Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Ist f differenzierbar, so hängt die Lösung x(t, t 0 , x 0 ) differenzierbar von der Anfangsbedingung
x 0 ab. Siehe [KK74].
Eine andere Methode die globale Existenz von Lösungen nachzuweisen, sind sogenannte Energieabschätzungen.
Beispiel 3.10 Betrachte
ẋ = x − x 3 , x(0) = x 0 .
Wir haben drei Fixpunkte, den instabilen x = 0 und die stabilen x = ±1. Vom Phasenbild
ist daher klar, dass die Lösungen für alle t ≥ 0 existieren. Dies kann auch wie folgt bewiesen
werden. Betrachte die Differentialgleichung für die skalare Größe r = x 2 ≥ 0:
ṙ = d dt (x2 ) = 2xẋ = 2x 2 − 2x 4 ≤ 2 − 2x 2 = 2 − 2r.
Aus dem Phasenbild für ṙ = 2 − 2r folgt sofort, dass alle Lösungen für t ≥ 0 beschränkt
bleiben. Es gilt sogar lim sup t→∞ r(t) ≤ 1. Damit bleibt auch x beschränkt und es gilt, wie
bereits bekannt lim sup t→∞ x 2 (t) ≤ 1.
Beispiel 3.11 Wir verallgemeinern das letzte Beispiel und betrachten jetzt allgemein
ẋ = f(x), x(0) = x 0 .
Die Differentialgleichung für die skalare Größe r(t) = x T (t)x(t) lautet
ṙ = x T ẋ + ẋ T x = 2x T f(x).
Existieren nun Konstanten C 1 > 0 und C 2 > 0, so dass für alle x ∈ R d die Ungleichung
gilt, so erfüllt r die Differentialungleichung
x T f(x) ≤ C 1 − C 2 x T x
ṙ ≤ C 1 − C 2 r.
Damit bleibt r(t) und damit auch x(t) für alle t ≥ 0 beschränkt und es gilt
lim sup
t→∞
r(t) = lim sup x T (t)x(t) ≤ C 1 /C 2 .
t→∞
Es kann sich als sinnvoll erweisen allgemein r(t) = x T (t)B(t)x(t) mit B(t) eine in t ≥ 0
gleichmäßig positiv definite d × d-Matrix zu betrachten und eventuell höhere Ordnungen in x
zuzulassen.
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