Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

und somit die Konvergenz der Lösungen gegen x = 0.
Nun zum eigentlichen Beweis: Sei φ(t) = S(t, 0) der Lösungsoperator der linearen Gleichung
ẋ = Ax. Da die Eigenwerte von A strikt negativen Realteil besitzen, gibt es positive Konstanten
C 0 (wegen möglicher Jordanblöcke) und µ 0 mit
‖φ(t)‖ ≤ C 0 e −µ 0t
für alle t ≥ 0. Aus den Voraussetzungen an g folgt, dass es für alle b > 0 ein δ 0 > 0 gibt, so
dass ‖g(x)‖ ≤ b‖x‖ aus ‖x‖ ≤ δ 0 folgt. Die Variation der Konstantenformel ergibt
x(t) = φ(t)x(0) +
Mit den obigen Abschätzungen erhalten wir
und somit
‖x(t)‖ ≤ ‖φ(t)‖‖x 0 ‖ +
∫ t
≤ C 0 e −µ 0t ‖x 0 ‖ +
e µ 0t ‖x(t)‖ ≤ C 0 ‖x 0 ‖ +
0
φ(t − s)g(x(s))ds.
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
0
‖φ(t − s)‖ ‖g(x(s)‖ds
C 0 e −µ 0(t−s) b‖x(s)‖ds
C 0 e µ 0s b‖x(s)‖ds.
Wenden wir die Gronwallsche Ungleichung auf e µ 0t ‖x(t)‖ an, so erhalten wir
e µ 0t ‖x(t)‖ ≤ C 0 ‖x 0 ‖e C 0bt
bzw. ‖x(t)‖ ≤ C 0 ‖x 0 ‖e (C 0b−µ 0 )t .
Wir wählen nun b = µ 0 /(2C 0 ) und erhalten so ein dazugehöriges δ 0 = δ 0 (b). Somit ist µ =
µ 0 /2, ‖x(t)‖ ≤ C 0 ‖x 0 ‖e −µt und δ = C0 −1 δ 0 , womit die asymptotische Stabilität von x = 0
folgt.
□
Beispiel 4.2 Betrachte ẍ + µẋ + sin x = 0 mit µ > 0, d.h. den harmonischen Oszillator mit
Dämpfung. Wir erhalten das System
ẋ 1 = x 2 ,
x˙
2 = −µx 2 − sin x 1 .
Die Linearisierung um die Ruhelage (x 1 , x 2 ) = (0, 0) des Pendels lautet
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −µx 2 − x 1 .
( )
0 1
Die dazugehörige Matrix A =
besitzt die Eigenwerte
−1 −µ
λ 1/2 = −µ ± √ µ 2 − 4
.
2
Damit gilt Reλ 1,2 ≤ −µ/2 < 0 für µ > 0 und somit ist (x 1 , x 2 ) = (0, 0) im linearisierten wie
auch im nichtlinearen System asymptotisch stabil.
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