Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

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Im Im Re Re Abbildung 14: Zwei konjugiert komplexe Eigenwerte mit nichtverschwindendem Imaginärteil überqueren die imaginäre Achse. Wir sprechen von einer superkritischen Hopf-Bifurkation. Diese Familie zieht für festes µ jede Lösung mit einer exponentiellen Rate O(exp(−2µt)) an. Siehe Abbildung 15. Abbildung 15: Das Phasenbild für µ > 0. Wie wir später sehen werden, findet diese Bifurkation generischerweise statt, wenn ein Fixpunkt dadurch instabil wird, dass ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte die imaginäre Achse überquert. 4.3 Intervallabbildungen Bei der Untersuchung der Stabilität periodischer Lösungen werden wir die diskrete Poincaré- Abbildung verwenden. Deshalb schieben wir hier Betrachtungen zu Iterationen x n+1 = f(x n ) mit f : R → R ein. Definition 4.14 Der Vorwärtsorbit eines Punktes x ∈ R ist die Menge der Punkte x, f(x), f 2 (x) usw. Er wird mit O + (x) bezeichnet. Ist f ein Homöomorphismus, so kann der Rückwärtsorbit 44
O − (x) eines Punktes x ∈ R durch die Menge der Punkte x, f −1 (x), f −2 (x), . . . definiert werden. Der Orbit O(x) von x ist dann durch O(x) = O + (x) ∪ O − (x) gegeben. Definition 4.15 Ein Punkt x ∈ R heißt Fixpunkt von f, wenn f(x) = x gilt. Ein Punkt x ∈ R heißt periodischer Punkt der Periode n, wenn f n (x) = x gilt. Das kleinste solche n heißt minimale Periode. Die Menge der Iterierten eines periodischen Punktes definiert einen periodischen Orbit. Die Menge der Fixpunkte bezeichnen wir mit Fix(f). Die Menge der periodischen Punkte der Periode n bezeichnen wir mit Per n (f). Beispiel: Die Abbildung f(x) = −x besitzt den Fixpunkt x = 0. Jeder Punkt x ∈ R ist ein periodischer Punkt der Periode 2, da f 2 (x) = x. Beispiel: Sei S 1 = R/2πZ der Einheitskreis in der Ebene. Ein Punkt in S 1 ist eindeutig durch seinen Winkel θ festgelegt. Betrachte dann f(θ) = 2θ. Da f(θ) = f(θ + 2π) gilt, ist diese Abbildung wohldefiniert. Es gilt f n (θ) = 2 n θ, so daß θ ein periodischer Punkt der Periode n ist genau dann wenn 2 n θ = θ + 2kπ für ein k ∈ Z, d.h. wenn θ = 2kπ/(2 n − 1). Damit sind die periodischen Punkte der Periode n die (2 n −1)–ten Einheitswurzeln. Für n = 2 ergibt sich der 2-periodische Orbit (1/3, 2/3)2π. Für n = 3 ergeben sich die 3-periodischen Orbits (1/7, 2/7, 4/7)2π und (3/7, 6/7, 5/7)2π. Für n = 4 ergeben sich die 4-periodischen Orbits (1/15, 2/15, 4/15, 8/15)2π, (3/15, 6/15, 12/15, 9/15)2π und (7/15, 14/15, 13/15, 11/15)2π. Der Einfachheit halber betrachten wir im folgenden konkret die Familie der Abbildungen f µ (x) = µx(1 − x). Zunächst untersuchen wir die Fixpunkte und deren Stabilität. Lemma 4.16 Es gilt f µ (0) = f µ (1) = 0 und für alle µ > 1 existiert ein nicht trivialer Fixpunkt p µ = f µ (p µ ) = µ − 1 µ ∈ (0, 1). Beweis: Aus der Bedingung µx(1 − x) = x folgt sofort die Behauptung. □ Lemma 4.17 Sei µ > 1. Für x < 0 oder x > 1 gilt fµ n (x) → −∞ für n → ∞ Beweis: Wenn x < 0, dann gilt f µ (x) = µx(1−x) 1 und (1−x) > 1. Angenommen es existiert ein p < 0 mit lim n→∞ fµ n (x) = p. Dann gilt lim n→∞ fµ n+1 (x) = f µ (p) 1, ist das Lemma bewiesen. □ Für µ ∈ (1, 3) ist der Fixpunkt p µ = µ − 1 µ stabil. Im Gegensatz dazu ist der Fixpunkt x = 0 instabil. Definition 4.18 Ein Fixpunkt p µ heißt stabil, wenn für alle ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, so daß |f n µ (x) − p µ| < ɛ für alle n ∈ N, falls |x − p µ | < δ. Ist p µ nicht stabil, so heißt p µ instabil. Ein n-periodischer Punkt heißt stabil, falls er stabil unter der n-ten Iteration F n ist (entsprechend instabil). 45
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(x,y,z ) 1 q q (r 0 θ ,z) p p Abbi
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Wir wollen nun eine kurze Zusammenf
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