Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

( )
1 1
b) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 + x 2 und x˙
2 = x 2 . Für die zweite Gleichung
ergibt sich x 2 (t) = e t x 2 (0). Die Variation der Konstanten Formel auf die erste Gleichung
0 1
angewendet, ergibt
x 1 (t) = e t x 1 (0) +
∫ t
0
e t−s e s u 2 (0)ds = e t x 1 (0) + e t tx 2 (0).
Das Phasenbild ist nicht generisch, da das Auftreten eines Jordanblockes unwahrscheinlich ist.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Abbildung 3: Fluß in der Phasenebene zu b).
2.3 Strukturen
2.3.1 Stabilität
Ein Punkt x 0 ∈ R d heißt Fixpunkt (Gleichgewicht, singulärer Punkt, kritischer Punkt) der
Gewöhnlichen Differentialgleichung (1), wenn für die rechte Seite f(x 0 , t) = 0 für alle t ∈ R.
Dann ist x ≡ x 0 Lösung von (1).
Definition 2.4 Ein Fixpunkt x 0 ∈ R d heißt stabil, falls für alle ɛ > 0 und t 0 ∈ R ein δ > 0
existiert, so dass aus ‖x 1 − x 0 ‖ < δ für alle t ≥ t 0 die Schranke ‖x(t, t 0 , x 1 ) − x 0 ‖ < ɛ folgt.
Ein nicht stabiler Fixpunkt heißt instabil.
Ein stabiler Fixpunkt heißt asymptotisch stabil, falls zusätzlich lim t→∞ x(t, t 0 , x 1 ) = x 0 gilt.
Die Idee der Stabilität ist: kleine Störungen führen zu kleinen Abweichungen; siehe Abb.4.
Aus der expliziten Darstellungsformel für e At mittels der Jordanschen Normalform folgt unmittelbar
für autonome Gleichungen.
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