Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

kann für α = 0 explizit gelöst werden. Mit dem Satz über implizite Funktionen können wir
y 1 = 0 + O(α 2 ) und y 2,3 = ± √ 6 + O(α 2 ) und somit x 1 = 0 und x 2,3 = ± √ 6 α + O(α 3 ) für
α > 0 zeigen.
Beispiel 4.12 (Sattel-Knoten-Bifurkation (von Fixpunkten)) Betrachte
ẋ = µ − x 2 , (x = x(t) ∈ R).
Hier entstehen zwei Fixpunkte x 1,2 = ± √ µ für µ = 0 aus dem nichts. Die Linearisierung um
x 1,2 ist durch µ ∓ 2 √ µ gegeben. Damit ist x 1 instabil und x 2 stabil. Siehe Abbildung 13.
x
µ
Abbildung 13: Die Sattel-Knoten-Bifurkation.
Wie das folgende Beispiel zeigt können in mehr als einer Raumdimension aus einem Fixpunkt
auch echt periodische Lösungen verzweigen. Eine Lösung x = x(t) der Gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt periodisch, falls es ein T > 0 gibt, so dass x(t) = x(t + T ) für alle
t ∈ R.
Beispiel 4.13 (Die Hopf-Bifurkation.) Betrachte das zweidimensionale Differentialgleichungssystem
ẋ 1 = µx 1 + x 2 − x 1 (x 2 1 + x2 2 ), ẋ 2 = −x 1 + µx 2 − x 2 (x 2 1 + x2 2
( )
)
µ 1
mit µ ∈ R. Die Linearisierung A =
um die triviale Lösung besitzt die Eigenwerte
−1 µ
λ 1,2 = µ±i, d.h. zwei konjugiert komplexe Eigenwerte mit nichtverschwindendem Imaginärteil
überqueren wie in Abbildung 14 die imaginäre Achse.
Führen wir Polarkoordinaten x 1 = r sin φ und x 2 = r cos φ mit r ≥ 0 und φ ∈ R/(2πZ) ein so
transformiert sich dass das obige System in
ṙ = µr − r 3 , ˙φ = 1,
d.h. aus der trivialen Lösung x = 0 verzweigt bei µ = 0 eine Familie periodischer Lösungen
{x = x per (t, µ, φ 0 ) | x 1 = √ µ sin(t + φ 0 ), x 2 = √ µ cos(t + φ 0 )}.
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