Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

3 Nichtlineare Systeme
Wir betrachten für allgemeine nichtlineare Systeme (1) neben der lokalen Existenz und Eindeutigkeit
von Lösungen auch die Frage nach der globalen Existenz. Anschließend geben wir
numerische Verfahren zu deren Untersuchung an und analysieren deren Güte.
3.1 Existenz und Eindeutigkeit
Wir beweisen zunächst die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen unter Verwendung
des Banachschen Fixpunktsatzes.
Theorem 3.1 Sei (M, d) ein vollständiger metrischer Raum und F : M → M eine Kontraktion,
d.h. es gibt ein κ ∈ (0, 1), so dass d(F (x), F (y)) ≤ κd(x, y) für alle x, y ∈ M. Dann
besitzt F einen eindeutigen Fixpunkt x ∗ , d.h. x ∗ = F (x ∗ ).
Beweis: Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Angenommen es existieren zwei verschiedene
Fixpunkte x ∗ und y ∗ . Dann gilt
d(x ∗ , y ∗ ) = d(F (x ∗ ), F (y ∗ )) ≤ κd(x ∗ , y ∗ ).
Da κ ∈ (0, 1), folgt d(x ∗ , y ∗ ) = 0 und somit x ∗ = y ∗ im Widerspruch zur Annahme.
Wir definieren die Folge x n+1 = F (x n ) mit x 0 ∈ M beliebig, aber fest. Dann gilt für m ≥ n
m−1
∑
d(x m , x n ) ≤ d(x j+1 , x j ) ≤
j=n
m−1
∑
j=n
κ j d(x 1 , x 0 ) ≤
d.h. für alle ɛ > 0 gibt es ein N > 0, so dass für alle n, m > N:
d(x m , x n ) ≤
κN
1 − κ d(x 1, x 0 ) ≤ ɛ,
κn
1 − κ d(x 1, x 0 ),
d.h. (x n ) n∈N ist eine Cauchy-Folge. Da M vollständig, existiert ein x ∗ ∈ M, so dass x ∗ =
lim n→∞ x n . x ∗ ist ein Fixpunkt, da wegen der Stetigkeit von F
F (x ∗ ) = F ( lim
n→∞
x n ) = lim
n→∞
F (x n ) = lim
n→∞
x n+1 = x ∗ .
□
Theorem 3.2 Betrachte das Anfangswertproblem
ẋ = f(x, t), x(t 0 ) = x 0
für x ∈ D = {x ∈ R d | ‖x − x 0 ‖ ≤ d 0 } und t ∈ [t 0 − a, t 0 + a] mit a, d 0 > 0. Die Funktion f
sei stetig in t und Lipschitz-stetig in x mit Lipschitz-Konstante L in G = D × [t 0 − a, t 0 + a].
Dann besitzt das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung x ∈ C 1 ([t 0 −δ, t 0 +δ], R d ), wobei
δ = min(a, d 0 /M, 1/(2L)) mit M = sup (x,t)∈G ‖f(x, t)‖.
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