Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Unteraum. Wie bei Differentialgleichungen bleiben diese im nichtlinearen Fall erhalten und
werden zu stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten. Siehe Abbildung 7.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Abbildung 7: Das Phasenbild der Iteration.
Beispiel 2.20 Betrachte die 1-periodische Differentialgleichung ẋ = (cos 2 2πt)x für x(t) ∈ R.
Als Lösung zur Anfangsbedingung x(0) = x 0 ergibt sich
x(t, 0, x 0 ) = x 0 exp( t 2
+
sin 4πt
8π )
und somit
sin 4πt
P (t) = exp(
8π ) und eBt = exp( t 2 ).
Wir haben einen Floquetmultiplikator e 1/2 und den Floquetexponenten 1/2. Die Zeit 1-Abbildung
ist durch φ(x 0 ) = e 1/2 x 0 gegeben.
Das folgende Beispiel (Markus und Yamabe) zeigt, dass im periodischen Fall die Eigenwerte
einer Matrix keine Aussagekraft über die Stabilität haben.
Beispiel 2.21 Betrachte ẋ = A(t)x mit
( )
−1 +
3
2
A(t) =
cos2 t 1 − 3 sin t cos t
2
−1 − 3 sin t cos t −1 + .
3
2 2 sin2 t
Als charakteristisches Polynom ergibt sich
(−1 + 3 2 cos2 t − λ)(−1 + 3 2 sin2 t − λ) − (1 − 3 sin t cos t)(−1 − 3 sin t cos t)
2 2
= λ 2 + 2λ − 3 2 (cos2 t + sin 2 t)λ + 1 − 3 2 (cos2 t + sin 2 t) + 9 4 cos2 t sin 2 t + 1 − 9 4 cos2 t sin 2 t
= λ 2 + 1 2 λ + 1 2 ,
d.h. die Eigenwerte sind unabhängig von t und lauten
λ 1,2 = (−1 ± i √ 7)/4.
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