Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Betrachte das autonome System ẋ = Ax. Die Eigenräume von A bilden unter dem Fluß e At
invariante Unterräume. Wir fassen die verallgemeinerten Unterräume zu Reλ < 0 zum stabilen
Unterraum E s , die verallgemeinerten Unterräume zu Reλ = 0 zum zentralen Unterraum E c
und die verallgemeinerten Unterräume zu Reλ > 0 zum instabilen Unterraum E u zusammen.
Diese invarianten Unterräume bleiben im nichtlinearen Fall als invariante Mannigfaltigkeiten
erhalten. Der stabile Unterraum E s wird zur stabilen Mannigfaltigkeit W s , der instabile Unterraum
E u wird zur instabilen Mannigfaltigkeit W u und der zentrale Unterraum E c wird zur
zentralen bzw. Zentrums-Mannigfaltigkeit W c .
Beispiel 2.11 Es sei A = diag(1, 0, −1). Dann ist
E s = {x | x = λ(0, 0, 1) T , λ ∈ R}
E c = {x | x = λ(0, 1, 0) T , λ ∈ R}
E u = {x | x = λ(1, 0, 0) T , λ ∈ R}.
Hamiltonsche Systeme bilden eine weitere wichtige Klasse von Differentialgleichungen
ẋ = J∇H(x)
mit H : R 2 ˜d → R die Hamilton-Funktion und J = −J T
Operator. Mechanische Systeme lassen sich so darstellen.
∈ R 2 ˜d×2 ˜d ein schiefsymmetrischer
Beispiel 2.12 Es sei q der Ort eines Teilchens. Nach Newton erhalten wir als Bewegungsgleichung
¨q = −∇U(q) mit einem Potential U. Wir führen den Impuls p ein und schreiben dies als
erstes Ordnungssystem
˙q = p, ṗ = −∇U(q),
bzw. als
˙q = ∂ ∂p (p2 /2), ṗ = − ∂ ∂q U(q)
Mit H = p 2 /2 + U(q) ergibt sich
(
dq
dt
dp
dt
)
=
(
∂H
∂p
− ∂H
∂q
) (
0 1
=
−1 0
) (
∂H
∂q
∂H
∂p
)
Die Hamilton-Funktion H ist ein Integral, denn
d
dt H(x(t)) = ((∇H)(x(t)))T ẋ(t) = ((∇H)(x(t))) T J((∇H)(x(t)) = 0,
da J ein schiefsymmetrischer Operator ist. Damit ist die Menge {x | H(x) = const.} invariant
unter dem Fluß. Sie heißt Energiefläche. Die Theorie dieser Systeme ist Gegenstand von
Spezialvorlesungen; siehe insbesondere Integrabilität, Stabilität, KAM-Theorie.
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