Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

3.2 Numerik
Nur in den seltensten Fällen ist es möglich die Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen
explizit in bekannten Funktionen auszudrücken. Vielfach sind selbst diese Ausdrücke so kompliziert,
dass es mehr Sinn macht auch diese Lösungen numerisch anzunähern. Die folgenden
numerischen Verfahren erlauben es die Lösung x = x(t, t 0 , x 0 ) zu
ẋ = f(x, t), x| t=t0 = x 0
auf einem vorgebenen Intervall [t 0 , t e ] zu approximieren. Um über das gesamte Lösungsverhalten
der Differentialgleichung etwas zu erfahren, können diese Näherungen nützlich sein, einen
ersten Eindruck zu gewinnen. Sie müssen dann durch weitere Verfahren und Überlegungen
ergänzt werden.
Das Euler-Verfahren:
Das einfachste Verfahren die Lösung x = x(t) auf einem Intervall [t 0 , t e ] zu approximieren, ist
das Euler-Verfahren. Die durch den folgenden Algorithmus gewonnene Näherungslösung werde
mit y = y(t) bezeichnet.
Algorithmus: Das vorgegebene Intervall werde in Teilintervalle [t 0 , t e ] = ⋃ N
n=1 [t n−1, t n ] mit
t n = t 0 + nh, der Schrittweite h = (t e − t 0 )/N, N ∈ N zerlegt. Dann definieren wir y(t) zu
den Zeitpunkten t = t n durch
y(t n+1 ) = y(t n ) + hf(t n , y(t n )), y(t 0 ) = x 0 .
Zwischen den Punkten y(t n ) und y(t n+1 ) wird y = y(t) durch lineare Interpolation definiert.
Der Einfachheit halber sei
sup ‖f(x, t)‖ ≤ M < ∞.
(x,t)∈R d ×[t 0 ,t e]
Damit gilt für die Näherungslösung y = y(t) die Abschätzung
sup ‖y(t)‖ ≤ ‖x 0 ‖ + M|t e − t 0 | =: C y ,
t∈[t 0 ,t e]
d.h. die durch das Eulerverfahren gewonnene Näherungslösung y = y(t) bleibt beschänkt unabhängig
von der Größe von h.
Es gilt nun folgender Satz.
Theorem 3.12 Es sei f : R d × [t 0 , t e ] → R d Lipschitz-stetig mit Konstante L in x und t. Dann
gibt es ein h 0 > 0 und ein C > 0, so dass für alle h ∈ (0, h 0 ] die Abschätzung
sup ‖x(t) − y(t)‖ ≤ Ch
t∈[t 0 ,t e]
gilt, d.h. die Näherungslösung y = y(t) konvergiert gegen die exakte Lösung x = x(t) für
h → 0.
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