Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

nur aufhören zu existieren, falls sie in endlicher Zeit unbeschränkt wird. Existiert eine Lösung
für alle t ∈ I mit I ein Intervall, so heißt I das maximale Existenzintervall, welches unter
diesen Voraussetzungen an f stets offen ist.
Beispiel 3.5 Es gibt keine stetige Funktion, welche ẋ = t −2 , x(0) = 1 erfüllt.
Beispiel 3.6 Betrachte das Anfangswertproblem
ẋ = x 2 , x(0) = a > 0.
Die eindeutige Lösung x(t) = a/(1 − at) existiert für t ∈ [0, a −1 ), d.h. die Lösung explodiert
(wird unbeschränkt) in endlicher Zeit.
Beispiel 3.7 Betrachte das Anfangswertproblem (α ∈ (0, 1))
ẋ = |x| α , x(0) = 0.
Neben der Lösung x ≡ 0 existieren noch unendlich viele weitere, nämlich für jedes τ > 0
{
0 für t ∈ [0, τ]
x(t) =
p −p (t − τ) p für t > τ,
wobei p = (1 − α) −1 . Wir bemerken explizit, dass x = x(t) für t = τ stetig differenzierbar ist
und damit tatsächlich eine Lösung im obigen Sinne darstellt.
Wie wir gesehen haben, reicht es für zeitunabhängiges differenzierbares f : R d → R d die Größe
der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen zu kontrollieren, um auf globale Existenz
der Lösungen schließen zu können. Dazu und zur Anschätzung von Näherungsfehlern beweisen
wir die Gronwallsche Ungleichung.
Lemma 3.8 Es gelte für t ∈ (t 0 , t 0 +a) mit a > 0 und φ und ψ nichtnegative stetige Funktionen
die Ungleichung
φ(t) ≤
∫ t
Dann folgt für t ∈ (t 0 , t 0 + a) die Abschätzung
Beweis: Nach Voraussetzung ist
t 0
ψ(s)φ(s)ds + δ.
R t
t
φ(t) ≤ δe
ψ(s)ds 0 .
φ(t)
∫ t
t 0
ψ(s)φ(s)ds + δ ≤ 1.
Nach Multiplikation beider Seiten mit ψ(t) und Integration ergibt sich
∫ t
∫ τ
t 0
∫
ψ(τ)φ(τ)
t
t 0
ψ(s)φ(s)ds + δ dτ ≤
27
t 0
ψ(τ)dτ