Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
und damit letztendlich ⎛ t 1 t 2 2! 0 1 t e Nkt = 0 ⎜ 0 ⎝ . .. . .. . .. t k−1 (k−1)! 0 t 0 1 ⎞ . ⎟ ⎠ 2.2.5 Ebene Systeme Es sei x = x(t) ∈ R 2 . Wit wollen den Fluß der Lösungen x = x(t, x 0 ) autonomer homogener Differentialgleichungen (6) in der Ebene graphisch darstellen. Nach obigen Überlegungen reicht es ẋ = Ax mit A ∈ R 2×2 in Jordanscher Normalform zu betrachten. Es können folgende Fälle auftreten: ( ) λ1 0 a) A = ist diagonalisierbar mit a1) λ j ∈ R oder a2) λ 1 = λ 2 . Im Fall a1) unterscheiden wir i) λ 1 = λ 2 , ii) λ 1 > λ 2 > 0 und iii) λ 1 > 0 > λ 2 . Alle weiteren auftretenden Fälle 0 λ 2 ergeben sich aus i)-iii) durch Zeitumkehr t ↦→ −t. ( ) λ 1 b) A = ist ein Jordanblock mit λ j ∈ R 0 λ Anhand von Beispielen wollen wir die Lösungen veranschaulichen, wobei C im folgenden allgemein für auftretende Konstanten gebraucht wird. ( ) 1 0 a1i) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = x 2 und die Lösungen x 1 (t) = 0 1 e t x 1 (0), x 2 (t) = e t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Geraden x 1 (t)/x 2 (t) = x 1 (0)/x 2 (0), d.h. x 1 = Cx 2 . Um die Lösungen graphisch zu veranschaulischen, können wir in jedem Punkt das Vektorfeld f(x) = x ∈ R 2 einzeichnen. Das Vektorfeld f(x)/‖f(x)‖ heißt Richtungsfeld. Jede Lösung x = x(t) hat im Punkt x ∈ R 2 den Vektor f(x) ∈ R 2 als Tangentialvektor ẋ(t). ( ) 2 0 a1ii) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = 2x 1 , ẋ 2 = x 2 und die Lösungen 0 1 x 1 (t) = e 2t x 1 (0), x 2 (t) = e t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Parabeln x 1 (t)/(x 2 (t)) 2 = x 1 (0)/(x 2 (0)) 2 , d.h. x 1 = Cx 2 2. Das Phasenbild (Knoten) ist stabil unter kleinen Störungen, d.h. A = diag(1.9, 1.1) hat ( ein vergleichbares ) Phasenbild. 1 0 a1iii) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = −x 2 und die Lösungen 0 −1 x 1 (t) = e t x 1 (0), x 2 (t) = e −t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Hyperbeln x 1 (t)x 2 (t) = 14
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Abbildung 1: Richtungsfeld und Fluß in der Phasenebene zu a1i), und Fluß zu a1ii). x 1 (0)x 2 (0), d.h. x 1 = C/x 2 . Das Phasenbild (Sattel) ist stabil unter kleinen Störungen, d.h. A = diag(1.1, −0.9) hat ein vergleichbares Phasenbild. 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 a2i) Es sei A = Abbildung 2: Fluß in der Phasenebene zu a1iii), zu a2i) und a2ii). ( 0 1 −1 0 ) . Damit erhalten wir ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −x 1 und für ˜x = x 1 + ix 2 die Gleichung ˙˜x = −i˜x. Die Lösung ˜x(t) = e −it˜x(0) läßt die Kreise |˜x(t)| 2 = |˜x(0)| 2 , d.h. x 2 1 +x2 2 = C, invariant. Als Lösungskurven ergeben sich also Kreise. Das Phasenbild (Zentrum) ist nicht stabil unter ( kleinen ) Störungen. Im allgemeinen erhalten wir Fall a2ii) 1 1 a2ii) Es sei A = . Damit erhalten wir für ˜x = x 1 + ix 2 die Gleichung ˙˜x = (1 − i)˜x. −1 1 Als Lösung ergibt sich ˜x(t) = e t e −it˜x(0). In Polarkoordinaten ˜x(t) = r(t)e iφ(t) mit r(t) ∈ R und φ(t) ∈ S 1 = R/(2πZ) ergeben sich ṙ = r und ˙φ = −1 als Gleichungen und r(t) = e t r(0) und φ(t) = (φ(0) + t)mod2π. Als Lösungskurven ergeben sich also Spiralen. Das Phasenbild (Wirbel) ist stabil unter kleinen Störungen. 15
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<strong>und</strong> damit letztendlich<br />
⎛<br />
t<br />
1 t 2<br />
2!<br />
0 1 t<br />
e Nkt =<br />
0<br />
⎜ 0<br />
⎝<br />
. ..<br />
. ..<br />
. ..<br />
t k−1<br />
(k−1)!<br />
0 t<br />
0 1<br />
⎞<br />
.<br />
⎟<br />
⎠<br />
2.2.5 Ebene <strong>Systeme</strong><br />
Es sei x = x(t) ∈ R 2 . Wit wollen den Fluß der Lösungen x = x(t, x 0 ) autonomer homogener<br />
<strong>Differentialgleichungen</strong> (6) in der Ebene graphisch darstellen. Nach obigen Überlegungen<br />
reicht es ẋ = Ax mit A ∈ R 2×2 in Jordanscher Normalform zu betrachten. Es können folgende<br />
Fälle auftreten:<br />
( )<br />
λ1 0<br />
a) A =<br />
ist diagonalisierbar mit a1) λ j ∈ R oder a2) λ 1 = λ 2 . Im Fall a1) unterscheiden<br />
wir i) λ 1 = λ 2 , ii) λ 1 > λ 2 > 0 <strong>und</strong> iii) λ 1 > 0 > λ 2 . Alle weiteren auftretenden Fälle<br />
0 λ 2<br />
ergeben sich aus i)-iii) durch Zeitumkehr t ↦→ −t.<br />
( )<br />
λ 1<br />
b) A = ist ein Jordanblock mit λ j ∈ R<br />
0 λ<br />
Anhand von Beispielen wollen wir die Lösungen veranschaulichen, wobei C im folgenden allgemein<br />
für auftretende Konstanten gebraucht wird.<br />
( )<br />
1 0<br />
a1i) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = x 2 <strong>und</strong> die Lösungen x 1 (t) =<br />
0 1<br />
e t x 1 (0), x 2 (t) = e t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Geraden x 1 (t)/x 2 (t) = x 1 (0)/x 2 (0),<br />
d.h. x 1 = Cx 2 .<br />
Um die Lösungen graphisch zu veranschaulischen, können wir in jedem Punkt das Vektorfeld<br />
f(x) = x ∈ R 2 einzeichnen. Das Vektorfeld f(x)/‖f(x)‖ heißt Richtungsfeld. Jede Lösung<br />
x = x(t) hat im Punkt x ∈ R 2 den Vektor f(x) ∈ R 2 als Tangentialvektor ẋ(t).<br />
( )<br />
2 0<br />
a1ii) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = 2x 1 , ẋ 2 = x 2 <strong>und</strong> die Lösungen<br />
0 1<br />
x 1 (t) = e 2t x 1 (0), x 2 (t) = e t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Parabeln x 1 (t)/(x 2 (t)) 2 =<br />
x 1 (0)/(x 2 (0)) 2 , d.h. x 1 = Cx 2 2. Das Phasenbild (Knoten) ist stabil unter kleinen Störungen, d.h.<br />
A = diag(1.9, 1.1) hat<br />
(<br />
ein vergleichbares<br />
)<br />
Phasenbild.<br />
1 0<br />
a1iii) Es sei A =<br />
. Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = −x 2 <strong>und</strong> die Lösungen<br />
0 −1<br />
x 1 (t) = e t x 1 (0), x 2 (t) = e −t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Hyperbeln x 1 (t)x 2 (t) =<br />
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