Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Um die Stabilität von x = 0 zu untersuchen, reicht es daher die Eigenwerte von B zu betrachten. Erfüllen zum Beispiel alle Eigenwerte λ von B die Beziehung Reλ < 0, so ist x = 0 asymptotisch stabil. Für die Behandlung nichtlinearer Gleichungen ist die Betrachtung von C viel instruktiver. Nach obigem Lemma gilt für n ∈ N und τ ∈ [0, T ), dass x(t, 0, x 0 ) = x(nT + τ, 0, x 0 ) = x(nT + τ, nT, x(nT, 0, x 0 )) = x(nT + τ, nT, x(nT, (n − 1)T, x((n − 1)T, 0, x 0 )) = x(τ, 0, x(T, 0, x(T, 0, . . . , x(T, 0, x 0 )) . . .))) = φ τ ◦ φ T ◦ . . . ◦ φ T (x 0 ), wobei φ t x 0 = x(t, 0, x 0 ). Da τ ∈ [0, T ) ist, ist für die Langzeitdynamik allein die Iteration der Zeit T -Abbildung φ T von Interesse, d.h. im linearen Fall die Abbildung S(T, 0) = (P (T )e BT )(P (0)e B0 ) −1 = C. Theorem 2.18 In einem diskreten dynamischen System x n+1 = Cx n gilt: a) Erfüllen alle Eigenwerte µ von C die Bedingung |µ| < 1, so ist x = 0 asymptotisch stabil, d.h. lim n→∞ x(n, x 0 ) = 0. b) Existiert mindestens ein Eigenwert µ von C mit |µ| > 1, so ist x = 0 instabil. Im 1 Im 1 Re Re asymptotisch stabil instabil Abbildung 6: Die Eigenwerte von C. Linearisierungen um periodische Lösungen in nichtlinearen autonomen Differentialgleichungen enthalten immer einen Floquetmultiplikator 1. Deshalb wird die sogenannte Poincaré- Abbildung betrachtet werden. Wie oben können für diskrete dynamische Systeme invariante Mengen definiert werden. Beispiel 2.19 Betrachte x 1 (n + 1) = 2x 1 (n), x 2 (n + 1) = (1/2)x 2 (n). Die Menge E s = {x ∈ R 2 | x 1 = 0} ist der stabile Unteraum. Die Menge E u = {x ∈ R 2 | x 2 = 0} ist der instabile 22
Unteraum. Wie bei Differentialgleichungen bleiben diese im nichtlinearen Fall erhalten und werden zu stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten. Siehe Abbildung 7. 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Abbildung 7: Das Phasenbild der Iteration. Beispiel 2.20 Betrachte die 1-periodische Differentialgleichung ẋ = (cos 2 2πt)x für x(t) ∈ R. Als Lösung zur Anfangsbedingung x(0) = x 0 ergibt sich x(t, 0, x 0 ) = x 0 exp( t 2 + sin 4πt 8π ) und somit sin 4πt P (t) = exp( 8π ) und eBt = exp( t 2 ). Wir haben einen Floquetmultiplikator e 1/2 und den Floquetexponenten 1/2. Die Zeit 1-Abbildung ist durch φ(x 0 ) = e 1/2 x 0 gegeben. Das folgende Beispiel (Markus und Yamabe) zeigt, dass im periodischen Fall die Eigenwerte einer Matrix keine Aussagekraft über die Stabilität haben. Beispiel 2.21 Betrachte ẋ = A(t)x mit ( ) −1 + 3 2 A(t) = cos2 t 1 − 3 sin t cos t 2 −1 − 3 sin t cos t −1 + . 3 2 2 sin2 t Als charakteristisches Polynom ergibt sich (−1 + 3 2 cos2 t − λ)(−1 + 3 2 sin2 t − λ) − (1 − 3 sin t cos t)(−1 − 3 sin t cos t) 2 2 = λ 2 + 2λ − 3 2 (cos2 t + sin 2 t)λ + 1 − 3 2 (cos2 t + sin 2 t) + 9 4 cos2 t sin 2 t + 1 − 9 4 cos2 t sin 2 t = λ 2 + 1 2 λ + 1 2 , d.h. die Eigenwerte sind unabhängig von t und lauten λ 1,2 = (−1 ± i √ 7)/4. 23
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Um die Stabilität von x = 0 zu untersuchen, reicht es daher die Eigenwerte von B zu betrachten.<br />
Erfüllen zum Beispiel alle Eigenwerte λ von B die Beziehung Reλ < 0, so ist x = 0<br />
asymptotisch stabil. Für die Behandlung nichtlinearer Gleichungen ist die Betrachtung von C<br />
viel instruktiver.<br />
Nach obigem Lemma gilt für n ∈ N <strong>und</strong> τ ∈ [0, T ), dass<br />
x(t, 0, x 0 ) = x(nT + τ, 0, x 0 ) = x(nT + τ, nT, x(nT, 0, x 0 ))<br />
= x(nT + τ, nT, x(nT, (n − 1)T, x((n − 1)T, 0, x 0 ))<br />
= x(τ, 0, x(T, 0, x(T, 0, . . . , x(T, 0, x 0 )) . . .)))<br />
= φ τ ◦ φ T ◦ . . . ◦ φ T (x 0 ),<br />
wobei φ t x 0 = x(t, 0, x 0 ). Da τ ∈ [0, T ) ist, ist für die Langzeitdynamik allein die Iteration der<br />
Zeit T -Abbildung φ T von Interesse, d.h. im linearen Fall die Abbildung<br />
S(T, 0) = (P (T )e BT )(P (0)e B0 ) −1 = C.<br />
Theorem 2.18 In einem diskreten dynamischen System x n+1 = Cx n gilt:<br />
a) Erfüllen alle Eigenwerte µ von C die Bedingung |µ| < 1, so ist x = 0 asymptotisch stabil,<br />
d.h. lim n→∞ x(n, x 0 ) = 0.<br />
b) Existiert mindestens ein Eigenwert µ von C mit |µ| > 1, so ist x = 0 instabil.<br />
Im<br />
1<br />
Im<br />
1<br />
Re<br />
Re<br />
asymptotisch stabil<br />
instabil<br />
Abbildung 6: Die Eigenwerte von C.<br />
Linearisierungen um periodische Lösungen in nichtlinearen autonomen <strong>Differentialgleichungen</strong><br />
enthalten immer einen Floquetmultiplikator 1. Deshalb wird die sogenannte Poincaré-<br />
Abbildung betrachtet werden.<br />
Wie oben können für diskrete dynamische <strong>Systeme</strong> invariante Mengen definiert werden.<br />
Beispiel 2.19 Betrachte x 1 (n + 1) = 2x 1 (n), x 2 (n + 1) = (1/2)x 2 (n). Die Menge E s = {x ∈<br />
R 2 | x 1 = 0} ist der stabile Unteraum. Die Menge E u = {x ∈ R 2 | x 2 = 0} ist der instabile<br />
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