Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
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Beispiel 4.3 Betrachte ẋ = 0 · x + x 3 mit x(t) ∈ R. Hier ist die Voraussetzung des Satzes an A = 0 nicht erfüllt. So ist dann auch x = 0 im linearisierten System ẋ = 0 stabil, aber im nichtlinearen System instabil. Bemerkung 4.4 Offensichtlich gilt obiger Satz auch für zeitabhängiges g, falls die Voraussetzung an g gleichmäßig in der Zeit erfüllt ist. Mit Hilfe des Satzes von Floquet läßt sich obiger Satz dann auch im Falle von zeitlich periodischem A, d.h. A(t) = A(t + T ) für ein T > 0, beweisen, falls die Floquetexponenten alle negativen Realteil besitzen. Denn, wie oben bewiesen, erhalten wir durch die Koordinatentransformation x(t) = P (t)z(t) aus ẋ(t) = A(t)x(t) + g(x(t), t) das System ż(t) = Bz(t) + P −1 (t)f(P (t)z(t), t). mit P (t) die periodische Matrix, und B die konstante Matrix aus dem Satz aus Floquet. Da nach Definition die Floquetexponenten durch die Eigenwerte von B gegeben sind, kann obiger Satz jetzt auf dieses System angewendet werden. Für die Stabilität periodischer Lösungen autonomer Systeme ist dieser Satz wie wir sehen werden nicht anwendbar. Die Instabilität von Fixpunkten überträgt sich stets vom linearisierten System auf das nichtlineare System. Wir beweisen dies nun im Fall mindestens eines Eigenwertes mit positivem Realteil. Theorem 4.5 Betrachte ẋ = Ax + g(x) mit x = x(t) ∈ R d mit x(0) = x 0 und den folgenden Eigenschaften. i) Es sei A eine konstante d × d-Matrix mit mindestens einem Eigenwert mit strikt positivem Realteil. Siehe Abbildung 9. Im Re Abbildung 9: Spektrum von A und Phasenbild mit Sektor im instabilen Fall. ii) Es sei g : R d → R d Lipschitz-stetig in einer Umgebung U ⊂ R d von x = 0. Weiter gelte Dann ist der Fixpunkt x = 0 instabil. ‖g(x)‖ lim = 0. ‖x‖→0 ‖x‖ 38
Beweis: Zum Nachweis dieses Satzes zeigen wir, dass um die linear instabile Richtung ein Kreissektor mit Radius ɛ existiert, in den die Lösungen seitlich eintreten und nur am Kreisbogen wieder austreten können. Als Beispiel betrachten wir das zweidimensiomale System ẋ 1 = x 1 + O(x 2 1 + x 2 2), ẋ 2 = −x 2 + O(x 2 1 + x 2 2). Das Phasenbild und der Sektor sind in Abbildung 9 dargestellt. Damit verlassen wir stets diese ɛ-Umgebung durch den Kreisbogen egal wie nahe wir innerhalb des Sektors an der Null starten. Nun zum eigentlichen Beweis. Wir machen zunächst eine Koordinatentransformation x = P y mit P eine konstante d × d-Matrix. Dann ergibt sich die Gleichung ẏ = By + P −1 g(P y), mit B = ( B1 0 ) 0 , wobei B 1 B 2 ∈ R k×k zum Teil des Spektrums von A mit positivem Realteil und B 2 ∈ R d−k×d−k zum Teil des Spektrums von A mit nichtpositivem Realteil gehört. Es gibt ein σ > 0, so dass für alle Eigenwerte λ von B 1 gilt Reλ > σ. Aus der linearen Algebra sei bekannt, dass diese Koordinatentransformation so gewählt werden kann, dass alle Nichtdiagonalelemente kleiner als γ ≤ σ/20 sind (modifizierter Jordanblock). Wir definieren R 2 = ∑ k i=1 |y i| 2 und ρ 2 = ∑ d i=k+1 |y i| 2 . Aus den Voraussetzungen an g folgt wie oben, dass es für alle b > 0 ein δ 0 > 0 gibt, so dass ‖g(x)‖ ≤ b‖x‖ aus ‖x‖ ≤ δ 0 folgt. Wir nehmen an, dass x = 0 stabil sei. Dann gibt es für alle ɛ > 0 ein δ > 0, so dass ρ(t)+R(t) < ɛ für all t ≥ 0 aus ρ(0) + R(0) < δ folgt. Aus den obigen Abschätzungen für die Eigenwerte von B 1 , die Nichtlinearität und die Nebendiagonalelemente folgt Wählen wir b = σ/10 so ergibt sich Andererseits ergibt sich in der selben Weise Da erhalten wir insgesamt und somit 2RṘ ≥ 2σR2 − 2bR(ρ + R) − 2γR 2 . Ṙ ≥ σR/2 − bρ ˙ρ ≤ σρ/20 + b(ρ + R). σR/2 − bρ − σρ/20 − b(ρ + R) ≥ σ(R − ρ)/4 d (R − ρ) ≥ σ(R − ρ)/4 dt R(t) − ρ(t) ≥ (R(0) − ρ(0))e σt/4 . Für Lösungen mit R(0) = 2ρ(0) folgt R(t) ≥ ρ(0)e σt/4 . Dies ist aber unter der Annahme der Stabilität R(t) + ρ(t) ≤ ɛ nicht möglich, egal wie klein ρ(0) > 0 bzw. δ > 0 gewählt wird. □ 39
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Beispiel 4.3 Betrachte ẋ = 0 · x + x 3 mit x(t) ∈ R. Hier ist die Voraussetzung des Satzes an<br />
A = 0 nicht erfüllt. So ist dann auch x = 0 im linearisierten System ẋ = 0 stabil, aber im<br />
nichtlinearen System instabil.<br />
Bemerkung 4.4 Offensichtlich gilt obiger Satz auch für zeitabhängiges g, falls die Voraussetzung<br />
an g gleichmäßig in der Zeit erfüllt ist. Mit Hilfe des Satzes von Floquet läßt sich<br />
obiger Satz dann auch im Falle von zeitlich periodischem A, d.h. A(t) = A(t + T ) für ein<br />
T > 0, beweisen, falls die Floquetexponenten alle negativen Realteil besitzen. Denn, wie<br />
oben bewiesen, erhalten wir durch die Koordinatentransformation x(t) = P (t)z(t) aus ẋ(t) =<br />
A(t)x(t) + g(x(t), t) das System<br />
ż(t) = Bz(t) + P −1 (t)f(P (t)z(t), t).<br />
mit P (t) die periodische Matrix, <strong>und</strong> B die konstante Matrix aus dem Satz aus Floquet. Da nach<br />
Definition die Floquetexponenten durch die Eigenwerte von B gegeben sind, kann obiger Satz<br />
jetzt auf dieses System angewendet werden. Für die Stabilität periodischer Lösungen autonomer<br />
<strong>Systeme</strong> ist dieser Satz wie wir sehen werden nicht anwendbar.<br />
Die Instabilität von Fixpunkten überträgt sich stets vom linearisierten System auf das nichtlineare<br />
System. Wir beweisen dies nun im Fall mindestens eines Eigenwertes mit positivem<br />
Realteil.<br />
Theorem 4.5 Betrachte ẋ = Ax + g(x) mit x = x(t) ∈ R d mit x(0) = x 0 <strong>und</strong> den folgenden<br />
Eigenschaften.<br />
i) Es sei A eine konstante d × d-Matrix mit mindestens einem Eigenwert mit strikt positivem<br />
Realteil. Siehe Abbildung 9.<br />
Im<br />
Re<br />
Abbildung 9: Spektrum von A <strong>und</strong> Phasenbild mit Sektor im instabilen Fall.<br />
ii) Es sei g : R d → R d Lipschitz-stetig in einer Umgebung U ⊂ R d von x = 0. Weiter gelte<br />
Dann ist der Fixpunkt x = 0 instabil.<br />
‖g(x)‖<br />
lim = 0.<br />
‖x‖→0 ‖x‖<br />
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