Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

1 Einleitung
Unter einer Gewöhnlichen Differentialgleichung verstehen wir eine Relation
ẋ = f(x, t) (1)
mit x = x(t) ∈ R d und f : U × I ⊂ R d × R → R d mit U offen und I ein Intervall. Die Variable
t ∈ I wird als die Zeit bezeichnet. Der Raum R d heißt der Phasenraum.
Ist f stetig in U × I, so heißt eine stetig differenzierbare Funktion x : Ĩ ⊂ I → Rd , welche (1)
erfüllt, Lösung der Gewöhnlichen Differentialgleichung im Intervall Ĩ.
Für lokal Lipschitz-stetiges f ist die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von (1)
wohlbekannt.
Theorem 1.1 (Satz von Picard-Lindelöf [KK74]) Für gegebenes x 0 ∈ R d und t 0 ∈ R sei
die Funktion f auf der Menge Q = {(x, t) | |t − t 0 | ≤ α, ‖x − x 0 ‖ R d ≤ β} stetig in t und
Lipschitz-stetig in x, d.h. es gibt ein L > 0 so dass
‖f(x 1 , t) − f(x 2 , t)‖ R d ≤ L‖x 1 − x 2 ‖ R d
für alle (x j , t) ∈ Q, (j = 1, 2). Weiter möge mit M = max (x,t)∈Q ‖f(x, t)‖ R d die Beziehung
αM ≤ β gelten.
Dann existiert eine eindeutige auf [t 0 − α, t 0 + α] definierte Lösung x = x(t) der Gewöhnlichen
Differentialgleichung (1) mit x| t=t0 = x 0 .
Wir wollen in den ersten beiden Kapiteln voraussetzen, dass dieser Satz gilt und diesen erst in
Kapitel 3.1 beweisen.
Für die Lösung x zum Zeitpunkt t mit der Anfangsbedingung x| t=t0 = x 0 schreiben wir im
folgenden x = x(t, t 0 , x 0 ).
Ist die Differentialgleichung (1) autonom, d.h. hängt f nur von x ∈ R d , d.h. f = f(x), so ist x
eine Funktion von t − t 0 und nicht von t und t 0 .
Lemma 1.2 Für autonome Differentialgleichungen (1) ist mit x = x(t, t 0 , x 0 ) auch x = x(t −
s, t 0 − s, x 0 ) für alle s ∈ R eine Lösung von (1).
Beweis: Folgt sofort durch Einsetzen.
Damit können wir für autonome Differentialgleichungen stets t 0
abkürzend x = x(t, x 0 ) für x(t, 0, x 0 ).
Es gilt
}
i) x(0, x 0 ) = x 0 ,
ii) x(t + s, x 0 ) = x(t, x(s, x 0 )).
□
= 0 wählen und schreiben
(2)
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