Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Bemerkung 4.6 Die obige Bemerkung für den zeitlich periodischen Fall gilt im instabilen Fall
entsprechend.
Beispiel 4.7 Im obigen Beispiel des gedämpften Pendels erhielten wir die Eigenwerte
λ 1/2 = −µ ± √ µ 2 − 4
.
2
Damit gilt Reλ 1,2 ≤ −µ/2 > 0 für µ < 0 und somit ist (x 1 , x 2 ) = (0, 0) im linearisierten wie
auch im nichtlinearen System instabil.
4.2 Bifurkation
Was passiert, wenn ein Fixpunkt bei Verändern eines Parameters instabil wird, d.h. im obigen
Beispiel die Reibung µ negativ wird? Dies ist von Interesse, da so möglicherweise kompliziertere
Dynamik gefunden und analytisch beschrieben werden kann. Anhand einfacher Beipiele
wollen wir solche Situtation untersuchen.
Beispiel 4.8 (Transkritische Bifurkation (von Fixpunkten)) Betrachte
ẋ = µx − x 2 , (x = x(t) ∈ R).
Der Fixpunkt x = x 1 = 0 ist asymptotisch stabil für µ < 0 und instabil für µ > 0. Bei µ = 0
überquert wie in Abbildung 10 ein reeller Eigenwert die Imaginäre Achse.
Es existiert ein weiterer Fixpunkt x = x 2 = µ, welcher für µ = 0 mit der trivialen Lösung
Im
Im
Re
Re
µ µ 0
Abbildung 10: Ein Eigenwert überquert die imaginäre Achse.
x 1 = 0 zusammenfällt. Da wir im allgemeinen zunächst nur die triviale Lösung kennen, sagen
wir, dass der Fixpunkt x 2 = µ aus der trivialen Lösung x 1 = 0 verzweigt oder bifurkiert.
Die allgemeine Situation ist wie folgt. Gegeben ist ẋ = f(x, µ) mit µ ∈ R, x = x(t) ∈ R und
f hinreichend oft differenzierbar. Für alle µ ∈ R sei die triviale Lösung x 1 = 0 bekannt, d.h.
f(x, µ) = xg(x, µ) mit einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion g. Gilt
∂f
∂x | x=0 = (x ∂g
∂x + g)| x=0 = g ≠ 0
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