Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

und so c 1 = −1 und c 2 = 1/6.
Eine alternative Vorgehensweise ist das Skalieren der Lösungen ohne den Umweg über g direkt
in f. Wir setzen x = αy und erhalten die skalierte Funktion
F (y, α) = α −2 f(αy, 1 + α) = y + y 2 + O(α).
Damit haben wir für α = 0 die einfache Gleichung F (y, 0) = y + y 2 , welche explizit gelöst
werden kann. Mit dem Satz über implizite Funktionen können wir wegen
dF
dy | (y,α)=(y j ,0) = (1 + 2y)| (y,α)=(yj ,0) ≠ 0
die Funktion F in einer Umgebung um (y, α) = (y j , 0) nach y auflösen und erhalten y 0 =
0 + O(α) und y 1 = −1 + O(α).
Beispiel 4.10 (Pitchfork-Bifurkation (von Fixpunkten)) Betrachte
ẋ = µx − x 3 , (x = x(t) ∈ R).
Die lineare Stabilitätsanalysis von x = 0 ist wie oben. Der Fixpunkt x = 0 ist asymptotisch
stabil für µ < 0 und instabil für µ > 0. Bei µ = 0 überquert wie in Abbildung 10 ein reeller
Eigenwert die imaginäre Achse. Für µ = 0 verzweigen zwei weitere Fixpunkte x 2,3 = ± √ µ
aus der trivialen Lösung x 1 = 0. Es findet ein Austausch der Stabilitäten statt. Für µ < 0 ist
x 1 = 0 stabil. Für µ > 0 ist x 1 = 0 instabil und x 2,3 = ± √ µ stabil, da die Linearisierung
A = (µ − 3x 2 )| x=x2,3 = −2µ für µ > 0 den negativen Eigenwert −2µ besitzt. Da die Fixpunkte
nur für µ > 0 existieren, sprechen wir von einer superkritischen Bifurkation, im Gegensatz zur
subkritischen Bifurkation. Siehe Abbildung 12.
x
µ
Abbildung 12: Eine superkritische Pitchfork-Bifurkation von Fixpunkten.
Beispiel 4.11 Betrachte f(x, µ) = µx + sin x. Wieder wird x = 0 für µ = −1 instabil. Wir
setzen α 2 = µ + 1 und x = αy. Die umskalierte Funktion
F (y, α) = α −3 f(αy, 1 + α 2 ) = y − 1 6 y3 + O(α 2 ).
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