Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

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Zusammenfassung Im Mittelpunkt der Vorlesung steht das qualitative Verhalten der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen und allgemeiner von Dynamischen Systemen. Es wird erklärt werden, wieso es prinzipiell unmöglich ist, trotz immer besserer Rechner, gute Langzeitwettervorhersagen zu machen oder wieso nahezu identische Klimamodelle zu unterschiedlichsten Ergebnissen führen. Dazu wird der Begriff des chaotischen Dynamischen Systems definiert und zahlreiche niedrigdimensionale Beispiele werden untersucht. Es werden Wege ins Chaos, wie Periodenverdopplung oder homokline Explosionen vorgestellt. Weitere Themen sind: Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen, Lineare Systeme mit konstanten und periodischen Koeffizienten, Stabilität und Instabilität von Fixpunkten und periodischen Lösungen, Verzweigungstheorie und der Zentrumsmannigfaltigkeitensatz, stabile und instabile Mannigfaltigkeiten, homokline und heterokline Lösungen, Satz von der Begradigung, Gradientensysteme, omega-Limesmengen, Melnikov-Chaos, Silnikov-Chaos, der Lorenzattraktor. 2
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Lineare Systeme und Strukturen 8 2.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Der Lösungsoperator S(t, s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3 Die Variation der Konstanten Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Die Exponentialmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.5 Ebene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Invariante Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Lineare Systeme mit periodischen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Nichtlineare Systeme 25 3.1 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Asymptotische Stabilität 36 4.1 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Bifurkation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Intervallabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Bemerkungen zu Iterationen in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Periodische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5 Dynamik in der Nähe eines Fixpunktes 63 5.1 Der Satz von Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 Stabile, Instabile Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3 Die Zentrumsmannigfaltigkeit und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6 Homokline und heterokline Lösungen 81 6.1 ω-Limesmengen, Ebene Systeme, Gradientensysteme . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Melnikov-Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.3 Silnikov-Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.4 Der Lorenz-Attraktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3
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Einschub: Periodenverdopplung und d
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Theorem 4.33 Perioden-Verdopplungs-
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esitzt n-periodische Lösungen y n
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ii) Die periodische Lösung heißt
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Beispiel 4.43 (Pitchfork-Bifurkatio
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5 Dynamik in der Nähe eines Fixpun
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und Damit ist T (·, f) : Cb 0 →
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Offensichtlich ist W s = E s . Für
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erhalten wir W c = {(µ, x, y) ∈
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Lemma 5.20 Es sei ˜f ∈ C k für
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Lemma 5.25 Für jedes η ∈ (0, β
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Beispiel 5.30 Wir betrachten das di
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Wir suchen nun Koordinatentransform
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Zu α 30 a 3 : Die Nichtresonanzbed
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6 Homokline und heterokline Lösung
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Abbildung 24: Schnitt der Lösung m
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mit 0 ≤ ɛ ≪ 1 ein kleiner Para
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q ε p ε Abbildung 27: Unendlich v
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i) Λ enthält eine abzählbare Men
Seite 91 und 92:
wobei q u ɛ (t 0 ) = q u ɛ (t 0 ,
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Bemerkung 6.21 Durch die Koordinate
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(x,y,z ) 1 q q (r 0 θ ,z) p p Abbi
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Wir wollen nun eine kurze Zusammenf
Seite 99 und 100:
[Ise96] [Kel67] [KK74] [Kre85] Arie
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