Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 4
2 Lineare Systeme und Strukturen 8
2.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Der Lösungsoperator S(t, s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Die Variation der Konstanten Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Die Exponentialmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.5 Ebene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Invariante Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Lineare Systeme mit periodischen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Nichtlineare Systeme 25
3.1 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Asymptotische Stabilität 36
4.1 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Bifurkation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Intervallabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Bemerkungen zu Iterationen in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Periodische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Dynamik in der Nähe eines Fixpunktes 63
5.1 Der Satz von Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Stabile, Instabile Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Die Zentrumsmannigfaltigkeit und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Homokline und heterokline Lösungen 81
6.1 ω-Limesmengen, Ebene Systeme, Gradientensysteme . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Melnikov-Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 Silnikov-Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Der Lorenz-Attraktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
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