Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Damit kann für global stetiges g und A die globale Existenz- und Eindeutigkeit der Lösungen
von (5) nachgewiesen werden.
Theorem 2.1 (5) besitzt für jedes (x 0 , t 0 ) ∈ R d × I 0 genau eine Lösung x(t) = x(t, t 0 , x 0 ) mit
x(t 0 ) = x 0 . Diese Lösung existiert auf ganz I 0 und ist dort stetig differenzierbar.
Beweis: Später in Kapitel 3.1.
Wegen des lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf bilden die Lösungen
x = x(t, t 0 , x 0 ) einer nichtlinearen Differentialgleichung ẋ = f(x, t) für x 0 ∈ U ⊂ R d und t in
einem Intervall I eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit (Fläche) M ⊂ C 1 (I, R d ). Wegen des
Existenz und Eindeutigkeitssatzes kann jedem x ∈ M seine Anfangsbedingung x| t=t0 = x 0 ∈
U ⊂ R d zugeordnet werden.
Im linearen Fall (5) gilt folgendes:
Theorem 2.2 Für lineare Differentialgleichungen (1) ist die Mannigfaltigkeit M ein d-dimensionaler
affiner Raum. Ist g ≡ 0, so ist M ein d-dimensionaler Vektorraum (Superpositionsprinzip).
□
Beweis: Setze
L :
{
x ↦→ −ẋ + A(t)x,
C 1 (I 0 , R d ) → C 0 (I 0 , R d )
Es gilt L(αx + βy) = αLx + βLy für x, y ∈ C 1 (I 0 , R d ) und α, β ∈ R, d.h. L ist ein linearer
Operator. Die Aussage, x löst ẋ = A(t)x, ist äquivalent zu Lx = 0, d.h. die Lösungen bilden
einen Vektorraum im Fall g = 0.
Es seien x und y Lösungen von ẋ = A(t)x + g(t), d.h. es gilt Lx = g und Ly = g. Dann folgt
L(x − y) = 0. Damit ist M ein affiner Raum.
Wegen des lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes ist M bereits als d-dimensional bekannt.
□
Konsequenz: Sei x inh irgend eine feste Lösung der inhomogenen Gleichung, d.h. ẋ inh =
A(t)x inh + g(t) und {x 1 hom , . . . , xd hom } eine Basis aus Lösungen der homogenen Gleichung,
d.h.
ẋ j hom = A(t)xj hom .
Dann schreibt sich eine allgemeine Lösung x von (5) als
x = x inh + c 1 x 1 hom + ... + c dx d hom
mit c j ∈ R. Die Konstanten c j können zu einer gegebenen Anfangsbedingung x| t=t0 = x 0
berechnet werden, d.h.
x 0 = x inh (t 0 ) + c 1 x 1 hom(t 0 ) + . . . + c d x d hom(t 0 ).
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