Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
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und somit die Behauptung. □ Bemerkung 3.13 Störungen der Anfangsbedingungen können in der obigen Abschätzung mitbehandelt werden. Es ergibt sich dann ‖r(t)‖ ≤ ((‖x 0 − y(t 0 )‖) + 1 2 L(M + 1)h)eL(t−t 0) . Definition 3.14 Eine Funktion f (das obige Verfahren) heißt konvergent von der Ordnung O(h m ) für h → 0, falls positive Konstanten C und h 0 existieren, so dass für alle h ∈ (0, h 0 ] die Abschätzung ‖f(h)‖/‖h m ‖ ≤ C gilt. Eine Funktion f heißt konvergent von der Ordnung o(h m ) für h → 0, falls lim h→0 ‖f(h)‖ ‖h m ‖ = 0. Die gewonnene Abschätzung ist eher von theoretischem Interesse wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 3.15 Betrachte ẋ = −100x mit x(0) = 1 für t ∈ [0, 1]. Die Lösung x(t) = e −100t wird durch das dazugehörige Eulerverfahren approximiert. Es lautet y(t n ) = y(t n−1 )−100hy(t n−1 ) = (1 − 100h)y(t n−1 ) und so ergibt sich y(t n ) = (1 − 100h) n . Der Fehler x(nh) − y(nh) = e −100nh − (1 − 100h) n ist sehr klein, auch für nicht so kleines h. Die obige Abschätzung (9) liefert mit M = sup x∈[0,1] |f(x)| = 100, dass ‖r(t)‖ ≤ 1 2 100(100 + 1)he100 ∼ 1.35 × 10 47 h. Soll der Fehler tatsächlich kontrolliert werden, muß parallel zum Berechnen der Lösung die Gleichung für den Fehler integriert werden. Wir untersuchen die Struktur der obigen Abschätzung genauer. Unabhängig vom verwendeten Näherungsverfahren ergibt sich stets m−1 ∑ ‖r(t)‖ ≤ ‖ ( ≤ ∫ tn+1 n=0 t n m−1 ∫ tn+1 ∑ n=0 t n m−1 ∑ ∫ tn+1 +‖ ( n=0 t n f(y(s) + r(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n ))‖ ‖f(y(s) + r(s), s) − f(y(s), s)‖ds f(y(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n )))‖. Ist die Näherungslösung y = y(t) auf [t 0 , t e ] beschänkt, so läßt sich der erste Ausdruck unabhängig von h wie oben durch ∫ t t 0 L‖r(s)‖ds mit einer Konstante L abschätzen. Der zweite Ausdruck m−1 ∑ ∫ tn+1 Res(y) = ( f(y(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n ))) t n n=0 wird als Residuum, bzw. als formaler Fehler bezeichnet. Allgemein gilt 32
Theorem 3.16 Sei f : R d × [t 0 , t e ] → R d Lipschitz-stetig mit Konstante L in x und t. Es sei y = y(t) eine Näherungslösung mit y(t 0 ) = x 0 . Es gebe eine Konstante C y und ein m ∈ N so dass für alle h ∈ [0, 1] gilt: sup ‖Res(y)(t)‖ ≤ C y h m . t∈[t 0 ,t e] Dann gibt es ein h 0 > 0 und ein C > 0, so dass für alle h ∈ (0, h 0 ] die Abschätzung sup ‖x(t) − y(t)‖ ≤ Ch m t∈[t 0 ,t e] gilt, d.h. die Näherungslösung y = y(t) konvergiert gegen die exakte Lösung x = x(t) für h → 0 mit einer Rate O(h m ). Beweis: Unter diesen Voraussetzungen erfüllt die Differenz r(t) = x(t)−y(t) die Ungleichung ‖r(t)‖ ≤ ∫ t Die Anwendung des Gronwallschen Lemmas liefert t 0 L‖r(s)‖ds + C y h m ‖r(t)‖ ≤ C y h m e L(t−t 0) (10) und somit die Behauptung. Zusammenfassung: Bleiben die Lösungen y = y(t) eines Näherungsverfahrens unabhängig von der Schrittweite beschränkt, und ist der formale Fehler von der Ordnung O(h m ), (was ebenfalls die Beschränktheit von y = y(t) voraussetzt) so wird die exakte Lösung x = x(t) durch ihre Näherung y = y(t) bis auf einen Fehler der gleichen Ordnung O(h m ) approximiert. Beispiel 3.17 Es kann sinnvoll sein das verwendete Verfahren der Struktur des Problems anzupassen. Betrachte die lineare Differentialgleichung x˙ 1 = x 2 und x˙ 2 = −x 1 . In der Phasenebene sind die Lösungen durch Kreise gegeben. Das Eulerverfahren berechnet allerdings nach außen laufende Spiralen. Denn betrachte den Kreis mit Radius 1. Ein Eulerschritt von (x − 1, x 2 ) = (1, 0) startend ergibt (1, 0) + (0, −h) = (1, −h), was außerhalb des Kreises mit Radius 1 liegt. Sinnvoller erweist sich hier die Trapezregel y(t n+1 ) = y(t n ) + 1 2 h(f(y(t n+1), t n+1 ) + f(y(t n ), t n )), welche die Hamiltonsche Struktur des Problems erhält. Hier ergibt sich das implizite Schema y 1 (t n+1 ) = y 1 (t n ) + 1 2 h(y 2(t n+1 ) + y 2 (t n )), y 2 (t n+1 ) = y 2 (t n ) − 1 2 h(y 1(t n+1 ) + y 1 (t n )). Für das obige Beispiel ergibt sich als Bildpunkt y 1 = 1 + 1 2 hy 2, y 2 = − 1 2 h(y 1 + 1). □ 33
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Theorem 3.16 Sei f : R d × [t 0 , t e ] → R d Lipschitz-stetig mit Konstante L in x <strong>und</strong> t. Es sei<br />
y = y(t) eine Näherungslösung mit y(t 0 ) = x 0 . Es gebe eine Konstante C y <strong>und</strong> ein m ∈ N so<br />
dass für alle h ∈ [0, 1] gilt:<br />
sup ‖Res(y)(t)‖ ≤ C y h m .<br />
t∈[t 0 ,t e]<br />
Dann gibt es ein h 0 > 0 <strong>und</strong> ein C > 0, so dass für alle h ∈ (0, h 0 ] die Abschätzung<br />
sup ‖x(t) − y(t)‖ ≤ Ch m<br />
t∈[t 0 ,t e]<br />
gilt, d.h. die Näherungslösung y = y(t) konvergiert gegen die exakte Lösung x = x(t) für<br />
h → 0 mit einer Rate O(h m ).<br />
Beweis: Unter diesen Voraussetzungen erfüllt die Differenz r(t) = x(t)−y(t) die Ungleichung<br />
‖r(t)‖ ≤<br />
∫ t<br />
Die Anwendung des Gronwallschen Lemmas liefert<br />
t 0<br />
L‖r(s)‖ds + C y h m<br />
‖r(t)‖ ≤ C y h m e L(t−t 0)<br />
(10)<br />
<strong>und</strong> somit die Behauptung.<br />
Zusammenfassung: Bleiben die Lösungen y = y(t) eines Näherungsverfahrens unabhängig<br />
von der Schrittweite beschränkt, <strong>und</strong> ist der formale Fehler von der Ordnung O(h m ), (was<br />
ebenfalls die Beschränktheit von y = y(t) voraussetzt) so wird die exakte Lösung x = x(t)<br />
durch ihre Näherung y = y(t) bis auf einen Fehler der gleichen Ordnung O(h m ) approximiert.<br />
Beispiel 3.17 Es kann sinnvoll sein das verwendete Verfahren der Struktur des Problems anzupassen.<br />
Betrachte die lineare Differentialgleichung x˙<br />
1 = x 2 <strong>und</strong> x˙<br />
2 = −x 1 . In der Phasenebene<br />
sind die Lösungen durch Kreise gegeben. Das Eulerverfahren berechnet allerdings<br />
nach außen laufende Spiralen. Denn betrachte den Kreis mit Radius 1. Ein Eulerschritt von<br />
(x − 1, x 2 ) = (1, 0) startend ergibt (1, 0) + (0, −h) = (1, −h), was außerhalb des Kreises mit<br />
Radius 1 liegt. Sinnvoller erweist sich hier die Trapezregel<br />
y(t n+1 ) = y(t n ) + 1 2 h(f(y(t n+1), t n+1 ) + f(y(t n ), t n )),<br />
welche die Hamiltonsche Struktur des Problems erhält. Hier ergibt sich das implizite Schema<br />
y 1 (t n+1 ) = y 1 (t n ) + 1 2 h(y 2(t n+1 ) + y 2 (t n )), y 2 (t n+1 ) = y 2 (t n ) − 1 2 h(y 1(t n+1 ) + y 1 (t n )).<br />
Für das obige Beispiel ergibt sich als Bildpunkt<br />
y 1 = 1 + 1 2 hy 2, y 2 = − 1 2 h(y 1 + 1).<br />
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