Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Systeme der klassischen Mechanik fallen in den Fall b) und werden in den Hamiltonschen Systemen
genauer untersucht.
Eine andere Methode Stabilität nachzuweisen beruht auf sogenannten Lyapunovfunktionen. Eine
Lyapunovfunktionen W : R d → R nimmt entlang von Lösungen ab.
Beispiel 2.6 Es sei W (x) = x 2 1 + x 2 2 und ẋ 1 = −2x 1 , ẋ 2 = −x 2 . Dann gilt
d
dt W (x(t)) = ((∇W )(x(t)))T ẋ(t) = −4x 2 1 − 2x2 2 < 0,
falls (x 1 , x 2 ) ≠ (0, 0). Da das Minimum in (x 1 , x 2 ) = (0, 0) liegt, konvergiert jede Lösung
gegen (0, 0).
Beispiel 2.7 Das Potential V : R d → R von Gradientensystemen ẋ = −∇V (x) ist eine Lyapunovfunktion.
Um eine lineare Differentialgleichung zu erhalten, muß V = ∑ d
i,j=1 b ijx i x j =
x T Bx bilinear sein. Wir erhalten
ẋ k = −∂ xk V (x) = − ∑ ij
(δ ik b ij x j + x i b ij δ kj ) = − ∑ j
(b kj + b jk )x j
und somit ẋ = −(B + B T )x. Die Matrix (B + B T ) ist symmetrisch, womit kein Jordanblock
möglich ist. Ist (B + B T ) positiv definit, so ist x = 0 stabil. Ist (B + B T ) strikt positiv definit,
so ist x = 0 asymptotisch stabil.
2.3.2 Invariante Mengen
Wir betrachten im folgenden autonome Systeme ẋ = f(x).
Definition 2.8 Eine Menge M ⊂ R d heißt (positiv, negativ) invariant unter dem Fluß der Differentialgleichung,
falls für alle x 0 ∈ M folgt: x(t, x 0 ) ∈ M für alle t ∈ R (t > 0, t < 0).
Definition 2.9 Eine Funktion F : R d → R heißt Integral von (1), falls F (x(t)) unabhängig
von der Zeit entlang der Lösungen von (1), d.h. d F (x(t)) = 0.
dt
Offensichtlich ist {x ∈ R d | F (x) = const.} eine invariante Menge. Integrale sind hilfreich zum
Verständnis von Lösungen. Sind (d−1) Integrale F j bekannt, so ist das Lösen der Gewöhnlichen
Differentialgleichung (1) äquivalent zum Auflösen von (d − 1) algebraischen Gleichungen.
Beispiel 2.10 Es sei F (x) = x 2 1 + x2 2 und ẋ 1 = −x 2 , ẋ 2 = x 1 . Dann gilt
Damit ist ein F ein Integral.
d
dt F (x(t)) = ((∇F )(x(t))T ẋ(t) = −x 1 x 2 + x 2 x 1 = 0.
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