 3 : Die Nichtresonanzbed
- Seite 81 und 82: 6 Homokline und heterokline Lösung
- Seite 83 und 84: Abbildung 24: Schnitt der Lösung m
- Seite 85 und 86: mit 0 ≤ ɛ ≪ 1 ein kleiner Para
- Seite 87 und 88: q ε p ε Abbildung 27: Unendlich v
- Seite 89 und 90: i) Λ enthält eine abzählbare Men
- Seite 91 und 92: wobei q u ɛ (t 0 ) = q u ɛ (t 0 ,
- Seite 93 und 94: Bemerkung 6.21 Durch die Koordinate
- Seite 95 und 96: (x,y,z ) 1 q q (r 0 θ ,z) p p Abbi
Zum Nachweis der Stabilität verwenden wir folgendes Kriterium.<br />
Theorem 4.19 Der Fixpunkt x = 0 ist stabil (bzw. instabil) unter der Iteration x n+1 =Bx n +g(x n ),<br />
g(x) = O(|x| 2 ), wenn |B| < 1 (bzw. |B| > 1).<br />
Beweis: Setze b = |B| − 1. Nach Voraussetzung gibt es ein ɛ > 0, so daß |g(x)| ≤ |b||x|/2 für<br />
alle |x| ≤ ɛ. Damit gilt im Fall |B| > 1, daß<br />
|x n+1 | ≥ |B||x n | − |b||x n | ≥ |1 + b/2||x n |<br />
für |x| ≤ ɛ, woraus unmittelbar die Instabilität folgt. Denn für alle δ > 0 gibt es ein n ∈ N mit<br />
|x n | ≥ |1 + b/2| n δ ≥ ɛ. Im Fall |B| < 1, d.h. auch |1 + b/2| < 1, folgt<br />
|x n+1 | ≤ |B||x n | − |b||x n | ≤ |1 + b/2||x n |<br />
<strong>und</strong> damit unmittelbar die Stabilität. Wähle dazu δ = ɛ.<br />
Bemerkung: Ist x ∈ R d , so ist x = 0 stabil, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die<br />
Bedingung |λ| < 1 erfüllen. Gibt es ein Eigenwert mit |λ| > 1, so ist x = 0 instabil. Der Punkt<br />
x = 0 heißt hyperbolisch, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die Bedingung |λ| ≠ 1<br />
erfüllen.<br />
Wir wenden dieses Kriterium nun an. Dazu betrachten wir die Linearisierung um die Fixpunkte<br />
i) x = 0:<br />
y n+1 = f ′ µ(0)y n<br />
mit f ′ µ (0) = µ(1 − 2x)| x=0 = µ. Da der Eigenwert µ der Linearierung für µ ∈ (1, 3) außerhalb<br />
des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0 instabil<br />
ii) x = p µ :<br />
y n+1 = f ′ µ(p µ )y n<br />
mit f µ ′ (p µ) = µ(1 − 2x)| x=pµ = µ(1 − 2(µ − 1)/µ) = −µ + 2. Da der Eigenwert −µ + 2 der<br />
Linearierung für µ ∈ (1, 3) innerhalb des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0<br />
stabil.<br />
Es gilt zusätzlich<br />
Lemma 4.20 Sei µ ∈ (1, 3) <strong>und</strong> x ∈ (0, 1), so gilt lim n→∞ f n µ (x) = p µ .<br />
Beweis: Sei zunächst µ ∈ (1, 2). Es gilt dann f µ (1/2) < 1/2. Für x ∈ (0, 1/2) folgt sofort,<br />
daß |f µ (x) − p µ | < |x − p µ |, womit sofort die Behauptung folgt. Ist x ∈ (1/2, 1), so folgt<br />
f µ (x) ∈ (0, 1/2) <strong>und</strong> die Überlegungen für x ∈ (0, 1/2) sind sofort anwendbar.<br />
Sei jetzt µ ∈ (2, 3). Hier betrachten wir fµ. 2 Aus dem Graph von fµ 2 ist sofort klar, daß es für<br />
µ