Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

4 Asymptotische Stabilität
Die Stabilität von Gleichgewichtslösungen oder periodischen Lösungen kann in vielen Fällen
durch die linearisierte Gleichung nachgewiesen werden. Die mathematische Theorie geht auf
Poincaré und Lyapunov zurück. Weiter wollen wir einen ersten Eindruck gewinnen, was passiert,
wenn ein Fixpunkt oder eine periodische Lösung bei Verändern eines Parameters instabil
wird.
4.1 Fixpunkte
Ist ein Fixpunkt x 0 unter seiner Linearisierung ẏ = Ay mit A = ∂f
∂ x
| x=x0 asymptotisch stabil, so
gilt dies auch für das nichtlineare System.
Theorem 4.1 Betrachte ẋ = Ax + g(x) mit x = x(t) ∈ R d , mit x(0) = x 0 und den folgenden
Eigenschaften.
i) Es sei A eine konstante d × d-Matrix, deren Eigenwerte λ wie in Abbildung 8 strikt negativen
Realteil besitzen.
Im
Re
Abbildung 8: Spektrum von A im stabilen Fall.
ii) Es sei g : R d → R d Lipschitz-stetig in einer Umgebung U ⊂ R d von x = 0. Weiter gelte
‖g(x)‖
lim = 0.
‖x‖→0 ‖x‖
Dann existieren positive Konstanten C, δ und µ > 0, so dass
‖x(t)‖ ≤ C‖x 0 ‖e −µt ,
für alle t ≥ 0 aus ‖x 0 ‖ < δ folgt, d.h. x = 0 ist asymptotisch stabil und die δ-Umgebung wird
mit einer exponentiellen Rate angezogen.
Beweis: Der Beweis beruht auf der Idee, dass die nichtlinearen Terme in einer Umgebung von
x = 0 in der Norm viel kleiner als der stets negative Realteil der Linearisierung sind. So erhalten
wir zum Beispiel für x = x(t) ∈ R und A = −1 die Differentialungleichung
ẋ = −x + O(x 2 ) ≤ −x + 1 2 x ≤ −1 2 x
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