Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Die Exponentialreihe e At kann wie folgt berechnet werden. Die Transformation x = Sy in<br />
ẋ = Ax ergibt ẏ = S −1 ASy = Jy, wobei J die Jordansche Normalform ist, d.h.<br />
beziehungsweise<br />
e At x 0 = Se Jt y 0 = Se Jt S −1 x 0 ,<br />
S −1 e At S = S −1 (1 + At + A2 t 2<br />
+ ...)S<br />
2<br />
= (1 + S −1 ASt + S−1 ASS −1 ASt 2<br />
2<br />
+ ...) = (1 + Jt + J 2 t 2<br />
2 + ...) = eJt .<br />
Damit reicht es e Jt für J eine Matrix in Jordanscher Normalform zu berechnen. Diese ist von<br />
der Form<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
J 1 0<br />
λ j 1 0<br />
J 2 . .. . ..<br />
J =<br />
J 3 mit J j =<br />
. .. . ..<br />
.<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
1 ⎠<br />
0 J r 0 λ j<br />
Da<br />
gilt, reicht es<br />
⎛<br />
e Jt = exp( ⎝<br />
⎞<br />
J 1 0<br />
. .. ⎠ t) =<br />
0 J r<br />
⎛<br />
⎝<br />
e J jt = e (λ j E+N k )t = e λ jEt e N kt<br />
e J ⎞<br />
1t<br />
0<br />
. .. ⎠<br />
0 e Jrt<br />
zu betrachten, wobei die letzte Gleichung wegen EN k = N k E mit der k × k-Matrix<br />
gilt. Übrig bleibt somit die Berechnung von<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 1 0<br />
. .. . ..<br />
N k =<br />
. .. . ..<br />
⎜<br />
⎝<br />
.<br />
⎟ .. 1 ⎠<br />
0 0<br />
e N kt =<br />
∞∑<br />
ν=0<br />
t ν<br />
ν! N ν k .<br />
Es gilt aber<br />
N µ k = (δ i,j−µ) µ = 0, ..., k − 1<br />
N µ k<br />
= 0 µ = k, k + 1, ...<br />
13
Change language