Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Aufintegrieren liefert y(t) − y(s) = Nach Rücktransformation erhalten wir ∫ t s ẏ(τ)dτ = ∫ t s S(s, τ)g(τ)dτ. ∫ t x(t) = S(t, s)y(t) = S(t, s)y(s) + S(t, s) S(s, τ)g(τ)dτ = S(t, s)x(s) + ∫ t S(t, τ)g(τ)dτ, s s da S(s, s) = I gilt. Dies heisst Variation der Konstanten Formel oder Formel von Duhamel. 2.2.4 Die Exponentialmatrix Wir betrachten die lineare autonome Gleichung ẋ = Ax mit A ∈ R d×d unabhängig von t. Offensichtlich löst mit x = x(t) auch x = x(t − s) die Differentialgleichung. O.B.d.A können wir daher betrachten Theorem 2.3 Die Lösung von (7) ist durch gegeben, d.h. S(t, s) = e A(t−s) . ẋ = Ax, x| t=0 = x 0 . (7) x(t) = e At x 0 = ∞∑ (At) n x 0 , (8) n! n=0 Beweis: Die unendliche Summe konvergiert absolut, denn ∞∑ ‖e At (At) n x 0 ‖ ≤ ‖ x 0 ‖ ≤ n! n=0 ≤ e ‖A‖t ‖x 0 ‖. ∞∑ ‖A‖ n t n ‖x 0 ‖ n! n=0 Einsetzen ergibt ( d ∑ ∞ dt n=0 ) (At) n x 0 = n! ∞∑ n=1 A(At) n−1 (n − 1)! x 0 = A ∞∑ (At) n x 0 . n! n=0 □ 12
Die Exponentialreihe e At kann wie folgt berechnet werden. Die Transformation x = Sy in ẋ = Ax ergibt ẏ = S −1 ASy = Jy, wobei J die Jordansche Normalform ist, d.h. beziehungsweise e At x 0 = Se Jt y 0 = Se Jt S −1 x 0 , S −1 e At S = S −1 (1 + At + A2 t 2 + ...)S 2 = (1 + S −1 ASt + S−1 ASS −1 ASt 2 2 + ...) = (1 + Jt + J 2 t 2 2 + ...) = eJt . Damit reicht es e Jt für J eine Matrix in Jordanscher Normalform zu berechnen. Diese ist von der Form ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ J 1 0 λ j 1 0 J 2 . .. . .. J = J 3 mit J j = . .. . .. . ⎜ ⎝ . .. ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ . .. ⎟ 1 ⎠ 0 J r 0 λ j Da gilt, reicht es ⎛ e Jt = exp( ⎝ ⎞ J 1 0 . .. ⎠ t) = 0 J r ⎛ ⎝ e J jt = e (λ j E+N k )t = e λ jEt e N kt e J ⎞ 1t 0 . .. ⎠ 0 e Jrt zu betrachten, wobei die letzte Gleichung wegen EN k = N k E mit der k × k-Matrix gilt. Übrig bleibt somit die Berechnung von ⎛ ⎞ 0 1 0 . .. . .. N k = . .. . .. ⎜ ⎝ . ⎟ .. 1 ⎠ 0 0 e N kt = ∞∑ ν=0 t ν ν! N ν k . Es gilt aber N µ k = (δ i,j−µ) µ = 0, ..., k − 1 N µ k = 0 µ = k, k + 1, ... 13
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Aufintegrieren liefert<br />
y(t) − y(s) =<br />
Nach Rücktransformation erhalten wir<br />
∫ t<br />
s<br />
ẏ(τ)dτ =<br />
∫ t<br />
s<br />
S(s, τ)g(τ)dτ.<br />
∫ t<br />
x(t) = S(t, s)y(t) = S(t, s)y(s) + S(t, s)<br />
S(s, τ)g(τ)dτ<br />
= S(t, s)x(s) +<br />
∫ t<br />
S(t, τ)g(τ)dτ,<br />
s<br />
s<br />
da S(s, s) = I gilt. Dies heisst Variation der Konstanten Formel oder Formel von Duhamel.<br />
2.2.4 Die Exponentialmatrix<br />
Wir betrachten die lineare autonome Gleichung<br />
ẋ = Ax<br />
mit A ∈ R d×d unabhängig von t. Offensichtlich löst mit x = x(t) auch x = x(t − s) die<br />
Differentialgleichung. O.B.d.A können wir daher betrachten<br />
Theorem 2.3 Die Lösung von (7) ist durch<br />
gegeben, d.h. S(t, s) = e A(t−s) .<br />
ẋ = Ax, x| t=0 = x 0 . (7)<br />
x(t) = e At x 0 =<br />
∞∑ (At) n<br />
x 0 , (8)<br />
n!<br />
n=0<br />
Beweis: Die unendliche Summe konvergiert absolut, denn<br />
∞∑<br />
‖e At (At) n<br />
x 0 ‖ ≤ ‖ x 0 ‖ ≤<br />
n!<br />
n=0<br />
≤ e ‖A‖t ‖x 0 ‖.<br />
∞∑ ‖A‖ n t n<br />
‖x 0 ‖<br />
n!<br />
n=0<br />
Einsetzen ergibt<br />
(<br />
d ∑ ∞<br />
dt<br />
n=0<br />
)<br />
(At) n<br />
x 0 =<br />
n!<br />
∞∑<br />
n=1<br />
A(At) n−1<br />
(n − 1)! x 0 = A<br />
∞∑ (At) n<br />
x 0 .<br />
n!<br />
n=0<br />
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