Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

2.3.3 Symmetrien
Wir bezeichnen mit GL(d) die Gruppe aller invertierbaren linearen Abbildungen des R d in sich.
Im folgenden sei Γ eine abgeschlossene Untergruppe von GL(d).
Beispiel 2.13 Die orthogonalen Matrizen O(d) bestehen aus allen d×d-Matrizen mit A T A = I
Ist zusätzlich det A = 1 so ist A ∈ SO(d), die Menge der speziellen orthogonalen Matrizen.
Definition 2.14 Wir sagen, dass Γ durch die stetige Abbildung (die Darstellung)
Γ × R d → R d , (γ, v) ↦→ γ · v
auf den R d wirkt. Es gilt γ(v 1 + v 2 ) = γv 1 + γv 2 und (γ 1 γ 2 )v = γ 1 (γ 2 v).
Eine Abbildung f : R d → R d kommutiert mit Γ bzw. heißt Γ-äquivariant, falls
f(γx) = γf(x), für alle x ∈ R d , γ ∈ Γ.
Eine Funktion g : R d → R heißt Γ-invariant, falls
g(γx) = g(x), für alle x ∈ R d , γ ∈ Γ.
Ist f Γ-äquivariant, so ist mit x = x(t) auch γx = γx(t) Lösung der Gewöhnlichen Differentialgleichung
ẋ = f(x), denn
d
(γx) = γẋ = γf(x) = f(γx).
dt
Beispiel 2.15 ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = x 2 ist O(2)-äquivariant.
Symmetrien können zu einer Dimensionsreduktion benützt werden. Symmetrien können aber
auch zu Entartungen, wie mehrfache Eigenwerte, führen. Für viele Sätze, insbesonders in der
Bifurkationstheorie, werden Nichtdegeneriertheitsbedingungen gefordert. Diese sind im symmetrischen
Fall meist nicht erfüllt. Daher existieren häufig auch symmetrische Formulierungen
([GS85, GSS88]).
2.4 Lineare Systeme mit periodischen Koeffizienten
Wir betrachten ẋ(t) = A(t)x(t) für t ∈ R mit
d.h. A ist T -periodisch. Offensichtlich gilt:
A(t) = A(t + T ), für ein festes T ∈ R,
Lemma 2.16 Mit x(t, t 0 , x 0 ) ist auch x(t+nT, t 0 +nT, x 0 ) mit n ∈ N Lösung der T -periodischen
Differentialgleichung.
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