Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

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Dies führt zu der Vermutung, dass x = 0 stabil ist. Es existiert jedoch die Lösung ( ) − cos t sin t e t/2 , welche für t → ∞ unbeschränkt wird. Tatsächlich sind die Floquetexponenten durch λ 1 = 1 2 und λ 2 = −1 gegeben. 24
3 Nichtlineare Systeme Wir betrachten für allgemeine nichtlineare Systeme (1) neben der lokalen Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen auch die Frage nach der globalen Existenz. Anschließend geben wir numerische Verfahren zu deren Untersuchung an und analysieren deren Güte. 3.1 Existenz und Eindeutigkeit Wir beweisen zunächst die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes. Theorem 3.1 Sei (M, d) ein vollständiger metrischer Raum und F : M → M eine Kontraktion, d.h. es gibt ein κ ∈ (0, 1), so dass d(F (x), F (y)) ≤ κd(x, y) für alle x, y ∈ M. Dann besitzt F einen eindeutigen Fixpunkt x ∗ , d.h. x ∗ = F (x ∗ ). Beweis: Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Angenommen es existieren zwei verschiedene Fixpunkte x ∗ und y ∗ . Dann gilt d(x ∗ , y ∗ ) = d(F (x ∗ ), F (y ∗ )) ≤ κd(x ∗ , y ∗ ). Da κ ∈ (0, 1), folgt d(x ∗ , y ∗ ) = 0 und somit x ∗ = y ∗ im Widerspruch zur Annahme. Wir definieren die Folge x n+1 = F (x n ) mit x 0 ∈ M beliebig, aber fest. Dann gilt für m ≥ n m−1 ∑ d(x m , x n ) ≤ d(x j+1 , x j ) ≤ j=n m−1 ∑ j=n κ j d(x 1 , x 0 ) ≤ d.h. für alle ɛ > 0 gibt es ein N > 0, so dass für alle n, m > N: d(x m , x n ) ≤ κN 1 − κ d(x 1, x 0 ) ≤ ɛ, κn 1 − κ d(x 1, x 0 ), d.h. (x n ) n∈N ist eine Cauchy-Folge. Da M vollständig, existiert ein x ∗ ∈ M, so dass x ∗ = lim n→∞ x n . x ∗ ist ein Fixpunkt, da wegen der Stetigkeit von F F (x ∗ ) = F ( lim n→∞ x n ) = lim n→∞ F (x n ) = lim n→∞ x n+1 = x ∗ . □ Theorem 3.2 Betrachte das Anfangswertproblem ẋ = f(x, t), x(t 0 ) = x 0 für x ∈ D = {x ∈ R d | ‖x − x 0 ‖ ≤ d 0 } und t ∈ [t 0 − a, t 0 + a] mit a, d 0 > 0. Die Funktion f sei stetig in t und Lipschitz-stetig in x mit Lipschitz-Konstante L in G = D × [t 0 − a, t 0 + a]. Dann besitzt das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung x ∈ C 1 ([t 0 −δ, t 0 +δ], R d ), wobei δ = min(a, d 0 /M, 1/(2L)) mit M = sup (x,t)∈G ‖f(x, t)‖. 25
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Beispiel 5.30 Wir betrachten das di
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Zu α 30 a 3 : Die Nichtresonanzbed
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Abbildung 24: Schnitt der Lösung m
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mit 0 ≤ ɛ ≪ 1 ein kleiner Para
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q ε p ε Abbildung 27: Unendlich v
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i) Λ enthält eine abzählbare Men
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wobei q u ɛ (t 0 ) = q u ɛ (t 0 ,
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Bemerkung 6.21 Durch die Koordinate
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(x,y,z ) 1 q q (r 0 θ ,z) p p Abbi
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Wir wollen nun eine kurze Zusammenf
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