Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

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-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
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Abbildung 1: Richtungsfeld und Fluß in der Phasenebene zu a1i), und Fluß zu a1ii).
x 1 (0)x 2 (0), d.h. x 1 = C/x 2 . Das Phasenbild (Sattel) ist stabil unter kleinen Störungen, d.h.
A = diag(1.1, −0.9) hat ein vergleichbares Phasenbild.
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a2i) Es sei A =
Abbildung 2: Fluß in der Phasenebene zu a1iii), zu a2i) und a2ii).
(
0 1
−1 0
)
. Damit erhalten wir ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −x 1 und für ˜x = x 1 + ix 2
die Gleichung ˙˜x = −i˜x. Die Lösung ˜x(t) = e −it˜x(0) läßt die Kreise |˜x(t)| 2 = |˜x(0)| 2 , d.h.
x 2 1 +x2 2 = C, invariant. Als Lösungskurven ergeben sich also Kreise. Das Phasenbild (Zentrum)
ist nicht stabil unter
(
kleinen
)
Störungen. Im allgemeinen erhalten wir Fall a2ii)
1 1
a2ii) Es sei A =
. Damit erhalten wir für ˜x = x 1 + ix 2 die Gleichung ˙˜x = (1 − i)˜x.
−1 1
Als Lösung ergibt sich ˜x(t) = e t e −it˜x(0). In Polarkoordinaten ˜x(t) = r(t)e iφ(t) mit r(t) ∈ R
und φ(t) ∈ S 1 = R/(2πZ) ergeben sich ṙ = r und ˙φ = −1 als Gleichungen und r(t) = e t r(0)
und φ(t) = (φ(0) + t)mod2π. Als Lösungskurven ergeben sich also Spiralen. Das Phasenbild
(Wirbel) ist stabil unter kleinen Störungen.
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