Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

und daraus
und
∫ t
∫ t
ln( ψ(s)φ(s)ds + δ) − ln δ ≤
t 0
ψ(τ)dτ
t 0
∫ t
t 0
ψ(s)φ(s)ds + δ ≤ δ exp(
∫ t
t 0
ψ(τ)dτ).
Nach Voraussetzung ist φ(t) kleiner als der Ausdruck auf der linken Seite.
□
Beispiel 3.9 Eine Funktion f : R d × R → R d heißt linear beschränkt, wenn es Konstanten C 1
und C 2 gibt, so dass für alle (x, t) ∈ R d × R die Abschätzung ‖f(x, t)‖ ≤ C 1 + C 2 ‖x‖ gilt,
Ist f ∈ C 1 (R d × R, R d ) linear beschränkt, so existieren die Lösungen von (1) für alle t ∈ R.
Zunächst folgt durch Aufintegrieren von (1)
Für φ(t) = ‖x(t)‖ + C 1
C 2
‖x(t)‖ ≤ ‖x 0 ‖ +
ergibt sich
≤ ‖x 0 ‖ +
∫ t
0
∫ t
≤ ‖x 0 ‖ + C 1 t +
φ(t) ≤ C 2
∫ t
0
0
‖f(x(s), s)‖ds
C 1 + C 2 ‖x(s)‖ds
∫ t
0
C 2 ‖x(s)‖ds.
φ(s)ds + C 1
C 2
+ ‖x 0 ‖
und somit nach der Gronwallschen Ungleichung
( )
C1
φ(t) ≤ + ‖x 0 ‖ e C2t .
C 2
Eine unmittelbare Konsequenz ist, dass die Lösungen der linearen Differentialgleichungen ẋ =
A(t)x + g(t) wie in Kapitel 2 behauptet für alle t ∈ R existieren, falls A und g für alle t ∈ R
stetig sind.
Eine andere Anwendung der Gronwallschen Ungleichung ist die stetige Abhängigkeit von den
Anfangsbedingungen. Sei f : R d → R d Lipschitz-stetig mit Konstante L. So gilt
‖x(t, x 0 ) − x(t, y 0 )‖ ≤ ‖x 0 − y 0 ‖ +
≤
∫ t
‖x 0 − y 0 ‖ + L
0
∫ t
und somit nach Anwendung des Gronwallschen Lemmas
‖x(t, x 0 ) − x(t, y 0 )‖ ≤ ‖x 0 − y 0 ‖e Lt .
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‖f(x(s, x 0 ) − f(x(s, y 0 ))‖ds
0
‖x(s, x 0 ) − x(s, y 0 )‖ds