Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Dieses Lemma gilt allgemein für T -periodisches f, d.h. f(x, t) = f(x, t + T ).
Der fundamentale Satz dieses Kapitels lautet
Theorem 2.17 (Floquet) Jede Fundamentalmatrix φ = φ(t) kann als Produkt zweier d × d-
Matrizen
φ(t) = P (t)e Bt
geschrieben werden. Dabei gilt P (t) = P (t + T ) und B ist eine konstante d × d-Matrix.
Beweis: Nach obigem Lemma ist mit φ(t) auch φ(t + T ) eine Fundamentalmatrix. Damit existiert
eine invertierbare d × d-Matrix C, so dass
φ(t + T ) = φ(t)C.
Eine invertierbare d × d-Matrix C kann immer als C = e BT mit B eine nicht eindeutige d × d-
Matrix geschrieben werden. Als Beispiel betrachte C = diag(λ 1 , . . . , λ d ) mit λ j > 0. Dann
ist der Logarithmus B = diag(ln λ 1 , . . . , ln λ d ). Der allgemeine Fall wird in den Übungen
betrachtet. Beachte dazu −1 = e iπ und die Reihe für ln(1 + x) im Falle von Jordanblöcken.
Setze P (t) = φ(t)e −Bt . Dann gilt
P (t + T ) = φ(t + T )e −B(t+T )
= φ(t)Ce −BT e −Bt
= φ(t)e −Bt = P (t)
Die Matrix C heißt Monodromiematrix. Die Eigenwerte von C heißen Floquetmultiplikatoren.
Die Eigenwerte von B heißen Floquetexponenten. Letztere sind nicht eindeutig, da stets 2πi/T
addiert werden kann. Die Floquetmultiplikatoren sind eindeutig, denn: Seien zwei Fundamentalmatrizen
φ = φ(t) und ψ = ψ(t) gegeben. Dann gilt ψ −1 (t)φ(t) = S ist unabhängig von der
Zeit. Somit ist
C φ = φ(t) −1 φ(t + T ) = S −1 ψ(t) −1 ψ(t + T )S = S −1 C ψ S.
Damit sind die Matrizen C zu verschiedenen Fundamentalmatrizen zueinander ähnlich.
Die T -periodische Transformation x(t) = P (t)y(t) liefert
und damit
P (t)ẏ(t) + ˙ P (t)y(t) = ẋ(t) = A(t)x(t) = A(t)P (t)y(t)
ẏ(t) = P (t) −1 (A(t)P (t) − ˙ P (t))y(t)
= P (t) −1 (A(t)P (t) − ˙φ(t)e −Bt − φ(t)(−B)e −Bt )y(t)
= P (t) −1 (A(t)P (t) − A(t)φ(t)e −Bt + φ(t)e −Bt B)y(t)
= P (t) −1 (A(t)P (t) − A(t)P (t) + P (t)B)y(t) = By(t).
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