Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Zum Nachweis der Stabilität verwenden wir folgendes Kriterium. Theorem 4.19 Der Fixpunkt x = 0 ist stabil (bzw. instabil) unter der Iteration x n+1 =Bx n +g(x n ), g(x) = O(|x| 2 ), wenn |B| < 1 (bzw. |B| > 1). Beweis: Setze b = |B| − 1. Nach Voraussetzung gibt es ein ɛ > 0, so daß |g(x)| ≤ |b||x|/2 für alle |x| ≤ ɛ. Damit gilt im Fall |B| > 1, daß |x n+1 | ≥ |B||x n | − |b||x n | ≥ |1 + b/2||x n | für |x| ≤ ɛ, woraus unmittelbar die Instabilität folgt. Denn für alle δ > 0 gibt es ein n ∈ N mit |x n | ≥ |1 + b/2| n δ ≥ ɛ. Im Fall |B| < 1, d.h. auch |1 + b/2| < 1, folgt |x n+1 | ≤ |B||x n | − |b||x n | ≤ |1 + b/2||x n | und damit unmittelbar die Stabilität. Wähle dazu δ = ɛ. Bemerkung: Ist x ∈ R d , so ist x = 0 stabil, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die Bedingung |λ| < 1 erfüllen. Gibt es ein Eigenwert mit |λ| > 1, so ist x = 0 instabil. Der Punkt x = 0 heißt hyperbolisch, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die Bedingung |λ| ≠ 1 erfüllen. Wir wenden dieses Kriterium nun an. Dazu betrachten wir die Linearisierung um die Fixpunkte i) x = 0: y n+1 = f ′ µ(0)y n mit f ′ µ (0) = µ(1 − 2x)| x=0 = µ. Da der Eigenwert µ der Linearierung für µ ∈ (1, 3) außerhalb des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0 instabil ii) x = p µ : y n+1 = f ′ µ(p µ )y n mit f µ ′ (p µ) = µ(1 − 2x)| x=pµ = µ(1 − 2(µ − 1)/µ) = −µ + 2. Da der Eigenwert −µ + 2 der Linearierung für µ ∈ (1, 3) innerhalb des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0 stabil. Es gilt zusätzlich Lemma 4.20 Sei µ ∈ (1, 3) und x ∈ (0, 1), so gilt lim n→∞ f n µ (x) = p µ . Beweis: Sei zunächst µ ∈ (1, 2). Es gilt dann f µ (1/2) < 1/2. Für x ∈ (0, 1/2) folgt sofort, daß |f µ (x) − p µ | < |x − p µ |, womit sofort die Behauptung folgt. Ist x ∈ (1/2, 1), so folgt f µ (x) ∈ (0, 1/2) und die Überlegungen für x ∈ (0, 1/2) sind sofort anwendbar. Sei jetzt µ ∈ (2, 3). Hier betrachten wir fµ. 2 Aus dem Graph von fµ 2 ist sofort klar, daß es für µ
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abbildung 16: i) Die Funktion x ↦→ f µ (x) für µ ∈ (1, 2) ii) Die Funktion x ↦→ fµ 2 (x) für µ ∈ (2, 3). Wenn µ > 3 ist, wird das Verhalten mit zunehmendem µ komplizierter. Dieses Anwachsen an Komplexität wollen wir später im Detail untersuchen. Für µ > 4 liegt chaotische Dynamik vor, die wir nun genauer betrachten wollen. In diesem Fall gilt für das Maximum f µ (1/2) > 1. Damit gibt es eine offene Menge 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abbildung 17: Die Funktion x ↦→ f µ (x) für µ > 4. A 0 = {x ∈ I = [0, 1] | f µ (x) > 1}. Für x ∈ A 0 gilt fµ 2 (x) < 0 und folglich f µ n (x) → −∞ für n → ∞. Definiere dann A 1 = {x ∈ I | f µ (x) ∈ A 0 }. Für x ∈ A 1 gilt fµ 3 (x) < 0 und folglich f µ n (x) → −∞ für n → ∞. Weiter setzen wir A n = {x ∈ I | f n µ (x) ∈ A 0} = {x ∈ I | f j µ(x) ∈ I für j ≤ n, aber f n+1 µ (x) ∉ I}, d.h. A n besteht aus allen Punkten, die I bei der n + 1-ten Iteration verlassen. Wir analysieren nun die Dynamik auf der Menge Λ = I − (∪ ∞ n=0 A n), 47
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Zum Nachweis der Stabilität verwenden wir folgendes Kriterium.<br />
Theorem 4.19 Der Fixpunkt x = 0 ist stabil (bzw. instabil) unter der Iteration x n+1 =Bx n +g(x n ),<br />
g(x) = O(|x| 2 ), wenn |B| < 1 (bzw. |B| > 1).<br />
Beweis: Setze b = |B| − 1. Nach Voraussetzung gibt es ein ɛ > 0, so daß |g(x)| ≤ |b||x|/2 für<br />
alle |x| ≤ ɛ. Damit gilt im Fall |B| > 1, daß<br />
|x n+1 | ≥ |B||x n | − |b||x n | ≥ |1 + b/2||x n |<br />
für |x| ≤ ɛ, woraus unmittelbar die Instabilität folgt. Denn für alle δ > 0 gibt es ein n ∈ N mit<br />
|x n | ≥ |1 + b/2| n δ ≥ ɛ. Im Fall |B| < 1, d.h. auch |1 + b/2| < 1, folgt<br />
|x n+1 | ≤ |B||x n | − |b||x n | ≤ |1 + b/2||x n |<br />
<strong>und</strong> damit unmittelbar die Stabilität. Wähle dazu δ = ɛ.<br />
Bemerkung: Ist x ∈ R d , so ist x = 0 stabil, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die<br />
Bedingung |λ| < 1 erfüllen. Gibt es ein Eigenwert mit |λ| > 1, so ist x = 0 instabil. Der Punkt<br />
x = 0 heißt hyperbolisch, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die Bedingung |λ| ≠ 1<br />
erfüllen.<br />
Wir wenden dieses Kriterium nun an. Dazu betrachten wir die Linearisierung um die Fixpunkte<br />
i) x = 0:<br />
y n+1 = f ′ µ(0)y n<br />
mit f ′ µ (0) = µ(1 − 2x)| x=0 = µ. Da der Eigenwert µ der Linearierung für µ ∈ (1, 3) außerhalb<br />
des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0 instabil<br />
ii) x = p µ :<br />
y n+1 = f ′ µ(p µ )y n<br />
mit f µ ′ (p µ) = µ(1 − 2x)| x=pµ = µ(1 − 2(µ − 1)/µ) = −µ + 2. Da der Eigenwert −µ + 2 der<br />
Linearierung für µ ∈ (1, 3) innerhalb des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0<br />
stabil.<br />
Es gilt zusätzlich<br />
Lemma 4.20 Sei µ ∈ (1, 3) <strong>und</strong> x ∈ (0, 1), so gilt lim n→∞ f n µ (x) = p µ .<br />
Beweis: Sei zunächst µ ∈ (1, 2). Es gilt dann f µ (1/2) < 1/2. Für x ∈ (0, 1/2) folgt sofort,<br />
daß |f µ (x) − p µ | < |x − p µ |, womit sofort die Behauptung folgt. Ist x ∈ (1/2, 1), so folgt<br />
f µ (x) ∈ (0, 1/2) <strong>und</strong> die Überlegungen für x ∈ (0, 1/2) sind sofort anwendbar.<br />
Sei jetzt µ ∈ (2, 3). Hier betrachten wir fµ. 2 Aus dem Graph von fµ 2 ist sofort klar, daß es für<br />
µ
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