Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

x
µ
Abbildung 11: Transkritische Bifurkation von Fixpunkten.
für ein µ = µ 0 , so kann f nach dem Satz über implizite Funktionen nach x = x(µ) aufgelöst
werden. Damit können in dieser Umgebung neben der trivialen Lösung x 1 = 0 keine weiteren
Fixpunkte existieren. Mit Hilfe des Newtonverfahrens kann die Familie des trivialen Fixpunktes
µ ↦→ x 1 (µ) im Parameterraum solange verfolgt werden, bis die Voraussetzungen des Satzes über
implizite Funktionen verletzt sind. Siehe das Programmpaket AUTO von E. Doedel, welches in
XPP enthalten ist. Notwendig für die Verzweigung bzw. Bifurkation von Fixpunkten ist daher
∂f
∂x | x=0 = (x ∂g
∂x + g)| x=0 = g = 0
für ein µ = µ 0 , d.h. g(0, µ 0 ) = 0. Ist nun die Nicht-Degeneriertheitsbedingung
∂g
∂µ | (x,µ)=(0,µ 0 ) ≠ 0
erfüllt, so kann nach dem Satz über implizite Funktionen in einer Umgebung (x, µ) = (0, µ 0 )
die Funktion g nach µ = µ(x) aufgelöst werden und daher bifurkiert für µ = µ 0 aus der
trivialen Lösung eine von der Familie der trivialen Lösung verschiedener Fixpunkt x = x 2 (µ).
Siehe Abbildung 11.
Wir sprechen daher von einer transkritischen Bifurkation. Es findet ein Austausch der Stabilitäten
statt. Für µ < 0 ist x = 0 stabil und x = µ instabil. Für µ > 0 ist x = 0 instabil und
x = µ stabil.
Beispiel 4.9 Betrachte f(x, µ) = µx + x 2 + sin x. Es gilt f(0, µ) = 0 für alle µ ∈ R. Damit ist
x = 0 für alle µ ∈ R die triviale Lösung. Es ist
∂f
∂x | x=0 = (µ − 2x + cos x)| x=0 = µ + 1
und somit kann eine Verzweigung nur für µ + 1 = 0 stattfinden. Wir führen daher den kleinen
Bifurkationsparameter µ + 1 = α ein und erhalten g = µ + x + sin(x)/x = α + x + O(x 2 ). Da
die Nicht-Degeniertheitsbedingung ∂g/∂µ| x=0,µ=1 = 1 ≠ 0 erfüllt ist, findet eine transkritische
Bifurkation von Fixpunkten x = −α + O(α 2 ) statt.
Mittels eines Potenzreihenansatzes kann die Funktion x = x(α) = ∑ ∞
n=1 c nα n näherungsweise
berechnet werden. Es ergibt sich
g = α(1 + c 1 ) + α 2 (c 2 − c 2 1 /6) + O(α3 )
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