Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Ist g ≡ 0, so gilt:
x(t) = c 1 x 1 hom (t) + . . . + c dx d hom
⎛
(t),
⎞
c 1
= ( x 1 hom (t), . . . , xd hom (t)) ⎜
c 2
⎟
⎝ . ⎠
c d
= φ(t) c.
Jede solche Matrix φ heißt Fundamentalmatrix. Ist eine Fundamentalmatrix bekannt, so kann
die Lösung zu ẋ = A(t)x, x| t=t0 = x 0 aus x(t) = φ(t)c und x 0 = φ(t 0 )c berechnet werden.
Wir erhalten
x(t, t 0 , x 0 ) = φ(t)φ(t 0 ) −1 x 0 .
2.2.2 Der Lösungsoperator S(t, s)
Wegen des Satzes von Picard-Lindelöf ist φ(t)φ(t 0 ) −1 unabhängig von der speziellen Wahl der
Fundamentalmatrix φ. wir definieren den linearen Lösungsoperator
{
R d → R d
S(t, s) :
x 0 ↦→ x(t, s, x 0 )
durch die Lösung x = x(t, s, x 0 ) von ẋ = A(t)x zur Anfangsbedingung x| t=s
S(t, s) = φ(t)φ(s) −1 . Offensichtlich gilt:
= x 0 , d.h.
S(t, s) = S(t, τ) ◦ S(τ, s)
S(t, t) = I
Für festes s, t ∈ R ist S(t, s) : R d → R d eine bijektive Abbildung (invertierbare Matrix), mit
S(t, s) −1 = S(s, t). Da diese Abbildung linear ist, ist sie bezüglich x 0 beliebig oft differenzierbar
und daher ein Diffeomorphismus von R d nach R d .
2.2.3 Die Variation der Konstanten Formel
Wir betrachten
ẋ = A(t)x + g(t)
und wollen die Lösung x = x(t) durch die Inhomogenität g = g(t) und den Lösungsoperator
S = S(t, s) ausdrücken. Nach Differenzieren von x(t) = S(t, s)y(t) ergibt sich
ẋ(t) = ∂ t S(t, s)y(t) + S(t, s)ẏ(t)
= A(t)S(t, s)y(t) + g(t).
Da S(t, s) das homogene Problem ∂ t S(t, s) = A(t)S(t, s) löst, ergibt sich
ẏ(t) = S(t, s) −1 g(t) = S(s, t)g(t).
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