Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

und somit y 1 = 1 + 1 2 h(− 1 2 h(y 1 + 1)), was über y 1 = 1 − 1 4 h2 y 1 − 1 4 h2 die Werte
y 1 = (1 − 1 4 h2 )/(1 + 1 4 h2 ) und y 2 = −h/(1 + 1 4 h2 )
ergibt. Damit liegt (y 1 , y 2 ) ebenfalls auf dem Kreis mit Radius 1.
Der formale Fehler, des so über die Trapezregel definierten Algorithmus berechnet sich zu
Res(y)(t) =
=
m−1
∑
(
∑
(
n=0
∫ tn+1
n=0
m−1 ∫ tn+1
t n
f(y(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n )))
t n
f(y(s), s)ds − 1 2 h(f(y(t n+1), t n+1 ) + f(y(t n ), t n )))
Da der Fehler
∫ tn+1
t n
f(y(s), s)ds − 1 2 h(f(y(t n+1), t n+1 ) + f(y(t n ), t n ))
der Trapezregel bei der Berechnung von Integralen [DB94] (der lokale Diskretisierungsfehler)
von der Ordnung O(h 3 ) ist, folgt für den formalen Fehler (der globale Diskretisierungsfehler)
sup ‖Res(y)(t)‖ ≤ O(h 2 ),
t∈[t 0 ,t e]
falls y = y(t) beschränkt ist. Damit werden Lösungen von Differentialgleichungen durch die
Trapezregel eine Ordnung (O(h 2 )) besser als durch das Eulerverfahren (O(h)) approximiert.
Im Prinzip gibt es zu jedem Quadraturverfahren zur Berechnung von Integralen mindestens ein
Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Siehe [DB94, Ise96,
SH96]. Es ist aber Vorsicht geboten, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 3.18 Das Verfahren
y(t n+2 ) − 3y(t n+1 ) + 2y(t n ) = h[ 13
12 f(y(t n+2), t n+2 ) − 5 3 f(y(t n+1), t n+1 ) − 5 12 f(y(t n), t n )
ist ein sogenanntes implizites Mehrschrittverfahren der Ordnung O(h 2 ). Damit approximieren
wir die Lösung x(t) = 1 des Anfangswertproblems ẋ = 0, x(0) = 1. Das Näherungsverfahren
lautet
y(t n+2 ) − 3y(t n+1 ) + 2y(t n ) = 0
und kann wie jede Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten durch den Ansatz y(t n ) =
λ n gelöst werden. Das charakteristische Polynom λ 2 − 3λ + 2 = 0 besitzt die Wurzeln λ 1 = 1
und λ 2 = 2. Damit lautet die allgemeine Lösung des Näherungsverfahrens
y(t n ) = c 1 + c 2 2 n , (c j ∈ R)
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