Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

O − (x) eines Punktes x ∈ R durch die Menge der Punkte x, f −1 (x), f −2 (x), . . . definiert werden.
Der Orbit O(x) von x ist dann durch O(x) = O + (x) ∪ O − (x) gegeben.
Definition 4.15 Ein Punkt x ∈ R heißt Fixpunkt von f, wenn f(x) = x gilt. Ein Punkt x ∈ R
heißt periodischer Punkt der Periode n, wenn f n (x) = x gilt. Das kleinste solche n heißt minimale
Periode. Die Menge der Iterierten eines periodischen Punktes definiert einen periodischen
Orbit. Die Menge der Fixpunkte bezeichnen wir mit Fix(f). Die Menge der periodischen Punkte
der Periode n bezeichnen wir mit Per n (f).
Beispiel: Die Abbildung f(x) = −x besitzt den Fixpunkt x = 0. Jeder Punkt x ∈ R ist ein
periodischer Punkt der Periode 2, da f 2 (x) = x.
Beispiel: Sei S 1 = R/2πZ der Einheitskreis in der Ebene. Ein Punkt in S 1 ist eindeutig durch
seinen Winkel θ festgelegt. Betrachte dann f(θ) = 2θ. Da f(θ) = f(θ + 2π) gilt, ist diese
Abbildung wohldefiniert. Es gilt f n (θ) = 2 n θ, so daß θ ein periodischer Punkt der Periode n
ist genau dann wenn 2 n θ = θ + 2kπ für ein k ∈ Z, d.h. wenn θ = 2kπ/(2 n − 1). Damit
sind die periodischen Punkte der Periode n die (2 n −1)–ten Einheitswurzeln. Für n = 2 ergibt
sich der 2-periodische Orbit (1/3, 2/3)2π. Für n = 3 ergeben sich die 3-periodischen Orbits
(1/7, 2/7, 4/7)2π und (3/7, 6/7, 5/7)2π. Für n = 4 ergeben sich die 4-periodischen Orbits
(1/15, 2/15, 4/15, 8/15)2π, (3/15, 6/15, 12/15, 9/15)2π und (7/15, 14/15, 13/15, 11/15)2π.
Der Einfachheit halber betrachten wir im folgenden konkret die Familie der Abbildungen
f µ (x) = µx(1 − x).
Zunächst untersuchen wir die Fixpunkte und deren Stabilität.
Lemma 4.16 Es gilt f µ (0) = f µ (1) = 0 und für alle µ > 1 existiert ein nicht trivialer Fixpunkt
p µ = f µ (p µ ) = µ − 1
µ
∈ (0, 1).
Beweis: Aus der Bedingung µx(1 − x) = x folgt sofort die Behauptung.
□
Lemma 4.17 Sei µ > 1. Für x < 0 oder x > 1 gilt fµ n (x) → −∞ für n → ∞
Beweis: Wenn x < 0, dann gilt f µ (x) = µx(1−x) 1 und (1−x) > 1. Angenommen
es existiert ein p < 0 mit lim n→∞ fµ n (x) = p. Dann gilt lim n→∞ fµ n+1 (x) = f µ (p) < p im
Widerspruch zu lim n→∞ fµ n+1 (x) = p. Da f µ (x) < 0 für x > 1, ist das Lemma bewiesen. □
Für µ ∈ (1, 3) ist der Fixpunkt p µ = µ − 1
µ stabil. Im Gegensatz dazu ist der Fixpunkt x = 0
instabil.
Definition 4.18 Ein Fixpunkt p µ heißt stabil, wenn für alle ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, so daß
|f n µ (x) − p µ| < ɛ für alle n ∈ N, falls |x − p µ | < δ. Ist p µ nicht stabil, so heißt p µ instabil. Ein
n-periodischer Punkt heißt stabil, falls er stabil unter der n-ten Iteration F n ist (entsprechend
instabil).
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