Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Beweis: Wir wenden den Banachschen Fixpunktsatz auf die Abbildung F : M → M definiert
durch
im vollständigen metrischen Raum
an.
F (x)(t) = x 0 +
∫ t
M = {x ∈ C([t 0 − δ, t 0 + δ], R d ) | d(x, x 0 ) =
t 0
f(x(s), s)ds
sup ‖x(t) − x 0 ‖ ≤ d 0 }
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
i) Zunächst bildet F den Raum M in sich ab, denn: Offensichtlich bildet F den Raum C([t 0 −
δ, t 0 + δ], R d ) in sich ab, und
∫ t
d(F (x), x 0 ) = sup ‖ f(x(s), s)ds‖ ≤ δM ≤ d 0 .
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ] t 0
ii) F ist eine Kontraktion, da
d(F (x), F (y)) = sup ‖
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
≤
sup |
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
∫ t
∫ t
t 0
f(x(s), s) − f(y(s), s)ds‖
t 0
‖f(x(s), s) − f(y(s), s)‖ds|
∫ t
≤ sup |
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
L‖x(s) − y(s)‖ds|
t 0
≤ Lδ sup ‖x(s) − y(s)‖
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
= Lδd(x, y) ≤ 1 d(x, y).
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Damit sind alle Voraussetzungen erfüllt und folglich besitzt F einen eindeutigen Fixpunkt x ∗ ∈
M. Ist x ∗ ∈ M, so gilt offensichtlich F (x ∗ ) ∈ C 1 ([t 0 − δ, t 0 + δ], R d ), womit x ∗ = F (x ∗ )
ebenfalls einmal differenzierbar ist. Damit können wir die Beziehung x ∗ = F (x ∗ ) einmal nach
der Zeit differenzieren und erhalten, dass x ∗ die Differentialgleichung löst.
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Korollar 3.3 Ist f in einer Umgebung eines Punktes (x 0 , t 0 ) ∈ R d ×R stetig in t und Lipschitzstetig
in x, so existiert ein δ > 0 und eine eindeutige Lösung x ∈ C 1 ([t 0 − δ, t 0 + δ], R d ) mit
x| t=t0 = x 0 .
Ist f in einer Umgebung eines Punktes (x(t 0 + δ, t 0 , x 0 ), t 0 + δ) ∈ R d × R stetig in t und
Lipschitz-stetig in x, so können wir den obigen Existenz- und Eindeutigkeitssatz erneut anwenden.
Damit läßt sich eine Lösung, solange fortsetzen bis die Voraussetzungen des Existenz- und
Eindeutigkeitssatzes nicht mehr erfüllt sind.
Korollar 3.4 Ist f ∈ C 1 (R d , R d ), so können die Lösungen der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x) in jedem Punkt des Phasenraumes R d fortgesetzt werden. Eine Lösung kann
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