Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
3.2 Numerik Nur in den seltensten Fällen ist es möglich die Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen explizit in bekannten Funktionen auszudrücken. Vielfach sind selbst diese Ausdrücke so kompliziert, dass es mehr Sinn macht auch diese Lösungen numerisch anzunähern. Die folgenden numerischen Verfahren erlauben es die Lösung x = x(t, t 0 , x 0 ) zu ẋ = f(x, t), x| t=t0 = x 0 auf einem vorgebenen Intervall [t 0 , t e ] zu approximieren. Um über das gesamte Lösungsverhalten der Differentialgleichung etwas zu erfahren, können diese Näherungen nützlich sein, einen ersten Eindruck zu gewinnen. Sie müssen dann durch weitere Verfahren und Überlegungen ergänzt werden. Das Euler-Verfahren: Das einfachste Verfahren die Lösung x = x(t) auf einem Intervall [t 0 , t e ] zu approximieren, ist das Euler-Verfahren. Die durch den folgenden Algorithmus gewonnene Näherungslösung werde mit y = y(t) bezeichnet. Algorithmus: Das vorgegebene Intervall werde in Teilintervalle [t 0 , t e ] = ⋃ N n=1 [t n−1, t n ] mit t n = t 0 + nh, der Schrittweite h = (t e − t 0 )/N, N ∈ N zerlegt. Dann definieren wir y(t) zu den Zeitpunkten t = t n durch y(t n+1 ) = y(t n ) + hf(t n , y(t n )), y(t 0 ) = x 0 . Zwischen den Punkten y(t n ) und y(t n+1 ) wird y = y(t) durch lineare Interpolation definiert. Der Einfachheit halber sei sup ‖f(x, t)‖ ≤ M < ∞. (x,t)∈R d ×[t 0 ,t e] Damit gilt für die Näherungslösung y = y(t) die Abschätzung sup ‖y(t)‖ ≤ ‖x 0 ‖ + M|t e − t 0 | =: C y , t∈[t 0 ,t e] d.h. die durch das Eulerverfahren gewonnene Näherungslösung y = y(t) bleibt beschänkt unabhängig von der Größe von h. Es gilt nun folgender Satz. Theorem 3.12 Es sei f : R d × [t 0 , t e ] → R d Lipschitz-stetig mit Konstante L in x und t. Dann gibt es ein h 0 > 0 und ein C > 0, so dass für alle h ∈ (0, h 0 ] die Abschätzung sup ‖x(t) − y(t)‖ ≤ Ch t∈[t 0 ,t e] gilt, d.h. die Näherungslösung y = y(t) konvergiert gegen die exakte Lösung x = x(t) für h → 0. 30
Beweis: Die Differenz r(t) = x(t) − y(t) erfüllt die Gleichung Für t = t m gilt r(t) = x(t) − y(t) = x 0 + ∫ t ∫ t t 0 f(y(s) + r(s), s)ds − y(t). s 1 = x 0 + f(y(s) + r(s), s)ds − y(t) t 0 m−1 ∑ ∫ tn+1 = x 0 + f(y(s) + r(s), s)ds − y(t 0 ) − ( t n n=0 m−1 ∑ = x 0 − y(t 0 ) + ( n=0 ∫ tn+1 Nach Verwendung des Euler-Algorithmus ergibt sich und somit ‖s 1 ‖ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ m−1 ∑ s 1 = = ∫ tn+1 n=0 t n m−1 ∫ tn+1 ∑ n=0 m−1 ∑ t n n=0 t n m−1 ∫ tn+1 ∑ ∫ tn+1 n=0 t n m−1 ∫ tn+1 ∑ n=0 ∫ t m−1 ∑ ( ∫ tn+1 n=0 t n m−1 ∫ tn+1 ∑ n=0 t n m−1 ∑ n=0 y(t n+1 ) − y(t n )) t n f(y(s) + r(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n ))) f(y(s) + r(s), s)ds − f(y(t n ), t n )h) (f(y(s) + r(s), s) − f(y(t n ), t n ))ds ‖f(y(s) + r(s), s) − f(y(t n ), t n )‖ds ‖f(y(s) + r(s), s) − f(y(s), s)‖ + ‖f(y(s), s) − f(y(t n ), s)‖ +‖f(y(t n ), s) − f(y(t n ), t n )‖ds L‖r(s)‖ + L‖y(s) − y(t n )‖ + L|s − t n |ds L‖r(s)‖ + L‖f(y(t n ), t n )(s − t n )‖ + L|s − t n |ds t n L‖r(s)‖ds + m−1 ∑ n=0 t 0 L‖r(s)‖ds + h −1 L(M + 1)h 2 /2 ≤ L(M + 1)h/2 + ∫ t t 0 L‖r(s)‖ds. L(M + 1)(s − t n ) 2 | t n+1 t n /2 Da diese Abschätzung auch für t ∈ [t m , t m+1 ] gilt, liefert die Anwendung des Gronwallschen Lemmas ‖r(t)‖ ≤ 1 2 L(M + 1)heL(t−t 0) (9) 31
- Seite 1 und 2: Gewöhnliche Differentialgleichunge
- Seite 3 und 4: Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2
- Seite 5 und 6: Im nichtautonomen Fall lautet dies
- Seite 7 und 8: Geschichte: Die Beschreibung der Me
- Seite 9 und 10: ii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ iii)
- Seite 11 und 12: Ist g ≡ 0, so gilt: x(t) = c 1 x
- Seite 13 und 14: Die Exponentialreihe e At kann wie
- Seite 15 und 16: 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1
- Seite 17 und 18: ε δ x=x(t) x 0 x 1 Abbildung 4: S
- Seite 19 und 20: Betrachte das autonome System ẋ =
- Seite 21 und 22: Dieses Lemma gilt allgemein für T
- Seite 23 und 24: Unteraum. Wie bei Differentialgleic
- Seite 25 und 26: 3 Nichtlineare Systeme Wir betracht
- Seite 27 und 28: nur aufhören zu existieren, falls
- Seite 29: Ist f differenzierbar, so hängt di
- Seite 33 und 34: Theorem 3.16 Sei f : R d × [t 0 ,
- Seite 35 und 36: und für die gesuchte Näherung spe
- Seite 37 und 38: und somit die Konvergenz der Lösun
- Seite 39 und 40: Beweis: Zum Nachweis dieses Satzes
- Seite 41 und 42: x µ Abbildung 11: Transkritische B
- Seite 43 und 44: kann für α = 0 explizit gelöst w
- Seite 45 und 46: O − (x) eines Punktes x ∈ R dur
- Seite 47 und 48: 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0
- Seite 49 und 50: zu a) In diesem Fall ist p ∈ Λ n
- Seite 51 und 52: iii) Sei a ∈ Σ 2 und δ > 0 gege
- Seite 53 und 54: Einschub: Periodenverdopplung und d
- Seite 55 und 56: Theorem 4.33 Perioden-Verdopplungs-
- Seite 57 und 58: esitzt n-periodische Lösungen y n
- Seite 59 und 60: ii) Die periodische Lösung heißt
- Seite 61 und 62: Beispiel 4.43 (Pitchfork-Bifurkatio
- Seite 63 und 64: 5 Dynamik in der Nähe eines Fixpun
- Seite 65 und 66: und Damit ist T (·, f) : Cb 0 →
- Seite 67 und 68: Offensichtlich ist W s = E s . Für
- Seite 69 und 70: erhalten wir W c = {(µ, x, y) ∈
- Seite 71 und 72: Lemma 5.20 Es sei ˜f ∈ C k für
- Seite 73 und 74: Lemma 5.25 Für jedes η ∈ (0, β
- Seite 75 und 76: Beispiel 5.30 Wir betrachten das di
- Seite 77 und 78: Wir suchen nun Koordinatentransform
- Seite 79 und 80: Zu α 30 a 3 : Die Nichtresonanzbed
Beweis: Die Differenz r(t) = x(t) − y(t) erfüllt die Gleichung<br />
Für t = t m gilt<br />
r(t) = x(t) − y(t) = x 0 +<br />
∫ t<br />
∫ t<br />
t 0<br />
f(y(s) + r(s), s)ds − y(t).<br />
s 1 = x 0 + f(y(s) + r(s), s)ds − y(t)<br />
t 0<br />
m−1<br />
∑<br />
∫ tn+1<br />
= x 0 + f(y(s) + r(s), s)ds − y(t 0 ) − (<br />
t n<br />
n=0<br />
m−1<br />
∑<br />
= x 0 − y(t 0 ) + (<br />
n=0<br />
∫ tn+1<br />
Nach Verwendung des Euler-Algorithmus ergibt sich<br />
<strong>und</strong> somit<br />
‖s 1 ‖<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
m−1<br />
∑<br />
s 1 =<br />
=<br />
∫ tn+1<br />
n=0 t n<br />
m−1 ∫ tn+1<br />
∑<br />
n=0<br />
m−1<br />
∑<br />
t n<br />
n=0 t n<br />
m−1 ∫ tn+1<br />
∑<br />
∫ tn+1<br />
n=0 t n<br />
m−1 ∫ tn+1<br />
∑<br />
n=0<br />
∫ t<br />
m−1<br />
∑<br />
(<br />
∫ tn+1<br />
n=0 t n<br />
m−1 ∫ tn+1<br />
∑<br />
n=0<br />
t n<br />
m−1<br />
∑<br />
n=0<br />
y(t n+1 ) − y(t n ))<br />
t n<br />
f(y(s) + r(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n )))<br />
f(y(s) + r(s), s)ds − f(y(t n ), t n )h)<br />
(f(y(s) + r(s), s) − f(y(t n ), t n ))ds<br />
‖f(y(s) + r(s), s) − f(y(t n ), t n )‖ds<br />
‖f(y(s) + r(s), s) − f(y(s), s)‖ + ‖f(y(s), s) − f(y(t n ), s)‖<br />
+‖f(y(t n ), s) − f(y(t n ), t n )‖ds<br />
L‖r(s)‖ + L‖y(s) − y(t n )‖ + L|s − t n |ds<br />
L‖r(s)‖ + L‖f(y(t n ), t n )(s − t n )‖ + L|s − t n |ds<br />
t n<br />
L‖r(s)‖ds +<br />
m−1<br />
∑<br />
n=0<br />
t 0<br />
L‖r(s)‖ds + h −1 L(M + 1)h 2 /2<br />
≤ L(M + 1)h/2 +<br />
∫ t<br />
t 0<br />
L‖r(s)‖ds.<br />
L(M + 1)(s − t n ) 2 | t n+1<br />
t n<br />
/2<br />
Da diese Abschätzung auch für t ∈ [t m , t m+1 ] gilt, liefert die Anwendung des Gronwallschen<br />
Lemmas<br />
‖r(t)‖ ≤ 1 2 L(M + 1)heL(t−t 0)<br />
(9)<br />
31
Change language