Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

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( ) 1 1 b) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 + x 2 und x˙ 2 = x 2 . Für die zweite Gleichung ergibt sich x 2 (t) = e t x 2 (0). Die Variation der Konstanten Formel auf die erste Gleichung 0 1 angewendet, ergibt x 1 (t) = e t x 1 (0) + ∫ t 0 e t−s e s u 2 (0)ds = e t x 1 (0) + e t tx 2 (0). Das Phasenbild ist nicht generisch, da das Auftreten eines Jordanblockes unwahrscheinlich ist. 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Abbildung 3: Fluß in der Phasenebene zu b). 2.3 Strukturen 2.3.1 Stabilität Ein Punkt x 0 ∈ R d heißt Fixpunkt (Gleichgewicht, singulärer Punkt, kritischer Punkt) der Gewöhnlichen Differentialgleichung (1), wenn für die rechte Seite f(x 0 , t) = 0 für alle t ∈ R. Dann ist x ≡ x 0 Lösung von (1). Definition 2.4 Ein Fixpunkt x 0 ∈ R d heißt stabil, falls für alle ɛ > 0 und t 0 ∈ R ein δ > 0 existiert, so dass aus ‖x 1 − x 0 ‖ < δ für alle t ≥ t 0 die Schranke ‖x(t, t 0 , x 1 ) − x 0 ‖ < ɛ folgt. Ein nicht stabiler Fixpunkt heißt instabil. Ein stabiler Fixpunkt heißt asymptotisch stabil, falls zusätzlich lim t→∞ x(t, t 0 , x 1 ) = x 0 gilt. Die Idee der Stabilität ist: kleine Störungen führen zu kleinen Abweichungen; siehe Abb.4. Aus der expliziten Darstellungsformel für e At mittels der Jordanschen Normalform folgt unmittelbar für autonome Gleichungen. 16
ε δ x=x(t) x 0 x 1 Abbildung 4: Stabilität eines Fixpunktes. Theorem 2.5 Der Fixpunkt x = 0 in ẋ = Ax ist a) asymptotisch stabil, falls alle Eigenwerte λ von A die Beziehung Reλ < 0 erfüllen. b) stabil, falls alle Eigenwerte λ die Beziehung Reλ ≤ 0 erfüllen und zu den Eigenwerten mit Reλ = 0 keine Jordanblöcke auftreten, d.h. diese Eigenwerte gleiche algebraische und geometrische Vielfachheit besitzen. c) sonst instabil (, d.h. es gibt Eigenwerte mit Reλ = 0 und Jordanblock oder mindestens einen Eigenwert mit Reλ > 0) Siehe Abbildung 5. Im Im Im Re Re Re asymptotisch stabil stabil instabil Abbildung 5: Eigenwerte von A. In Kapitel 4 zeigen wir, dass ein Fixpunkt auch im nichtlinearen Fall stabil bzw. instabil ist, falls die Linearisierung um diesen Fixpunkt in den Fall a) oder c) fällt. Im Fall b) entscheiden die nichtlinearen Terme. In dieser Vorlesung konzentrieren wir uns auf die Fälle a) und c). Alle 17
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erhalten wir W c = {(µ, x, y) ∈
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Lemma 5.25 Für jedes η ∈ (0, β
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Beispiel 5.30 Wir betrachten das di
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Wir suchen nun Koordinatentransform
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Zu α 30 a 3 : Die Nichtresonanzbed
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6 Homokline und heterokline Lösung
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Abbildung 24: Schnitt der Lösung m
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mit 0 ≤ ɛ ≪ 1 ein kleiner Para
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q ε p ε Abbildung 27: Unendlich v
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i) Λ enthält eine abzählbare Men
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wobei q u ɛ (t 0 ) = q u ɛ (t 0 ,
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Bemerkung 6.21 Durch die Koordinate
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(x,y,z ) 1 q q (r 0 θ ,z) p p Abbi
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Wir wollen nun eine kurze Zusammenf
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