Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Gewöhnliche Differentialgleichungen
und
Dynamische Systeme
Vorlesungsskript 1 2
Prof. Dr. Guido Schneider
Mathematisches Institut I
Universität Karlsruhe
Sommersemester 2004
1 Dies ist bislang nur ein Entwurf, welcher noch zahlreiche Fehler enthält. Diese Inhaltsangabe kann und soll
kein Ersatz zum Studium existierender Literatur sein.
2 mit Ergänzungen von Dr. Hannes Uecker

Zusammenfassung
Im Mittelpunkt der Vorlesung steht das qualitative Verhalten der Lösungen gewöhnlicher
Differentialgleichungen und allgemeiner von Dynamischen Systemen. Es wird erklärt werden,
wieso es prinzipiell unmöglich ist, trotz immer besserer Rechner, gute Langzeitwettervorhersagen
zu machen oder wieso nahezu identische Klimamodelle zu unterschiedlichsten
Ergebnissen führen. Dazu wird der Begriff des chaotischen Dynamischen Systems
definiert und zahlreiche niedrigdimensionale Beispiele werden untersucht. Es werden Wege
ins Chaos, wie Periodenverdopplung oder homokline Explosionen vorgestellt. Weitere
Themen sind: Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen, Lineare Systeme mit konstanten
und periodischen Koeffizienten, Stabilität und Instabilität von Fixpunkten und periodischen
Lösungen, Verzweigungstheorie und der Zentrumsmannigfaltigkeitensatz, stabile
und instabile Mannigfaltigkeiten, homokline und heterokline Lösungen, Satz von der Begradigung,
Gradientensysteme, omega-Limesmengen, Melnikov-Chaos, Silnikov-Chaos,
der Lorenzattraktor.
2

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 4
2 Lineare Systeme und Strukturen 8
2.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Der Lösungsoperator S(t, s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Die Variation der Konstanten Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Die Exponentialmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.5 Ebene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Invariante Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Lineare Systeme mit periodischen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Nichtlineare Systeme 25
3.1 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Asymptotische Stabilität 36
4.1 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Bifurkation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Intervallabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Bemerkungen zu Iterationen in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Periodische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Dynamik in der Nähe eines Fixpunktes 63
5.1 Der Satz von Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Stabile, Instabile Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Die Zentrumsmannigfaltigkeit und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Homokline und heterokline Lösungen 81
6.1 ω-Limesmengen, Ebene Systeme, Gradientensysteme . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Melnikov-Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 Silnikov-Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Der Lorenz-Attraktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3

1 Einleitung
Unter einer Gewöhnlichen Differentialgleichung verstehen wir eine Relation
ẋ = f(x, t) (1)
mit x = x(t) ∈ R d und f : U × I ⊂ R d × R → R d mit U offen und I ein Intervall. Die Variable
t ∈ I wird als die Zeit bezeichnet. Der Raum R d heißt der Phasenraum.
Ist f stetig in U × I, so heißt eine stetig differenzierbare Funktion x : Ĩ ⊂ I → Rd , welche (1)
erfüllt, Lösung der Gewöhnlichen Differentialgleichung im Intervall Ĩ.
Für lokal Lipschitz-stetiges f ist die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von (1)
wohlbekannt.
Theorem 1.1 (Satz von Picard-Lindelöf [KK74]) Für gegebenes x 0 ∈ R d und t 0 ∈ R sei
die Funktion f auf der Menge Q = {(x, t) | |t − t 0 | ≤ α, ‖x − x 0 ‖ R d ≤ β} stetig in t und
Lipschitz-stetig in x, d.h. es gibt ein L > 0 so dass
‖f(x 1 , t) − f(x 2 , t)‖ R d ≤ L‖x 1 − x 2 ‖ R d
für alle (x j , t) ∈ Q, (j = 1, 2). Weiter möge mit M = max (x,t)∈Q ‖f(x, t)‖ R d die Beziehung
αM ≤ β gelten.
Dann existiert eine eindeutige auf [t 0 − α, t 0 + α] definierte Lösung x = x(t) der Gewöhnlichen
Differentialgleichung (1) mit x| t=t0 = x 0 .
Wir wollen in den ersten beiden Kapiteln voraussetzen, dass dieser Satz gilt und diesen erst in
Kapitel 3.1 beweisen.
Für die Lösung x zum Zeitpunkt t mit der Anfangsbedingung x| t=t0 = x 0 schreiben wir im
folgenden x = x(t, t 0 , x 0 ).
Ist die Differentialgleichung (1) autonom, d.h. hängt f nur von x ∈ R d , d.h. f = f(x), so ist x
eine Funktion von t − t 0 und nicht von t und t 0 .
Lemma 1.2 Für autonome Differentialgleichungen (1) ist mit x = x(t, t 0 , x 0 ) auch x = x(t −
s, t 0 − s, x 0 ) für alle s ∈ R eine Lösung von (1).
Beweis: Folgt sofort durch Einsetzen.
Damit können wir für autonome Differentialgleichungen stets t 0
abkürzend x = x(t, x 0 ) für x(t, 0, x 0 ).
Es gilt
}
i) x(0, x 0 ) = x 0 ,
ii) x(t + s, x 0 ) = x(t, x(s, x 0 )).
□
= 0 wählen und schreiben
(2)
4

Im nichtautonomen Fall lautet dies
i) x(t, t, x 0 ) = x 0 ,
ii) x(t + s + t 0 , t 0 , x 0 ) = x(t + s + t 0 , s + t 0 , x(s + t 0 , t 0 , x 0 )).
}
(3)
Im folgenden interessieren wir uns weniger dafür, unter welchen Voraussetzungen an f Lösungen
von (1) existieren, als vielmehr für die Frage nach dem qualitativen Verhalten der Lösungen
bei hinreichend glattem f. 3
Heute ist die Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen ein wichtiger Teil der Theorie
der Dynamischen Systeme. Unter einem Dynamischen System verstehen wir eine einparametrige
Abbildung
{
I × X → X
x :
(4)
(t, x 0 ) ↦→ x(t, x 0 )
einer Menge X (der Phasenraum) in sich mit I = R (kontinuierliches D.S.) oder I = N (diskretes
D.S.), welche (2) erfüllt. Gewöhnliche Differentialgleichungen gestatten Entwicklungsprozesse
zu untersuchen, die determiniert, endlichdimensional und differenzierbar sind.
Dynamische Systeme finden sich fast überall in der Natur. Beispiele sind:
a) Mechanische Systeme: Ein Teilchen mit dem Ortsvektor x(t) ∈ R d , (d = 1, 2, 3) der Masse
m bewegt sich im Kraftfeld F (x). Die Abbildungsvorschrift wird durch die gewöhnliche Differentialgleichung
mẍ = F (x) definiert. Schreiben wir dies in der Form (1), so sehen wir, dass
der Phasenraum durch (x, ẋ) ∈ R 2d gegeben ist.
b) der Aktienkurs einer Firma oder die Bewegung eines Moleküls in einer Flüssigkeit: Ein
Molekül am Ort x(t) ∈ R d bewegt sich unter einer äußeren Kraft f(x) und stochastischen
Störungen g(x)ξ(t), d.h. ẋ = f(x) + g(x)ξ(t), bzw. in der Schreibweise der stochastischen
Differentialgleichungen
dx = f(x)dt + g(x)dW (t),
wobei formal die zeitliche Ableitung des (i.a nur stetigen) Wienerprozesses W (t) das weiße
Rauschen ξ(t) ergibt. Siehe [Arn73, Oks98].
c) die Strömung einer Flüssigkeit: Das Geschwindigkeitsfeld U(x, t) ∈ R 3 am Ort x ∈ Ω ⊂
R 3 zum Zeitpunkt t einer strömenden Flüssigkeit wird beschrieben durch die Navier-Stokes-
Gleichungen, eine partielle Differentialgleichung,
∂ t U = ν∆U − ∇p − (U · ∇)U, (ν ≥ 0),
div U = 0,
U| ∂Ω = 0.
3 Der Satz von Peano [Pea90] garantiert bei stetigem f die Existenz von Lösungen von (1). Die Eindeutigkeit
der Lösungen kann in diesem Fall nicht erwartet werden. Der Beweis beruht auf einem Fixpunktargument für
kompakte Abbildungen.
5

Als Phasenraum kann zum Beispiel
X = {U : Ω → R 3 | U| ∂Ω = 0, div U = 0,
∑ 2 ∑
∫
j=0 j 1 ,j 2 ,j 3 ≥0;j 1 +j 2 +j 3 =j Ω |∂j 1
x 1
∂ j 2
x 2
∂ j 3
x 3
U| 2 dx < ∞}
dienen. Siehe [Hen81, Tem97].
d) Populationsdynamik: Die fortpflanzungsfähige Population x(t) hängt vom Wert x(t − d),
d > 0 fest, ab, d.h. die Abbildungsvorschrift ist eine Delay-Gleichung [Hal88]
ẋ = f(t, x(t − d)).
Als Phasenraum dient z.B. der Raum X = C([0, d], R).
e) Dynamik in C: Wit betrachten die Iteration z n+1 = zn 2 + c, z 0 = 0 mit z j , c ∈ C. Die
Mandelbrotmenge ist durch
M = {c ∈ C | (z n ) n∈N
bleibt beschränkt}
gegeben. Diese Menge ist wie die Juliamenge ein Fraktal ([Man91, PR86]) und weist keine
ganzzahlige Dimension auf.
Die Beispiele a)-d) sind kontinuierliche Dynamische Systeme. Im Fall c) und d) sind die Phasenräume
unendlichdimensional. Eine Diskretisierung zur numerischen Behandlung obiger Beispiele
oder eine andere Modellbildung führt auf diskrete Dynamische Systeme der Form
x n+1 = F (x n , n),
wie im Beispiel e). Solche Abbildungen spielen auch bei der Untersuchung periodischer Lösungen
eine wichtige Rolle. In den obigen Beispielen spielt die metrische Struktur des Phasenraumes
die wichtige Rolle. Wird der Phasenraum als Maßraum verstanden, so spricht man von
Ergodentheorie [Kre85, Wal82]. Dies erlaubt es, komplizierte Dynamik, wie z.B. die Bewegung
von Molekülen in Gasen durch statistische Größen wie z.B. dem Druck zu erfassen. 4
4 Der Birkhoffsche Ergodensatz erlaubt es dann zeitliche Mittelungen durch räumliche Mittelungen zu ersetzen.
6

Geschichte: Die Beschreibung der Mechanik durch Differentialgleichungen war eine der wesentlichen
Motivationen zur Erfindung der Differential- und Integralrechnung (Newton 1643-
1727, Leibniz 1646-1716). Die Untersuchung Gewöhnlicher Differentialgleichungen als Dynamisches
System wird durch die Arbeiten von Poincaré 1854-1912 geprägt. Die Untersuchung
gewöhnlicher Differentialgleichungen Dies ist und bleibt aktuell, da jede räumliche Diskretisierung
Partieller Differentialgleichungen auf Gewöhnliche Differentialgleichungen führt. Die
Untersuchung dynamischer Systeme ist hochaktuell durch die Entdeckungen chaotischer Dynamik
in niedrigdimensionalen Systemen, wie dem Lorenzattraktor [Lor63], oder der Periodenverdopplung
als universellem Weg ins Chaos.
Für einen historischen Hintergrund siehe auch
http://www.math-net.de/links/show?collection=math.museum.hist.math
Phaseplane: Um das Lösungsverhalten gewöhnlicher Differentialgleichungen numerisch zu
veranschaulichen, benutzen wir das Programmpaket Phaseplane bzw. XPP, für welches die Dateien
direkt in Pittsburgh von B. Ermentrouts Homepage http://www.pitt.edu/˜phase/
herunter geladen werden können.
Literatur: Die Vorlesung basiert auf den Lehrbüchern [GH83, KK74, Ver96]. Weitere hier
verwendete Lehrbücher zu Gewöhnliche Differentialgleichungen sind [Ama83, Arn91, CL55,
Hal88].
7

2 Lineare Systeme und Strukturen
Lineare Systeme
ẋ = A(t)x + g(t) (5)
spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dabei ist
• x = x(t) = (x 1 (t), . . . , x d (t)) T ∈ R d .
• A = A(t) ∈ R d×d eine d × d-Matrix mit Komponenten a ij (t).
• g = g(t) = (g 1 (t), . . . , g d (t)) T ∈ R d eine Inhomogenität.
• t ∈ (α 0 , β 0 ) = I 0 ⊂ R mit −∞ ≤ α 0 < β 0 ≤ ∞.
Die lineare Differentialgleichung (5) heißt homogen, falls g(t) ≡ 0, d.h.
ẋ = A(t)x (6)
Wir setzen voraus, dass A und g im folgenden stetig von t ∈ I 0 abhängen sollen.
Wir zeigen, dass die Lösungen von (5) einen d-dimensionalen affinen Raum und die Lösungen
von (6) einen d-dimensionalen Vektorraum bilden.
Neben der Untersuchung linearer Systeme mit a) konstanten Koeffizienten, welche explizit
gelöst werden können, interessieren wir uns für Systeme mit b) periodischen Koeffizienten
(Floquet-Theorie). Für Systeme, welche c) asymptotisch gegen den konstanten Koeffizientenfall
konvergieren, verweisen wir auf die Literatur über exponentielle Dichotomien.
Diese Untersuchungen sind wichtig für den nichtlinearen Fall, da in zahlreichen Fällen die Stabilität
eines Fixpunktes (Fall a)) oder einer periodischen Lösung (Fall b)) unter Störungen allein
durch das Verhalten der dazugehörigen Linearisierung beantwortet werden kann. Siehe Kapitel
4. Der Fall c) taucht bei der Linearisierung um homokline oder heterokline Lösungen auf und
spielt bei der Untersuchung chaotischen Verhaltens eine gewisse Rolle.
Ein weiteres Ziel ist es erste Bekanntschaft mit Begriffen und Strukturen, wie z.B. Stabilität,
Symmetrien oder Lyapunovfunktionen zu machen.
2.1 Bezeichnungen
Sei X ein reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Abbildung
‖ · ‖ :
{
X → R
x ↦→ ‖x‖
heißt Norm, wenn für alle x, y ∈ X und λ ∈ R(C) gilt
i) ‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 genau dann wenn x = 0
8

ii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖
iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
Im R d werden meist verwendet:
Die l 1 -Norm ‖x‖ 1 = ∑ d
j=1 |x j|, die euklidische Norm oder l 2 -Norm ‖x‖ 2 = (x T x) 1/2 =
( ∑ d
j=1 |x j| 2 ) 1/2 und die l ∞ , Supremums- oder Maximumsnorm ‖x‖ ∞ = sup j=1,...,d |x i |.
Wir bemerken, dass im R d bzw. in C d alle Vektornormen äquivalent sind, d.h. für je zwei Vektornormen
‖ · ‖ und ‖ · ‖˜gibt es α, β > 0, so dass für alle x ∈ R d (C d ) gilt
α‖x‖ ≤ ‖x‖˜ ≤ β‖x‖.
Die d × d-Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension d 2 . Sie bilden mit der zusätzlichen
Multiplikationsstruktur A · B eine Algebra. Alle im folgenden auftretenden Matrixnormen
erfüllen
‖A · B‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖,
d.h. die Matrizen bilden bezüglich der Multiplikation eine Banachalgebra. Eine wichtige Matrixnorm
ist durch
{ }
‖Ax‖
‖A‖ ∗ = sup
‖x‖ | x ∈ Rd /{0}
gegeben. Matrixnorm und Vektornorm heißen verträglich, wenn
‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖. (gilt für ‖ · ‖ ∗ ).
Beispiele verträglicher Vektor und Matrixnormen sind
‖ · ‖ = ‖ · ‖ 1 , ‖A‖ ∗ = sup
k=1,...,d
‖ · ‖ = ‖ · ‖ 2 , ‖A‖ ∗ = (
d∑
|a jk |
j=1
d∑
|a jk | 2 ) 1/2
i,j=1
‖ · ‖ = ‖ · ‖ ∞ , ‖A‖ ∗ = sup
j=1,...,d
d∑
|a jk |.
k=1
Weiter gilt
∫ t ∫ t
‖ x(τ)dτ‖ ≤ ‖x(τ)‖dτ.
t 0 t 0
Im folgenden verwenden wir stets verträgliche Normen.
2.2 Lineare Systeme
2.2.1 Allgemeine Betrachtungen
Die rechte Seite von (5) ist Lipschitz-stetig, denn es gilt
‖(A(t)x + g(t)) − (A(t)y + g(t))‖ = ‖A(t)(x − y)‖ ≤ ‖A(t)‖‖(x − y)‖.
9

Damit kann für global stetiges g und A die globale Existenz- und Eindeutigkeit der Lösungen
von (5) nachgewiesen werden.
Theorem 2.1 (5) besitzt für jedes (x 0 , t 0 ) ∈ R d × I 0 genau eine Lösung x(t) = x(t, t 0 , x 0 ) mit
x(t 0 ) = x 0 . Diese Lösung existiert auf ganz I 0 und ist dort stetig differenzierbar.
Beweis: Später in Kapitel 3.1.
Wegen des lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf bilden die Lösungen
x = x(t, t 0 , x 0 ) einer nichtlinearen Differentialgleichung ẋ = f(x, t) für x 0 ∈ U ⊂ R d und t in
einem Intervall I eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit (Fläche) M ⊂ C 1 (I, R d ). Wegen des
Existenz und Eindeutigkeitssatzes kann jedem x ∈ M seine Anfangsbedingung x| t=t0 = x 0 ∈
U ⊂ R d zugeordnet werden.
Im linearen Fall (5) gilt folgendes:
Theorem 2.2 Für lineare Differentialgleichungen (1) ist die Mannigfaltigkeit M ein d-dimensionaler
affiner Raum. Ist g ≡ 0, so ist M ein d-dimensionaler Vektorraum (Superpositionsprinzip).
□
Beweis: Setze
L :
{
x ↦→ −ẋ + A(t)x,
C 1 (I 0 , R d ) → C 0 (I 0 , R d )
Es gilt L(αx + βy) = αLx + βLy für x, y ∈ C 1 (I 0 , R d ) und α, β ∈ R, d.h. L ist ein linearer
Operator. Die Aussage, x löst ẋ = A(t)x, ist äquivalent zu Lx = 0, d.h. die Lösungen bilden
einen Vektorraum im Fall g = 0.
Es seien x und y Lösungen von ẋ = A(t)x + g(t), d.h. es gilt Lx = g und Ly = g. Dann folgt
L(x − y) = 0. Damit ist M ein affiner Raum.
Wegen des lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes ist M bereits als d-dimensional bekannt.
□
Konsequenz: Sei x inh irgend eine feste Lösung der inhomogenen Gleichung, d.h. ẋ inh =
A(t)x inh + g(t) und {x 1 hom , . . . , xd hom } eine Basis aus Lösungen der homogenen Gleichung,
d.h.
ẋ j hom = A(t)xj hom .
Dann schreibt sich eine allgemeine Lösung x von (5) als
x = x inh + c 1 x 1 hom + ... + c dx d hom
mit c j ∈ R. Die Konstanten c j können zu einer gegebenen Anfangsbedingung x| t=t0 = x 0
berechnet werden, d.h.
x 0 = x inh (t 0 ) + c 1 x 1 hom(t 0 ) + . . . + c d x d hom(t 0 ).
10

Ist g ≡ 0, so gilt:
x(t) = c 1 x 1 hom (t) + . . . + c dx d hom
⎛
(t),
⎞
c 1
= ( x 1 hom (t), . . . , xd hom (t)) ⎜
c 2
⎟
⎝ . ⎠
c d
= φ(t) c.
Jede solche Matrix φ heißt Fundamentalmatrix. Ist eine Fundamentalmatrix bekannt, so kann
die Lösung zu ẋ = A(t)x, x| t=t0 = x 0 aus x(t) = φ(t)c und x 0 = φ(t 0 )c berechnet werden.
Wir erhalten
x(t, t 0 , x 0 ) = φ(t)φ(t 0 ) −1 x 0 .
2.2.2 Der Lösungsoperator S(t, s)
Wegen des Satzes von Picard-Lindelöf ist φ(t)φ(t 0 ) −1 unabhängig von der speziellen Wahl der
Fundamentalmatrix φ. wir definieren den linearen Lösungsoperator
{
R d → R d
S(t, s) :
x 0 ↦→ x(t, s, x 0 )
durch die Lösung x = x(t, s, x 0 ) von ẋ = A(t)x zur Anfangsbedingung x| t=s
S(t, s) = φ(t)φ(s) −1 . Offensichtlich gilt:
= x 0 , d.h.
S(t, s) = S(t, τ) ◦ S(τ, s)
S(t, t) = I
Für festes s, t ∈ R ist S(t, s) : R d → R d eine bijektive Abbildung (invertierbare Matrix), mit
S(t, s) −1 = S(s, t). Da diese Abbildung linear ist, ist sie bezüglich x 0 beliebig oft differenzierbar
und daher ein Diffeomorphismus von R d nach R d .
2.2.3 Die Variation der Konstanten Formel
Wir betrachten
ẋ = A(t)x + g(t)
und wollen die Lösung x = x(t) durch die Inhomogenität g = g(t) und den Lösungsoperator
S = S(t, s) ausdrücken. Nach Differenzieren von x(t) = S(t, s)y(t) ergibt sich
ẋ(t) = ∂ t S(t, s)y(t) + S(t, s)ẏ(t)
= A(t)S(t, s)y(t) + g(t).
Da S(t, s) das homogene Problem ∂ t S(t, s) = A(t)S(t, s) löst, ergibt sich
ẏ(t) = S(t, s) −1 g(t) = S(s, t)g(t).
11

Aufintegrieren liefert
y(t) − y(s) =
Nach Rücktransformation erhalten wir
∫ t
s
ẏ(τ)dτ =
∫ t
s
S(s, τ)g(τ)dτ.
∫ t
x(t) = S(t, s)y(t) = S(t, s)y(s) + S(t, s)
S(s, τ)g(τ)dτ
= S(t, s)x(s) +
∫ t
S(t, τ)g(τ)dτ,
s
s
da S(s, s) = I gilt. Dies heisst Variation der Konstanten Formel oder Formel von Duhamel.
2.2.4 Die Exponentialmatrix
Wir betrachten die lineare autonome Gleichung
ẋ = Ax
mit A ∈ R d×d unabhängig von t. Offensichtlich löst mit x = x(t) auch x = x(t − s) die
Differentialgleichung. O.B.d.A können wir daher betrachten
Theorem 2.3 Die Lösung von (7) ist durch
gegeben, d.h. S(t, s) = e A(t−s) .
ẋ = Ax, x| t=0 = x 0 . (7)
x(t) = e At x 0 =
∞∑ (At) n
x 0 , (8)
n!
n=0
Beweis: Die unendliche Summe konvergiert absolut, denn
∞∑
‖e At (At) n
x 0 ‖ ≤ ‖ x 0 ‖ ≤
n!
n=0
≤ e ‖A‖t ‖x 0 ‖.
∞∑ ‖A‖ n t n
‖x 0 ‖
n!
n=0
Einsetzen ergibt
(
d ∑ ∞
dt
n=0
)
(At) n
x 0 =
n!
∞∑
n=1
A(At) n−1
(n − 1)! x 0 = A
∞∑ (At) n
x 0 .
n!
n=0
□
12

Die Exponentialreihe e At kann wie folgt berechnet werden. Die Transformation x = Sy in
ẋ = Ax ergibt ẏ = S −1 ASy = Jy, wobei J die Jordansche Normalform ist, d.h.
beziehungsweise
e At x 0 = Se Jt y 0 = Se Jt S −1 x 0 ,
S −1 e At S = S −1 (1 + At + A2 t 2
+ ...)S
2
= (1 + S −1 ASt + S−1 ASS −1 ASt 2
2
+ ...) = (1 + Jt + J 2 t 2
2 + ...) = eJt .
Damit reicht es e Jt für J eine Matrix in Jordanscher Normalform zu berechnen. Diese ist von
der Form
⎛
⎞ ⎛
⎞
J 1 0
λ j 1 0
J 2 . .. . ..
J =
J 3 mit J j =
. .. . ..
.
⎜
⎝
. ..
⎟ ⎜
⎠ ⎝
. ..
⎟
1 ⎠
0 J r 0 λ j
Da
gilt, reicht es
⎛
e Jt = exp( ⎝
⎞
J 1 0
. .. ⎠ t) =
0 J r
⎛
⎝
e J jt = e (λ j E+N k )t = e λ jEt e N kt
e J ⎞
1t
0
. .. ⎠
0 e Jrt
zu betrachten, wobei die letzte Gleichung wegen EN k = N k E mit der k × k-Matrix
gilt. Übrig bleibt somit die Berechnung von
⎛
⎞
0 1 0
. .. . ..
N k =
. .. . ..
⎜
⎝
.
⎟ .. 1 ⎠
0 0
e N kt =
∞∑
ν=0
t ν
ν! N ν k .
Es gilt aber
N µ k = (δ i,j−µ) µ = 0, ..., k − 1
N µ k
= 0 µ = k, k + 1, ...
13

und damit letztendlich
⎛
t
1 t 2
2!
0 1 t
e Nkt =
0
⎜ 0
⎝
. ..
. ..
. ..
t k−1
(k−1)!
0 t
0 1
⎞
.
⎟
⎠
2.2.5 Ebene Systeme
Es sei x = x(t) ∈ R 2 . Wit wollen den Fluß der Lösungen x = x(t, x 0 ) autonomer homogener
Differentialgleichungen (6) in der Ebene graphisch darstellen. Nach obigen Überlegungen
reicht es ẋ = Ax mit A ∈ R 2×2 in Jordanscher Normalform zu betrachten. Es können folgende
Fälle auftreten:
( )
λ1 0
a) A =
ist diagonalisierbar mit a1) λ j ∈ R oder a2) λ 1 = λ 2 . Im Fall a1) unterscheiden
wir i) λ 1 = λ 2 , ii) λ 1 > λ 2 > 0 und iii) λ 1 > 0 > λ 2 . Alle weiteren auftretenden Fälle
0 λ 2
ergeben sich aus i)-iii) durch Zeitumkehr t ↦→ −t.
( )
λ 1
b) A = ist ein Jordanblock mit λ j ∈ R
0 λ
Anhand von Beispielen wollen wir die Lösungen veranschaulichen, wobei C im folgenden allgemein
für auftretende Konstanten gebraucht wird.
( )
1 0
a1i) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = x 2 und die Lösungen x 1 (t) =
0 1
e t x 1 (0), x 2 (t) = e t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Geraden x 1 (t)/x 2 (t) = x 1 (0)/x 2 (0),
d.h. x 1 = Cx 2 .
Um die Lösungen graphisch zu veranschaulischen, können wir in jedem Punkt das Vektorfeld
f(x) = x ∈ R 2 einzeichnen. Das Vektorfeld f(x)/‖f(x)‖ heißt Richtungsfeld. Jede Lösung
x = x(t) hat im Punkt x ∈ R 2 den Vektor f(x) ∈ R 2 als Tangentialvektor ẋ(t).
( )
2 0
a1ii) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = 2x 1 , ẋ 2 = x 2 und die Lösungen
0 1
x 1 (t) = e 2t x 1 (0), x 2 (t) = e t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Parabeln x 1 (t)/(x 2 (t)) 2 =
x 1 (0)/(x 2 (0)) 2 , d.h. x 1 = Cx 2 2. Das Phasenbild (Knoten) ist stabil unter kleinen Störungen, d.h.
A = diag(1.9, 1.1) hat
(
ein vergleichbares
)
Phasenbild.
1 0
a1iii) Es sei A =
. Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = −x 2 und die Lösungen
0 −1
x 1 (t) = e t x 1 (0), x 2 (t) = e −t x 2 (0). Als Lösungskurven ergeben sich Hyperbeln x 1 (t)x 2 (t) =
14

2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Abbildung 1: Richtungsfeld und Fluß in der Phasenebene zu a1i), und Fluß zu a1ii).
x 1 (0)x 2 (0), d.h. x 1 = C/x 2 . Das Phasenbild (Sattel) ist stabil unter kleinen Störungen, d.h.
A = diag(1.1, −0.9) hat ein vergleichbares Phasenbild.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
a2i) Es sei A =
Abbildung 2: Fluß in der Phasenebene zu a1iii), zu a2i) und a2ii).
(
0 1
−1 0
)
. Damit erhalten wir ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −x 1 und für ˜x = x 1 + ix 2
die Gleichung ˙˜x = −i˜x. Die Lösung ˜x(t) = e −it˜x(0) läßt die Kreise |˜x(t)| 2 = |˜x(0)| 2 , d.h.
x 2 1 +x2 2 = C, invariant. Als Lösungskurven ergeben sich also Kreise. Das Phasenbild (Zentrum)
ist nicht stabil unter
(
kleinen
)
Störungen. Im allgemeinen erhalten wir Fall a2ii)
1 1
a2ii) Es sei A =
. Damit erhalten wir für ˜x = x 1 + ix 2 die Gleichung ˙˜x = (1 − i)˜x.
−1 1
Als Lösung ergibt sich ˜x(t) = e t e −it˜x(0). In Polarkoordinaten ˜x(t) = r(t)e iφ(t) mit r(t) ∈ R
und φ(t) ∈ S 1 = R/(2πZ) ergeben sich ṙ = r und ˙φ = −1 als Gleichungen und r(t) = e t r(0)
und φ(t) = (φ(0) + t)mod2π. Als Lösungskurven ergeben sich also Spiralen. Das Phasenbild
(Wirbel) ist stabil unter kleinen Störungen.
15

( )
1 1
b) Es sei A = . Damit erhalten wir ẋ 1 = x 1 + x 2 und x˙
2 = x 2 . Für die zweite Gleichung
ergibt sich x 2 (t) = e t x 2 (0). Die Variation der Konstanten Formel auf die erste Gleichung
0 1
angewendet, ergibt
x 1 (t) = e t x 1 (0) +
∫ t
0
e t−s e s u 2 (0)ds = e t x 1 (0) + e t tx 2 (0).
Das Phasenbild ist nicht generisch, da das Auftreten eines Jordanblockes unwahrscheinlich ist.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Abbildung 3: Fluß in der Phasenebene zu b).
2.3 Strukturen
2.3.1 Stabilität
Ein Punkt x 0 ∈ R d heißt Fixpunkt (Gleichgewicht, singulärer Punkt, kritischer Punkt) der
Gewöhnlichen Differentialgleichung (1), wenn für die rechte Seite f(x 0 , t) = 0 für alle t ∈ R.
Dann ist x ≡ x 0 Lösung von (1).
Definition 2.4 Ein Fixpunkt x 0 ∈ R d heißt stabil, falls für alle ɛ > 0 und t 0 ∈ R ein δ > 0
existiert, so dass aus ‖x 1 − x 0 ‖ < δ für alle t ≥ t 0 die Schranke ‖x(t, t 0 , x 1 ) − x 0 ‖ < ɛ folgt.
Ein nicht stabiler Fixpunkt heißt instabil.
Ein stabiler Fixpunkt heißt asymptotisch stabil, falls zusätzlich lim t→∞ x(t, t 0 , x 1 ) = x 0 gilt.
Die Idee der Stabilität ist: kleine Störungen führen zu kleinen Abweichungen; siehe Abb.4.
Aus der expliziten Darstellungsformel für e At mittels der Jordanschen Normalform folgt unmittelbar
für autonome Gleichungen.
16

ε
δ
x=x(t)
x 0
x 1
Abbildung 4: Stabilität eines Fixpunktes.
Theorem 2.5 Der Fixpunkt x = 0 in ẋ = Ax ist
a) asymptotisch stabil, falls alle Eigenwerte λ von A die Beziehung Reλ < 0 erfüllen.
b) stabil, falls alle Eigenwerte λ die Beziehung Reλ ≤ 0 erfüllen und zu den Eigenwerten
mit Reλ = 0 keine Jordanblöcke auftreten, d.h. diese Eigenwerte gleiche algebraische und
geometrische Vielfachheit besitzen.
c) sonst instabil (, d.h. es gibt Eigenwerte mit Reλ = 0 und Jordanblock oder mindestens einen
Eigenwert mit Reλ > 0)
Siehe Abbildung 5.
Im
Im
Im
Re
Re
Re
asymptotisch stabil
stabil
instabil
Abbildung 5: Eigenwerte von A.
In Kapitel 4 zeigen wir, dass ein Fixpunkt auch im nichtlinearen Fall stabil bzw. instabil ist,
falls die Linearisierung um diesen Fixpunkt in den Fall a) oder c) fällt. Im Fall b) entscheiden
die nichtlinearen Terme. In dieser Vorlesung konzentrieren wir uns auf die Fälle a) und c). Alle
17

Systeme der klassischen Mechanik fallen in den Fall b) und werden in den Hamiltonschen Systemen
genauer untersucht.
Eine andere Methode Stabilität nachzuweisen beruht auf sogenannten Lyapunovfunktionen. Eine
Lyapunovfunktionen W : R d → R nimmt entlang von Lösungen ab.
Beispiel 2.6 Es sei W (x) = x 2 1 + x 2 2 und ẋ 1 = −2x 1 , ẋ 2 = −x 2 . Dann gilt
d
dt W (x(t)) = ((∇W )(x(t)))T ẋ(t) = −4x 2 1 − 2x2 2 < 0,
falls (x 1 , x 2 ) ≠ (0, 0). Da das Minimum in (x 1 , x 2 ) = (0, 0) liegt, konvergiert jede Lösung
gegen (0, 0).
Beispiel 2.7 Das Potential V : R d → R von Gradientensystemen ẋ = −∇V (x) ist eine Lyapunovfunktion.
Um eine lineare Differentialgleichung zu erhalten, muß V = ∑ d
i,j=1 b ijx i x j =
x T Bx bilinear sein. Wir erhalten
ẋ k = −∂ xk V (x) = − ∑ ij
(δ ik b ij x j + x i b ij δ kj ) = − ∑ j
(b kj + b jk )x j
und somit ẋ = −(B + B T )x. Die Matrix (B + B T ) ist symmetrisch, womit kein Jordanblock
möglich ist. Ist (B + B T ) positiv definit, so ist x = 0 stabil. Ist (B + B T ) strikt positiv definit,
so ist x = 0 asymptotisch stabil.
2.3.2 Invariante Mengen
Wir betrachten im folgenden autonome Systeme ẋ = f(x).
Definition 2.8 Eine Menge M ⊂ R d heißt (positiv, negativ) invariant unter dem Fluß der Differentialgleichung,
falls für alle x 0 ∈ M folgt: x(t, x 0 ) ∈ M für alle t ∈ R (t > 0, t < 0).
Definition 2.9 Eine Funktion F : R d → R heißt Integral von (1), falls F (x(t)) unabhängig
von der Zeit entlang der Lösungen von (1), d.h. d F (x(t)) = 0.
dt
Offensichtlich ist {x ∈ R d | F (x) = const.} eine invariante Menge. Integrale sind hilfreich zum
Verständnis von Lösungen. Sind (d−1) Integrale F j bekannt, so ist das Lösen der Gewöhnlichen
Differentialgleichung (1) äquivalent zum Auflösen von (d − 1) algebraischen Gleichungen.
Beispiel 2.10 Es sei F (x) = x 2 1 + x2 2 und ẋ 1 = −x 2 , ẋ 2 = x 1 . Dann gilt
Damit ist ein F ein Integral.
d
dt F (x(t)) = ((∇F )(x(t))T ẋ(t) = −x 1 x 2 + x 2 x 1 = 0.
18

Betrachte das autonome System ẋ = Ax. Die Eigenräume von A bilden unter dem Fluß e At
invariante Unterräume. Wir fassen die verallgemeinerten Unterräume zu Reλ < 0 zum stabilen
Unterraum E s , die verallgemeinerten Unterräume zu Reλ = 0 zum zentralen Unterraum E c
und die verallgemeinerten Unterräume zu Reλ > 0 zum instabilen Unterraum E u zusammen.
Diese invarianten Unterräume bleiben im nichtlinearen Fall als invariante Mannigfaltigkeiten
erhalten. Der stabile Unterraum E s wird zur stabilen Mannigfaltigkeit W s , der instabile Unterraum
E u wird zur instabilen Mannigfaltigkeit W u und der zentrale Unterraum E c wird zur
zentralen bzw. Zentrums-Mannigfaltigkeit W c .
Beispiel 2.11 Es sei A = diag(1, 0, −1). Dann ist
E s = {x | x = λ(0, 0, 1) T , λ ∈ R}
E c = {x | x = λ(0, 1, 0) T , λ ∈ R}
E u = {x | x = λ(1, 0, 0) T , λ ∈ R}.
Hamiltonsche Systeme bilden eine weitere wichtige Klasse von Differentialgleichungen
ẋ = J∇H(x)
mit H : R 2 ˜d → R die Hamilton-Funktion und J = −J T
Operator. Mechanische Systeme lassen sich so darstellen.
∈ R 2 ˜d×2 ˜d ein schiefsymmetrischer
Beispiel 2.12 Es sei q der Ort eines Teilchens. Nach Newton erhalten wir als Bewegungsgleichung
¨q = −∇U(q) mit einem Potential U. Wir führen den Impuls p ein und schreiben dies als
erstes Ordnungssystem
˙q = p, ṗ = −∇U(q),
bzw. als
˙q = ∂ ∂p (p2 /2), ṗ = − ∂ ∂q U(q)
Mit H = p 2 /2 + U(q) ergibt sich
(
dq
dt
dp
dt
)
=
(
∂H
∂p
− ∂H
∂q
) (
0 1
=
−1 0
) (
∂H
∂q
∂H
∂p
)
Die Hamilton-Funktion H ist ein Integral, denn
d
dt H(x(t)) = ((∇H)(x(t)))T ẋ(t) = ((∇H)(x(t))) T J((∇H)(x(t)) = 0,
da J ein schiefsymmetrischer Operator ist. Damit ist die Menge {x | H(x) = const.} invariant
unter dem Fluß. Sie heißt Energiefläche. Die Theorie dieser Systeme ist Gegenstand von
Spezialvorlesungen; siehe insbesondere Integrabilität, Stabilität, KAM-Theorie.
19

2.3.3 Symmetrien
Wir bezeichnen mit GL(d) die Gruppe aller invertierbaren linearen Abbildungen des R d in sich.
Im folgenden sei Γ eine abgeschlossene Untergruppe von GL(d).
Beispiel 2.13 Die orthogonalen Matrizen O(d) bestehen aus allen d×d-Matrizen mit A T A = I
Ist zusätzlich det A = 1 so ist A ∈ SO(d), die Menge der speziellen orthogonalen Matrizen.
Definition 2.14 Wir sagen, dass Γ durch die stetige Abbildung (die Darstellung)
Γ × R d → R d , (γ, v) ↦→ γ · v
auf den R d wirkt. Es gilt γ(v 1 + v 2 ) = γv 1 + γv 2 und (γ 1 γ 2 )v = γ 1 (γ 2 v).
Eine Abbildung f : R d → R d kommutiert mit Γ bzw. heißt Γ-äquivariant, falls
f(γx) = γf(x), für alle x ∈ R d , γ ∈ Γ.
Eine Funktion g : R d → R heißt Γ-invariant, falls
g(γx) = g(x), für alle x ∈ R d , γ ∈ Γ.
Ist f Γ-äquivariant, so ist mit x = x(t) auch γx = γx(t) Lösung der Gewöhnlichen Differentialgleichung
ẋ = f(x), denn
d
(γx) = γẋ = γf(x) = f(γx).
dt
Beispiel 2.15 ẋ 1 = x 1 , ẋ 2 = x 2 ist O(2)-äquivariant.
Symmetrien können zu einer Dimensionsreduktion benützt werden. Symmetrien können aber
auch zu Entartungen, wie mehrfache Eigenwerte, führen. Für viele Sätze, insbesonders in der
Bifurkationstheorie, werden Nichtdegeneriertheitsbedingungen gefordert. Diese sind im symmetrischen
Fall meist nicht erfüllt. Daher existieren häufig auch symmetrische Formulierungen
([GS85, GSS88]).
2.4 Lineare Systeme mit periodischen Koeffizienten
Wir betrachten ẋ(t) = A(t)x(t) für t ∈ R mit
d.h. A ist T -periodisch. Offensichtlich gilt:
A(t) = A(t + T ), für ein festes T ∈ R,
Lemma 2.16 Mit x(t, t 0 , x 0 ) ist auch x(t+nT, t 0 +nT, x 0 ) mit n ∈ N Lösung der T -periodischen
Differentialgleichung.
20

Dieses Lemma gilt allgemein für T -periodisches f, d.h. f(x, t) = f(x, t + T ).
Der fundamentale Satz dieses Kapitels lautet
Theorem 2.17 (Floquet) Jede Fundamentalmatrix φ = φ(t) kann als Produkt zweier d × d-
Matrizen
φ(t) = P (t)e Bt
geschrieben werden. Dabei gilt P (t) = P (t + T ) und B ist eine konstante d × d-Matrix.
Beweis: Nach obigem Lemma ist mit φ(t) auch φ(t + T ) eine Fundamentalmatrix. Damit existiert
eine invertierbare d × d-Matrix C, so dass
φ(t + T ) = φ(t)C.
Eine invertierbare d × d-Matrix C kann immer als C = e BT mit B eine nicht eindeutige d × d-
Matrix geschrieben werden. Als Beispiel betrachte C = diag(λ 1 , . . . , λ d ) mit λ j > 0. Dann
ist der Logarithmus B = diag(ln λ 1 , . . . , ln λ d ). Der allgemeine Fall wird in den Übungen
betrachtet. Beachte dazu −1 = e iπ und die Reihe für ln(1 + x) im Falle von Jordanblöcken.
Setze P (t) = φ(t)e −Bt . Dann gilt
P (t + T ) = φ(t + T )e −B(t+T )
= φ(t)Ce −BT e −Bt
= φ(t)e −Bt = P (t)
Die Matrix C heißt Monodromiematrix. Die Eigenwerte von C heißen Floquetmultiplikatoren.
Die Eigenwerte von B heißen Floquetexponenten. Letztere sind nicht eindeutig, da stets 2πi/T
addiert werden kann. Die Floquetmultiplikatoren sind eindeutig, denn: Seien zwei Fundamentalmatrizen
φ = φ(t) und ψ = ψ(t) gegeben. Dann gilt ψ −1 (t)φ(t) = S ist unabhängig von der
Zeit. Somit ist
C φ = φ(t) −1 φ(t + T ) = S −1 ψ(t) −1 ψ(t + T )S = S −1 C ψ S.
Damit sind die Matrizen C zu verschiedenen Fundamentalmatrizen zueinander ähnlich.
Die T -periodische Transformation x(t) = P (t)y(t) liefert
und damit
P (t)ẏ(t) + ˙ P (t)y(t) = ẋ(t) = A(t)x(t) = A(t)P (t)y(t)
ẏ(t) = P (t) −1 (A(t)P (t) − ˙ P (t))y(t)
= P (t) −1 (A(t)P (t) − ˙φ(t)e −Bt − φ(t)(−B)e −Bt )y(t)
= P (t) −1 (A(t)P (t) − A(t)φ(t)e −Bt + φ(t)e −Bt B)y(t)
= P (t) −1 (A(t)P (t) − A(t)P (t) + P (t)B)y(t) = By(t).
21
□

Um die Stabilität von x = 0 zu untersuchen, reicht es daher die Eigenwerte von B zu betrachten.
Erfüllen zum Beispiel alle Eigenwerte λ von B die Beziehung Reλ < 0, so ist x = 0
asymptotisch stabil. Für die Behandlung nichtlinearer Gleichungen ist die Betrachtung von C
viel instruktiver.
Nach obigem Lemma gilt für n ∈ N und τ ∈ [0, T ), dass
x(t, 0, x 0 ) = x(nT + τ, 0, x 0 ) = x(nT + τ, nT, x(nT, 0, x 0 ))
= x(nT + τ, nT, x(nT, (n − 1)T, x((n − 1)T, 0, x 0 ))
= x(τ, 0, x(T, 0, x(T, 0, . . . , x(T, 0, x 0 )) . . .)))
= φ τ ◦ φ T ◦ . . . ◦ φ T (x 0 ),
wobei φ t x 0 = x(t, 0, x 0 ). Da τ ∈ [0, T ) ist, ist für die Langzeitdynamik allein die Iteration der
Zeit T -Abbildung φ T von Interesse, d.h. im linearen Fall die Abbildung
S(T, 0) = (P (T )e BT )(P (0)e B0 ) −1 = C.
Theorem 2.18 In einem diskreten dynamischen System x n+1 = Cx n gilt:
a) Erfüllen alle Eigenwerte µ von C die Bedingung |µ| < 1, so ist x = 0 asymptotisch stabil,
d.h. lim n→∞ x(n, x 0 ) = 0.
b) Existiert mindestens ein Eigenwert µ von C mit |µ| > 1, so ist x = 0 instabil.
Im
1
Im
1
Re
Re
asymptotisch stabil
instabil
Abbildung 6: Die Eigenwerte von C.
Linearisierungen um periodische Lösungen in nichtlinearen autonomen Differentialgleichungen
enthalten immer einen Floquetmultiplikator 1. Deshalb wird die sogenannte Poincaré-
Abbildung betrachtet werden.
Wie oben können für diskrete dynamische Systeme invariante Mengen definiert werden.
Beispiel 2.19 Betrachte x 1 (n + 1) = 2x 1 (n), x 2 (n + 1) = (1/2)x 2 (n). Die Menge E s = {x ∈
R 2 | x 1 = 0} ist der stabile Unteraum. Die Menge E u = {x ∈ R 2 | x 2 = 0} ist der instabile
22

Unteraum. Wie bei Differentialgleichungen bleiben diese im nichtlinearen Fall erhalten und
werden zu stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten. Siehe Abbildung 7.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Abbildung 7: Das Phasenbild der Iteration.
Beispiel 2.20 Betrachte die 1-periodische Differentialgleichung ẋ = (cos 2 2πt)x für x(t) ∈ R.
Als Lösung zur Anfangsbedingung x(0) = x 0 ergibt sich
x(t, 0, x 0 ) = x 0 exp( t 2
+
sin 4πt
8π )
und somit
sin 4πt
P (t) = exp(
8π ) und eBt = exp( t 2 ).
Wir haben einen Floquetmultiplikator e 1/2 und den Floquetexponenten 1/2. Die Zeit 1-Abbildung
ist durch φ(x 0 ) = e 1/2 x 0 gegeben.
Das folgende Beispiel (Markus und Yamabe) zeigt, dass im periodischen Fall die Eigenwerte
einer Matrix keine Aussagekraft über die Stabilität haben.
Beispiel 2.21 Betrachte ẋ = A(t)x mit
( )
−1 +
3
2
A(t) =
cos2 t 1 − 3 sin t cos t
2
−1 − 3 sin t cos t −1 + .
3
2 2 sin2 t
Als charakteristisches Polynom ergibt sich
(−1 + 3 2 cos2 t − λ)(−1 + 3 2 sin2 t − λ) − (1 − 3 sin t cos t)(−1 − 3 sin t cos t)
2 2
= λ 2 + 2λ − 3 2 (cos2 t + sin 2 t)λ + 1 − 3 2 (cos2 t + sin 2 t) + 9 4 cos2 t sin 2 t + 1 − 9 4 cos2 t sin 2 t
= λ 2 + 1 2 λ + 1 2 ,
d.h. die Eigenwerte sind unabhängig von t und lauten
λ 1,2 = (−1 ± i √ 7)/4.
23

Dies führt zu der Vermutung, dass x = 0 stabil ist. Es existiert jedoch die Lösung
( )
− cos t
sin t
e t/2 ,
welche für t → ∞ unbeschränkt wird. Tatsächlich sind die Floquetexponenten durch λ 1 = 1 2
und λ 2 = −1 gegeben.
24

3 Nichtlineare Systeme
Wir betrachten für allgemeine nichtlineare Systeme (1) neben der lokalen Existenz und Eindeutigkeit
von Lösungen auch die Frage nach der globalen Existenz. Anschließend geben wir
numerische Verfahren zu deren Untersuchung an und analysieren deren Güte.
3.1 Existenz und Eindeutigkeit
Wir beweisen zunächst die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen unter Verwendung
des Banachschen Fixpunktsatzes.
Theorem 3.1 Sei (M, d) ein vollständiger metrischer Raum und F : M → M eine Kontraktion,
d.h. es gibt ein κ ∈ (0, 1), so dass d(F (x), F (y)) ≤ κd(x, y) für alle x, y ∈ M. Dann
besitzt F einen eindeutigen Fixpunkt x ∗ , d.h. x ∗ = F (x ∗ ).
Beweis: Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Angenommen es existieren zwei verschiedene
Fixpunkte x ∗ und y ∗ . Dann gilt
d(x ∗ , y ∗ ) = d(F (x ∗ ), F (y ∗ )) ≤ κd(x ∗ , y ∗ ).
Da κ ∈ (0, 1), folgt d(x ∗ , y ∗ ) = 0 und somit x ∗ = y ∗ im Widerspruch zur Annahme.
Wir definieren die Folge x n+1 = F (x n ) mit x 0 ∈ M beliebig, aber fest. Dann gilt für m ≥ n
m−1
∑
d(x m , x n ) ≤ d(x j+1 , x j ) ≤
j=n
m−1
∑
j=n
κ j d(x 1 , x 0 ) ≤
d.h. für alle ɛ > 0 gibt es ein N > 0, so dass für alle n, m > N:
d(x m , x n ) ≤
κN
1 − κ d(x 1, x 0 ) ≤ ɛ,
κn
1 − κ d(x 1, x 0 ),
d.h. (x n ) n∈N ist eine Cauchy-Folge. Da M vollständig, existiert ein x ∗ ∈ M, so dass x ∗ =
lim n→∞ x n . x ∗ ist ein Fixpunkt, da wegen der Stetigkeit von F
F (x ∗ ) = F ( lim
n→∞
x n ) = lim
n→∞
F (x n ) = lim
n→∞
x n+1 = x ∗ .
□
Theorem 3.2 Betrachte das Anfangswertproblem
ẋ = f(x, t), x(t 0 ) = x 0
für x ∈ D = {x ∈ R d | ‖x − x 0 ‖ ≤ d 0 } und t ∈ [t 0 − a, t 0 + a] mit a, d 0 > 0. Die Funktion f
sei stetig in t und Lipschitz-stetig in x mit Lipschitz-Konstante L in G = D × [t 0 − a, t 0 + a].
Dann besitzt das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung x ∈ C 1 ([t 0 −δ, t 0 +δ], R d ), wobei
δ = min(a, d 0 /M, 1/(2L)) mit M = sup (x,t)∈G ‖f(x, t)‖.
25

Beweis: Wir wenden den Banachschen Fixpunktsatz auf die Abbildung F : M → M definiert
durch
im vollständigen metrischen Raum
an.
F (x)(t) = x 0 +
∫ t
M = {x ∈ C([t 0 − δ, t 0 + δ], R d ) | d(x, x 0 ) =
t 0
f(x(s), s)ds
sup ‖x(t) − x 0 ‖ ≤ d 0 }
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
i) Zunächst bildet F den Raum M in sich ab, denn: Offensichtlich bildet F den Raum C([t 0 −
δ, t 0 + δ], R d ) in sich ab, und
∫ t
d(F (x), x 0 ) = sup ‖ f(x(s), s)ds‖ ≤ δM ≤ d 0 .
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ] t 0
ii) F ist eine Kontraktion, da
d(F (x), F (y)) = sup ‖
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
≤
sup |
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
∫ t
∫ t
t 0
f(x(s), s) − f(y(s), s)ds‖
t 0
‖f(x(s), s) − f(y(s), s)‖ds|
∫ t
≤ sup |
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
L‖x(s) − y(s)‖ds|
t 0
≤ Lδ sup ‖x(s) − y(s)‖
t∈[t 0 −δ,t 0 +δ]
= Lδd(x, y) ≤ 1 d(x, y).
2
Damit sind alle Voraussetzungen erfüllt und folglich besitzt F einen eindeutigen Fixpunkt x ∗ ∈
M. Ist x ∗ ∈ M, so gilt offensichtlich F (x ∗ ) ∈ C 1 ([t 0 − δ, t 0 + δ], R d ), womit x ∗ = F (x ∗ )
ebenfalls einmal differenzierbar ist. Damit können wir die Beziehung x ∗ = F (x ∗ ) einmal nach
der Zeit differenzieren und erhalten, dass x ∗ die Differentialgleichung löst.
□
Korollar 3.3 Ist f in einer Umgebung eines Punktes (x 0 , t 0 ) ∈ R d ×R stetig in t und Lipschitzstetig
in x, so existiert ein δ > 0 und eine eindeutige Lösung x ∈ C 1 ([t 0 − δ, t 0 + δ], R d ) mit
x| t=t0 = x 0 .
Ist f in einer Umgebung eines Punktes (x(t 0 + δ, t 0 , x 0 ), t 0 + δ) ∈ R d × R stetig in t und
Lipschitz-stetig in x, so können wir den obigen Existenz- und Eindeutigkeitssatz erneut anwenden.
Damit läßt sich eine Lösung, solange fortsetzen bis die Voraussetzungen des Existenz- und
Eindeutigkeitssatzes nicht mehr erfüllt sind.
Korollar 3.4 Ist f ∈ C 1 (R d , R d ), so können die Lösungen der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x) in jedem Punkt des Phasenraumes R d fortgesetzt werden. Eine Lösung kann
26

nur aufhören zu existieren, falls sie in endlicher Zeit unbeschränkt wird. Existiert eine Lösung
für alle t ∈ I mit I ein Intervall, so heißt I das maximale Existenzintervall, welches unter
diesen Voraussetzungen an f stets offen ist.
Beispiel 3.5 Es gibt keine stetige Funktion, welche ẋ = t −2 , x(0) = 1 erfüllt.
Beispiel 3.6 Betrachte das Anfangswertproblem
ẋ = x 2 , x(0) = a > 0.
Die eindeutige Lösung x(t) = a/(1 − at) existiert für t ∈ [0, a −1 ), d.h. die Lösung explodiert
(wird unbeschränkt) in endlicher Zeit.
Beispiel 3.7 Betrachte das Anfangswertproblem (α ∈ (0, 1))
ẋ = |x| α , x(0) = 0.
Neben der Lösung x ≡ 0 existieren noch unendlich viele weitere, nämlich für jedes τ > 0
{
0 für t ∈ [0, τ]
x(t) =
p −p (t − τ) p für t > τ,
wobei p = (1 − α) −1 . Wir bemerken explizit, dass x = x(t) für t = τ stetig differenzierbar ist
und damit tatsächlich eine Lösung im obigen Sinne darstellt.
Wie wir gesehen haben, reicht es für zeitunabhängiges differenzierbares f : R d → R d die Größe
der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen zu kontrollieren, um auf globale Existenz
der Lösungen schließen zu können. Dazu und zur Anschätzung von Näherungsfehlern beweisen
wir die Gronwallsche Ungleichung.
Lemma 3.8 Es gelte für t ∈ (t 0 , t 0 +a) mit a > 0 und φ und ψ nichtnegative stetige Funktionen
die Ungleichung
φ(t) ≤
∫ t
Dann folgt für t ∈ (t 0 , t 0 + a) die Abschätzung
Beweis: Nach Voraussetzung ist
t 0
ψ(s)φ(s)ds + δ.
R t
t
φ(t) ≤ δe
ψ(s)ds 0 .
φ(t)
∫ t
t 0
ψ(s)φ(s)ds + δ ≤ 1.
Nach Multiplikation beider Seiten mit ψ(t) und Integration ergibt sich
∫ t
∫ τ
t 0
∫
ψ(τ)φ(τ)
t
t 0
ψ(s)φ(s)ds + δ dτ ≤
27
t 0
ψ(τ)dτ

und daraus
und
∫ t
∫ t
ln( ψ(s)φ(s)ds + δ) − ln δ ≤
t 0
ψ(τ)dτ
t 0
∫ t
t 0
ψ(s)φ(s)ds + δ ≤ δ exp(
∫ t
t 0
ψ(τ)dτ).
Nach Voraussetzung ist φ(t) kleiner als der Ausdruck auf der linken Seite.
□
Beispiel 3.9 Eine Funktion f : R d × R → R d heißt linear beschränkt, wenn es Konstanten C 1
und C 2 gibt, so dass für alle (x, t) ∈ R d × R die Abschätzung ‖f(x, t)‖ ≤ C 1 + C 2 ‖x‖ gilt,
Ist f ∈ C 1 (R d × R, R d ) linear beschränkt, so existieren die Lösungen von (1) für alle t ∈ R.
Zunächst folgt durch Aufintegrieren von (1)
Für φ(t) = ‖x(t)‖ + C 1
C 2
‖x(t)‖ ≤ ‖x 0 ‖ +
ergibt sich
≤ ‖x 0 ‖ +
∫ t
0
∫ t
≤ ‖x 0 ‖ + C 1 t +
φ(t) ≤ C 2
∫ t
0
0
‖f(x(s), s)‖ds
C 1 + C 2 ‖x(s)‖ds
∫ t
0
C 2 ‖x(s)‖ds.
φ(s)ds + C 1
C 2
+ ‖x 0 ‖
und somit nach der Gronwallschen Ungleichung
( )
C1
φ(t) ≤ + ‖x 0 ‖ e C2t .
C 2
Eine unmittelbare Konsequenz ist, dass die Lösungen der linearen Differentialgleichungen ẋ =
A(t)x + g(t) wie in Kapitel 2 behauptet für alle t ∈ R existieren, falls A und g für alle t ∈ R
stetig sind.
Eine andere Anwendung der Gronwallschen Ungleichung ist die stetige Abhängigkeit von den
Anfangsbedingungen. Sei f : R d → R d Lipschitz-stetig mit Konstante L. So gilt
‖x(t, x 0 ) − x(t, y 0 )‖ ≤ ‖x 0 − y 0 ‖ +
≤
∫ t
‖x 0 − y 0 ‖ + L
0
∫ t
und somit nach Anwendung des Gronwallschen Lemmas
‖x(t, x 0 ) − x(t, y 0 )‖ ≤ ‖x 0 − y 0 ‖e Lt .
28
‖f(x(s, x 0 ) − f(x(s, y 0 ))‖ds
0
‖x(s, x 0 ) − x(s, y 0 )‖ds

Ist f differenzierbar, so hängt die Lösung x(t, t 0 , x 0 ) differenzierbar von der Anfangsbedingung
x 0 ab. Siehe [KK74].
Eine andere Methode die globale Existenz von Lösungen nachzuweisen, sind sogenannte Energieabschätzungen.
Beispiel 3.10 Betrachte
ẋ = x − x 3 , x(0) = x 0 .
Wir haben drei Fixpunkte, den instabilen x = 0 und die stabilen x = ±1. Vom Phasenbild
ist daher klar, dass die Lösungen für alle t ≥ 0 existieren. Dies kann auch wie folgt bewiesen
werden. Betrachte die Differentialgleichung für die skalare Größe r = x 2 ≥ 0:
ṙ = d dt (x2 ) = 2xẋ = 2x 2 − 2x 4 ≤ 2 − 2x 2 = 2 − 2r.
Aus dem Phasenbild für ṙ = 2 − 2r folgt sofort, dass alle Lösungen für t ≥ 0 beschränkt
bleiben. Es gilt sogar lim sup t→∞ r(t) ≤ 1. Damit bleibt auch x beschränkt und es gilt, wie
bereits bekannt lim sup t→∞ x 2 (t) ≤ 1.
Beispiel 3.11 Wir verallgemeinern das letzte Beispiel und betrachten jetzt allgemein
ẋ = f(x), x(0) = x 0 .
Die Differentialgleichung für die skalare Größe r(t) = x T (t)x(t) lautet
ṙ = x T ẋ + ẋ T x = 2x T f(x).
Existieren nun Konstanten C 1 > 0 und C 2 > 0, so dass für alle x ∈ R d die Ungleichung
gilt, so erfüllt r die Differentialungleichung
x T f(x) ≤ C 1 − C 2 x T x
ṙ ≤ C 1 − C 2 r.
Damit bleibt r(t) und damit auch x(t) für alle t ≥ 0 beschränkt und es gilt
lim sup
t→∞
r(t) = lim sup x T (t)x(t) ≤ C 1 /C 2 .
t→∞
Es kann sich als sinnvoll erweisen allgemein r(t) = x T (t)B(t)x(t) mit B(t) eine in t ≥ 0
gleichmäßig positiv definite d × d-Matrix zu betrachten und eventuell höhere Ordnungen in x
zuzulassen.
29

3.2 Numerik
Nur in den seltensten Fällen ist es möglich die Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen
explizit in bekannten Funktionen auszudrücken. Vielfach sind selbst diese Ausdrücke so kompliziert,
dass es mehr Sinn macht auch diese Lösungen numerisch anzunähern. Die folgenden
numerischen Verfahren erlauben es die Lösung x = x(t, t 0 , x 0 ) zu
ẋ = f(x, t), x| t=t0 = x 0
auf einem vorgebenen Intervall [t 0 , t e ] zu approximieren. Um über das gesamte Lösungsverhalten
der Differentialgleichung etwas zu erfahren, können diese Näherungen nützlich sein, einen
ersten Eindruck zu gewinnen. Sie müssen dann durch weitere Verfahren und Überlegungen
ergänzt werden.
Das Euler-Verfahren:
Das einfachste Verfahren die Lösung x = x(t) auf einem Intervall [t 0 , t e ] zu approximieren, ist
das Euler-Verfahren. Die durch den folgenden Algorithmus gewonnene Näherungslösung werde
mit y = y(t) bezeichnet.
Algorithmus: Das vorgegebene Intervall werde in Teilintervalle [t 0 , t e ] = ⋃ N
n=1 [t n−1, t n ] mit
t n = t 0 + nh, der Schrittweite h = (t e − t 0 )/N, N ∈ N zerlegt. Dann definieren wir y(t) zu
den Zeitpunkten t = t n durch
y(t n+1 ) = y(t n ) + hf(t n , y(t n )), y(t 0 ) = x 0 .
Zwischen den Punkten y(t n ) und y(t n+1 ) wird y = y(t) durch lineare Interpolation definiert.
Der Einfachheit halber sei
sup ‖f(x, t)‖ ≤ M < ∞.
(x,t)∈R d ×[t 0 ,t e]
Damit gilt für die Näherungslösung y = y(t) die Abschätzung
sup ‖y(t)‖ ≤ ‖x 0 ‖ + M|t e − t 0 | =: C y ,
t∈[t 0 ,t e]
d.h. die durch das Eulerverfahren gewonnene Näherungslösung y = y(t) bleibt beschänkt unabhängig
von der Größe von h.
Es gilt nun folgender Satz.
Theorem 3.12 Es sei f : R d × [t 0 , t e ] → R d Lipschitz-stetig mit Konstante L in x und t. Dann
gibt es ein h 0 > 0 und ein C > 0, so dass für alle h ∈ (0, h 0 ] die Abschätzung
sup ‖x(t) − y(t)‖ ≤ Ch
t∈[t 0 ,t e]
gilt, d.h. die Näherungslösung y = y(t) konvergiert gegen die exakte Lösung x = x(t) für
h → 0.
30

Beweis: Die Differenz r(t) = x(t) − y(t) erfüllt die Gleichung
Für t = t m gilt
r(t) = x(t) − y(t) = x 0 +
∫ t
∫ t
t 0
f(y(s) + r(s), s)ds − y(t).
s 1 = x 0 + f(y(s) + r(s), s)ds − y(t)
t 0
m−1
∑
∫ tn+1
= x 0 + f(y(s) + r(s), s)ds − y(t 0 ) − (
t n
n=0
m−1
∑
= x 0 − y(t 0 ) + (
n=0
∫ tn+1
Nach Verwendung des Euler-Algorithmus ergibt sich
und somit
‖s 1 ‖
≤
≤
≤
≤
≤
≤
m−1
∑
s 1 =
=
∫ tn+1
n=0 t n
m−1 ∫ tn+1
∑
n=0
m−1
∑
t n
n=0 t n
m−1 ∫ tn+1
∑
∫ tn+1
n=0 t n
m−1 ∫ tn+1
∑
n=0
∫ t
m−1
∑
(
∫ tn+1
n=0 t n
m−1 ∫ tn+1
∑
n=0
t n
m−1
∑
n=0
y(t n+1 ) − y(t n ))
t n
f(y(s) + r(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n )))
f(y(s) + r(s), s)ds − f(y(t n ), t n )h)
(f(y(s) + r(s), s) − f(y(t n ), t n ))ds
‖f(y(s) + r(s), s) − f(y(t n ), t n )‖ds
‖f(y(s) + r(s), s) − f(y(s), s)‖ + ‖f(y(s), s) − f(y(t n ), s)‖
+‖f(y(t n ), s) − f(y(t n ), t n )‖ds
L‖r(s)‖ + L‖y(s) − y(t n )‖ + L|s − t n |ds
L‖r(s)‖ + L‖f(y(t n ), t n )(s − t n )‖ + L|s − t n |ds
t n
L‖r(s)‖ds +
m−1
∑
n=0
t 0
L‖r(s)‖ds + h −1 L(M + 1)h 2 /2
≤ L(M + 1)h/2 +
∫ t
t 0
L‖r(s)‖ds.
L(M + 1)(s − t n ) 2 | t n+1
t n
/2
Da diese Abschätzung auch für t ∈ [t m , t m+1 ] gilt, liefert die Anwendung des Gronwallschen
Lemmas
‖r(t)‖ ≤ 1 2 L(M + 1)heL(t−t 0)
(9)
31

und somit die Behauptung.
□
Bemerkung 3.13 Störungen der Anfangsbedingungen können in der obigen Abschätzung mitbehandelt
werden. Es ergibt sich dann
‖r(t)‖ ≤ ((‖x 0 − y(t 0 )‖) + 1 2 L(M + 1)h)eL(t−t 0) .
Definition 3.14 Eine Funktion f (das obige Verfahren) heißt konvergent von der Ordnung
O(h m ) für h → 0, falls positive Konstanten C und h 0 existieren, so dass für alle h ∈ (0, h 0 ]
die Abschätzung ‖f(h)‖/‖h m ‖ ≤ C gilt. Eine Funktion f heißt konvergent von der Ordnung
o(h m ) für h → 0, falls lim h→0
‖f(h)‖
‖h m ‖ = 0.
Die gewonnene Abschätzung ist eher von theoretischem Interesse wie das folgende Beispiel
zeigt.
Beispiel 3.15 Betrachte ẋ = −100x mit x(0) = 1 für t ∈ [0, 1]. Die Lösung x(t) = e −100t wird
durch das dazugehörige Eulerverfahren approximiert. Es lautet y(t n ) = y(t n−1 )−100hy(t n−1 ) =
(1 − 100h)y(t n−1 ) und so ergibt sich y(t n ) = (1 − 100h) n . Der Fehler x(nh) − y(nh) =
e −100nh − (1 − 100h) n ist sehr klein, auch für nicht so kleines h. Die obige Abschätzung (9)
liefert mit M = sup x∈[0,1] |f(x)| = 100, dass
‖r(t)‖ ≤ 1 2 100(100 + 1)he100 ∼ 1.35 × 10 47 h.
Soll der Fehler tatsächlich kontrolliert werden, muß parallel zum Berechnen der Lösung die
Gleichung für den Fehler integriert werden.
Wir untersuchen die Struktur der obigen Abschätzung genauer. Unabhängig vom verwendeten
Näherungsverfahren ergibt sich stets
m−1
∑
‖r(t)‖ ≤ ‖ (
≤
∫ tn+1
n=0 t n
m−1 ∫ tn+1
∑
n=0 t n
m−1
∑
∫ tn+1
+‖ (
n=0 t n
f(y(s) + r(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n ))‖
‖f(y(s) + r(s), s) − f(y(s), s)‖ds
f(y(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n )))‖.
Ist die Näherungslösung y = y(t) auf [t 0 , t e ] beschänkt, so läßt sich der erste Ausdruck unabhängig
von h wie oben durch ∫ t
t 0
L‖r(s)‖ds mit einer Konstante L abschätzen. Der zweite
Ausdruck
m−1
∑
∫ tn+1
Res(y) = ( f(y(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n )))
t n
n=0
wird als Residuum, bzw. als formaler Fehler bezeichnet. Allgemein gilt
32

Theorem 3.16 Sei f : R d × [t 0 , t e ] → R d Lipschitz-stetig mit Konstante L in x und t. Es sei
y = y(t) eine Näherungslösung mit y(t 0 ) = x 0 . Es gebe eine Konstante C y und ein m ∈ N so
dass für alle h ∈ [0, 1] gilt:
sup ‖Res(y)(t)‖ ≤ C y h m .
t∈[t 0 ,t e]
Dann gibt es ein h 0 > 0 und ein C > 0, so dass für alle h ∈ (0, h 0 ] die Abschätzung
sup ‖x(t) − y(t)‖ ≤ Ch m
t∈[t 0 ,t e]
gilt, d.h. die Näherungslösung y = y(t) konvergiert gegen die exakte Lösung x = x(t) für
h → 0 mit einer Rate O(h m ).
Beweis: Unter diesen Voraussetzungen erfüllt die Differenz r(t) = x(t)−y(t) die Ungleichung
‖r(t)‖ ≤
∫ t
Die Anwendung des Gronwallschen Lemmas liefert
t 0
L‖r(s)‖ds + C y h m
‖r(t)‖ ≤ C y h m e L(t−t 0)
(10)
und somit die Behauptung.
Zusammenfassung: Bleiben die Lösungen y = y(t) eines Näherungsverfahrens unabhängig
von der Schrittweite beschränkt, und ist der formale Fehler von der Ordnung O(h m ), (was
ebenfalls die Beschränktheit von y = y(t) voraussetzt) so wird die exakte Lösung x = x(t)
durch ihre Näherung y = y(t) bis auf einen Fehler der gleichen Ordnung O(h m ) approximiert.
Beispiel 3.17 Es kann sinnvoll sein das verwendete Verfahren der Struktur des Problems anzupassen.
Betrachte die lineare Differentialgleichung x˙
1 = x 2 und x˙
2 = −x 1 . In der Phasenebene
sind die Lösungen durch Kreise gegeben. Das Eulerverfahren berechnet allerdings
nach außen laufende Spiralen. Denn betrachte den Kreis mit Radius 1. Ein Eulerschritt von
(x − 1, x 2 ) = (1, 0) startend ergibt (1, 0) + (0, −h) = (1, −h), was außerhalb des Kreises mit
Radius 1 liegt. Sinnvoller erweist sich hier die Trapezregel
y(t n+1 ) = y(t n ) + 1 2 h(f(y(t n+1), t n+1 ) + f(y(t n ), t n )),
welche die Hamiltonsche Struktur des Problems erhält. Hier ergibt sich das implizite Schema
y 1 (t n+1 ) = y 1 (t n ) + 1 2 h(y 2(t n+1 ) + y 2 (t n )), y 2 (t n+1 ) = y 2 (t n ) − 1 2 h(y 1(t n+1 ) + y 1 (t n )).
Für das obige Beispiel ergibt sich als Bildpunkt
y 1 = 1 + 1 2 hy 2, y 2 = − 1 2 h(y 1 + 1).
□
33

und somit y 1 = 1 + 1 2 h(− 1 2 h(y 1 + 1)), was über y 1 = 1 − 1 4 h2 y 1 − 1 4 h2 die Werte
y 1 = (1 − 1 4 h2 )/(1 + 1 4 h2 ) und y 2 = −h/(1 + 1 4 h2 )
ergibt. Damit liegt (y 1 , y 2 ) ebenfalls auf dem Kreis mit Radius 1.
Der formale Fehler, des so über die Trapezregel definierten Algorithmus berechnet sich zu
Res(y)(t) =
=
m−1
∑
(
∑
(
n=0
∫ tn+1
n=0
m−1 ∫ tn+1
t n
f(y(s), s)ds − (y(t n+1 ) − y(t n )))
t n
f(y(s), s)ds − 1 2 h(f(y(t n+1), t n+1 ) + f(y(t n ), t n )))
Da der Fehler
∫ tn+1
t n
f(y(s), s)ds − 1 2 h(f(y(t n+1), t n+1 ) + f(y(t n ), t n ))
der Trapezregel bei der Berechnung von Integralen [DB94] (der lokale Diskretisierungsfehler)
von der Ordnung O(h 3 ) ist, folgt für den formalen Fehler (der globale Diskretisierungsfehler)
sup ‖Res(y)(t)‖ ≤ O(h 2 ),
t∈[t 0 ,t e]
falls y = y(t) beschränkt ist. Damit werden Lösungen von Differentialgleichungen durch die
Trapezregel eine Ordnung (O(h 2 )) besser als durch das Eulerverfahren (O(h)) approximiert.
Im Prinzip gibt es zu jedem Quadraturverfahren zur Berechnung von Integralen mindestens ein
Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Siehe [DB94, Ise96,
SH96]. Es ist aber Vorsicht geboten, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 3.18 Das Verfahren
y(t n+2 ) − 3y(t n+1 ) + 2y(t n ) = h[ 13
12 f(y(t n+2), t n+2 ) − 5 3 f(y(t n+1), t n+1 ) − 5 12 f(y(t n), t n )
ist ein sogenanntes implizites Mehrschrittverfahren der Ordnung O(h 2 ). Damit approximieren
wir die Lösung x(t) = 1 des Anfangswertproblems ẋ = 0, x(0) = 1. Das Näherungsverfahren
lautet
y(t n+2 ) − 3y(t n+1 ) + 2y(t n ) = 0
und kann wie jede Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten durch den Ansatz y(t n ) =
λ n gelöst werden. Das charakteristische Polynom λ 2 − 3λ + 2 = 0 besitzt die Wurzeln λ 1 = 1
und λ 2 = 2. Damit lautet die allgemeine Lösung des Näherungsverfahrens
y(t n ) = c 1 + c 2 2 n , (c j ∈ R)
34

und für die gesuchte Näherung spezifizieren wir c 1 = 1 und c 2 = 0. Offensichtlich approximieren
wir die gesuchte Lösung exakt. Machen wir aber nur einen kleinen Fehler bei der Anfangsbedingung
und erhalten c 2 ≠ 0, so wirkt sich dies für n = 1/h Iterationen verheerend aus.
Als Konsequenz folgt, dass die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms notwendigerweise
|λ| ≤ 1 erfüllen müssen, um überhaupt eine stabile Approximation erhalten zu können.
Die bekanntesten Verfahren sind sogenannte Runge-Kutta Verfahren, welche auf der Gaussquadratur
∫ b
ν∑
f(τ)ω(τ)dτ ∼ b j f(c j )
a
basieren. Dabei werden die 2ν Konstanten b j und c j und das Gewicht ω entsprechend gewählt.
Siehe erneut [DB94, Ise96, SH96].
j=1
35

4 Asymptotische Stabilität
Die Stabilität von Gleichgewichtslösungen oder periodischen Lösungen kann in vielen Fällen
durch die linearisierte Gleichung nachgewiesen werden. Die mathematische Theorie geht auf
Poincaré und Lyapunov zurück. Weiter wollen wir einen ersten Eindruck gewinnen, was passiert,
wenn ein Fixpunkt oder eine periodische Lösung bei Verändern eines Parameters instabil
wird.
4.1 Fixpunkte
Ist ein Fixpunkt x 0 unter seiner Linearisierung ẏ = Ay mit A = ∂f
∂ x
| x=x0 asymptotisch stabil, so
gilt dies auch für das nichtlineare System.
Theorem 4.1 Betrachte ẋ = Ax + g(x) mit x = x(t) ∈ R d , mit x(0) = x 0 und den folgenden
Eigenschaften.
i) Es sei A eine konstante d × d-Matrix, deren Eigenwerte λ wie in Abbildung 8 strikt negativen
Realteil besitzen.
Im
Re
Abbildung 8: Spektrum von A im stabilen Fall.
ii) Es sei g : R d → R d Lipschitz-stetig in einer Umgebung U ⊂ R d von x = 0. Weiter gelte
‖g(x)‖
lim = 0.
‖x‖→0 ‖x‖
Dann existieren positive Konstanten C, δ und µ > 0, so dass
‖x(t)‖ ≤ C‖x 0 ‖e −µt ,
für alle t ≥ 0 aus ‖x 0 ‖ < δ folgt, d.h. x = 0 ist asymptotisch stabil und die δ-Umgebung wird
mit einer exponentiellen Rate angezogen.
Beweis: Der Beweis beruht auf der Idee, dass die nichtlinearen Terme in einer Umgebung von
x = 0 in der Norm viel kleiner als der stets negative Realteil der Linearisierung sind. So erhalten
wir zum Beispiel für x = x(t) ∈ R und A = −1 die Differentialungleichung
ẋ = −x + O(x 2 ) ≤ −x + 1 2 x ≤ −1 2 x
36

und somit die Konvergenz der Lösungen gegen x = 0.
Nun zum eigentlichen Beweis: Sei φ(t) = S(t, 0) der Lösungsoperator der linearen Gleichung
ẋ = Ax. Da die Eigenwerte von A strikt negativen Realteil besitzen, gibt es positive Konstanten
C 0 (wegen möglicher Jordanblöcke) und µ 0 mit
‖φ(t)‖ ≤ C 0 e −µ 0t
für alle t ≥ 0. Aus den Voraussetzungen an g folgt, dass es für alle b > 0 ein δ 0 > 0 gibt, so
dass ‖g(x)‖ ≤ b‖x‖ aus ‖x‖ ≤ δ 0 folgt. Die Variation der Konstantenformel ergibt
x(t) = φ(t)x(0) +
Mit den obigen Abschätzungen erhalten wir
und somit
‖x(t)‖ ≤ ‖φ(t)‖‖x 0 ‖ +
∫ t
≤ C 0 e −µ 0t ‖x 0 ‖ +
e µ 0t ‖x(t)‖ ≤ C 0 ‖x 0 ‖ +
0
φ(t − s)g(x(s))ds.
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
0
‖φ(t − s)‖ ‖g(x(s)‖ds
C 0 e −µ 0(t−s) b‖x(s)‖ds
C 0 e µ 0s b‖x(s)‖ds.
Wenden wir die Gronwallsche Ungleichung auf e µ 0t ‖x(t)‖ an, so erhalten wir
e µ 0t ‖x(t)‖ ≤ C 0 ‖x 0 ‖e C 0bt
bzw. ‖x(t)‖ ≤ C 0 ‖x 0 ‖e (C 0b−µ 0 )t .
Wir wählen nun b = µ 0 /(2C 0 ) und erhalten so ein dazugehöriges δ 0 = δ 0 (b). Somit ist µ =
µ 0 /2, ‖x(t)‖ ≤ C 0 ‖x 0 ‖e −µt und δ = C0 −1 δ 0 , womit die asymptotische Stabilität von x = 0
folgt.
□
Beispiel 4.2 Betrachte ẍ + µẋ + sin x = 0 mit µ > 0, d.h. den harmonischen Oszillator mit
Dämpfung. Wir erhalten das System
ẋ 1 = x 2 ,
x˙
2 = −µx 2 − sin x 1 .
Die Linearisierung um die Ruhelage (x 1 , x 2 ) = (0, 0) des Pendels lautet
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −µx 2 − x 1 .
( )
0 1
Die dazugehörige Matrix A =
besitzt die Eigenwerte
−1 −µ
λ 1/2 = −µ ± √ µ 2 − 4
.
2
Damit gilt Reλ 1,2 ≤ −µ/2 < 0 für µ > 0 und somit ist (x 1 , x 2 ) = (0, 0) im linearisierten wie
auch im nichtlinearen System asymptotisch stabil.
37

Beispiel 4.3 Betrachte ẋ = 0 · x + x 3 mit x(t) ∈ R. Hier ist die Voraussetzung des Satzes an
A = 0 nicht erfüllt. So ist dann auch x = 0 im linearisierten System ẋ = 0 stabil, aber im
nichtlinearen System instabil.
Bemerkung 4.4 Offensichtlich gilt obiger Satz auch für zeitabhängiges g, falls die Voraussetzung
an g gleichmäßig in der Zeit erfüllt ist. Mit Hilfe des Satzes von Floquet läßt sich
obiger Satz dann auch im Falle von zeitlich periodischem A, d.h. A(t) = A(t + T ) für ein
T > 0, beweisen, falls die Floquetexponenten alle negativen Realteil besitzen. Denn, wie
oben bewiesen, erhalten wir durch die Koordinatentransformation x(t) = P (t)z(t) aus ẋ(t) =
A(t)x(t) + g(x(t), t) das System
ż(t) = Bz(t) + P −1 (t)f(P (t)z(t), t).
mit P (t) die periodische Matrix, und B die konstante Matrix aus dem Satz aus Floquet. Da nach
Definition die Floquetexponenten durch die Eigenwerte von B gegeben sind, kann obiger Satz
jetzt auf dieses System angewendet werden. Für die Stabilität periodischer Lösungen autonomer
Systeme ist dieser Satz wie wir sehen werden nicht anwendbar.
Die Instabilität von Fixpunkten überträgt sich stets vom linearisierten System auf das nichtlineare
System. Wir beweisen dies nun im Fall mindestens eines Eigenwertes mit positivem
Realteil.
Theorem 4.5 Betrachte ẋ = Ax + g(x) mit x = x(t) ∈ R d mit x(0) = x 0 und den folgenden
Eigenschaften.
i) Es sei A eine konstante d × d-Matrix mit mindestens einem Eigenwert mit strikt positivem
Realteil. Siehe Abbildung 9.
Im
Re
Abbildung 9: Spektrum von A und Phasenbild mit Sektor im instabilen Fall.
ii) Es sei g : R d → R d Lipschitz-stetig in einer Umgebung U ⊂ R d von x = 0. Weiter gelte
Dann ist der Fixpunkt x = 0 instabil.
‖g(x)‖
lim = 0.
‖x‖→0 ‖x‖
38

Beweis: Zum Nachweis dieses Satzes zeigen wir, dass um die linear instabile Richtung ein
Kreissektor mit Radius ɛ existiert, in den die Lösungen seitlich eintreten und nur am Kreisbogen
wieder austreten können. Als Beispiel betrachten wir das zweidimensiomale System
ẋ 1 = x 1 + O(x 2 1 + x 2 2), ẋ 2 = −x 2 + O(x 2 1 + x 2 2).
Das Phasenbild und der Sektor sind in Abbildung 9 dargestellt. Damit verlassen wir stets diese
ɛ-Umgebung durch den Kreisbogen egal wie nahe wir innerhalb des Sektors an der Null starten.
Nun zum eigentlichen Beweis. Wir machen zunächst eine Koordinatentransformation x = P y
mit P eine konstante d × d-Matrix. Dann ergibt sich die Gleichung
ẏ = By + P −1 g(P y),
mit B =
(
B1
0
)
0
, wobei B 1
B 2
∈ R k×k zum Teil des Spektrums von A mit positivem
Realteil und B 2 ∈ R d−k×d−k zum Teil des Spektrums von A mit nichtpositivem Realteil gehört.
Es gibt ein σ > 0, so dass für alle Eigenwerte λ von B 1 gilt Reλ > σ. Aus der linearen
Algebra sei bekannt, dass diese Koordinatentransformation so gewählt werden kann, dass alle
Nichtdiagonalelemente kleiner als γ ≤ σ/20 sind (modifizierter Jordanblock).
Wir definieren R 2 = ∑ k
i=1 |y i| 2 und ρ 2 = ∑ d
i=k+1 |y i| 2 .
Aus den Voraussetzungen an g folgt wie oben, dass es für alle b > 0 ein δ 0 > 0 gibt, so dass
‖g(x)‖ ≤ b‖x‖ aus ‖x‖ ≤ δ 0 folgt.
Wir nehmen an, dass x = 0 stabil sei. Dann gibt es für alle ɛ > 0 ein δ > 0, so dass ρ(t)+R(t) <
ɛ für all t ≥ 0 aus ρ(0) + R(0) < δ folgt. Aus den obigen Abschätzungen für die Eigenwerte
von B 1 , die Nichtlinearität und die Nebendiagonalelemente folgt
Wählen wir b = σ/10 so ergibt sich
Andererseits ergibt sich in der selben Weise
Da
erhalten wir insgesamt
und somit
2RṘ ≥ 2σR2 − 2bR(ρ + R) − 2γR 2 .
Ṙ ≥ σR/2 − bρ
˙ρ ≤ σρ/20 + b(ρ + R).
σR/2 − bρ − σρ/20 − b(ρ + R) ≥ σ(R − ρ)/4
d
(R − ρ) ≥ σ(R − ρ)/4
dt
R(t) − ρ(t) ≥ (R(0) − ρ(0))e σt/4 .
Für Lösungen mit R(0) = 2ρ(0) folgt R(t) ≥ ρ(0)e σt/4 . Dies ist aber unter der Annahme der
Stabilität R(t) + ρ(t) ≤ ɛ nicht möglich, egal wie klein ρ(0) > 0 bzw. δ > 0 gewählt wird. □
39

Bemerkung 4.6 Die obige Bemerkung für den zeitlich periodischen Fall gilt im instabilen Fall
entsprechend.
Beispiel 4.7 Im obigen Beispiel des gedämpften Pendels erhielten wir die Eigenwerte
λ 1/2 = −µ ± √ µ 2 − 4
.
2
Damit gilt Reλ 1,2 ≤ −µ/2 > 0 für µ < 0 und somit ist (x 1 , x 2 ) = (0, 0) im linearisierten wie
auch im nichtlinearen System instabil.
4.2 Bifurkation
Was passiert, wenn ein Fixpunkt bei Verändern eines Parameters instabil wird, d.h. im obigen
Beispiel die Reibung µ negativ wird? Dies ist von Interesse, da so möglicherweise kompliziertere
Dynamik gefunden und analytisch beschrieben werden kann. Anhand einfacher Beipiele
wollen wir solche Situtation untersuchen.
Beispiel 4.8 (Transkritische Bifurkation (von Fixpunkten)) Betrachte
ẋ = µx − x 2 , (x = x(t) ∈ R).
Der Fixpunkt x = x 1 = 0 ist asymptotisch stabil für µ < 0 und instabil für µ > 0. Bei µ = 0
überquert wie in Abbildung 10 ein reeller Eigenwert die Imaginäre Achse.
Es existiert ein weiterer Fixpunkt x = x 2 = µ, welcher für µ = 0 mit der trivialen Lösung
Im
Im
Re
Re
µ µ 0
Abbildung 10: Ein Eigenwert überquert die imaginäre Achse.
x 1 = 0 zusammenfällt. Da wir im allgemeinen zunächst nur die triviale Lösung kennen, sagen
wir, dass der Fixpunkt x 2 = µ aus der trivialen Lösung x 1 = 0 verzweigt oder bifurkiert.
Die allgemeine Situation ist wie folgt. Gegeben ist ẋ = f(x, µ) mit µ ∈ R, x = x(t) ∈ R und
f hinreichend oft differenzierbar. Für alle µ ∈ R sei die triviale Lösung x 1 = 0 bekannt, d.h.
f(x, µ) = xg(x, µ) mit einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion g. Gilt
∂f
∂x | x=0 = (x ∂g
∂x + g)| x=0 = g ≠ 0
40

x
µ
Abbildung 11: Transkritische Bifurkation von Fixpunkten.
für ein µ = µ 0 , so kann f nach dem Satz über implizite Funktionen nach x = x(µ) aufgelöst
werden. Damit können in dieser Umgebung neben der trivialen Lösung x 1 = 0 keine weiteren
Fixpunkte existieren. Mit Hilfe des Newtonverfahrens kann die Familie des trivialen Fixpunktes
µ ↦→ x 1 (µ) im Parameterraum solange verfolgt werden, bis die Voraussetzungen des Satzes über
implizite Funktionen verletzt sind. Siehe das Programmpaket AUTO von E. Doedel, welches in
XPP enthalten ist. Notwendig für die Verzweigung bzw. Bifurkation von Fixpunkten ist daher
∂f
∂x | x=0 = (x ∂g
∂x + g)| x=0 = g = 0
für ein µ = µ 0 , d.h. g(0, µ 0 ) = 0. Ist nun die Nicht-Degeneriertheitsbedingung
∂g
∂µ | (x,µ)=(0,µ 0 ) ≠ 0
erfüllt, so kann nach dem Satz über implizite Funktionen in einer Umgebung (x, µ) = (0, µ 0 )
die Funktion g nach µ = µ(x) aufgelöst werden und daher bifurkiert für µ = µ 0 aus der
trivialen Lösung eine von der Familie der trivialen Lösung verschiedener Fixpunkt x = x 2 (µ).
Siehe Abbildung 11.
Wir sprechen daher von einer transkritischen Bifurkation. Es findet ein Austausch der Stabilitäten
statt. Für µ < 0 ist x = 0 stabil und x = µ instabil. Für µ > 0 ist x = 0 instabil und
x = µ stabil.
Beispiel 4.9 Betrachte f(x, µ) = µx + x 2 + sin x. Es gilt f(0, µ) = 0 für alle µ ∈ R. Damit ist
x = 0 für alle µ ∈ R die triviale Lösung. Es ist
∂f
∂x | x=0 = (µ − 2x + cos x)| x=0 = µ + 1
und somit kann eine Verzweigung nur für µ + 1 = 0 stattfinden. Wir führen daher den kleinen
Bifurkationsparameter µ + 1 = α ein und erhalten g = µ + x + sin(x)/x = α + x + O(x 2 ). Da
die Nicht-Degeniertheitsbedingung ∂g/∂µ| x=0,µ=1 = 1 ≠ 0 erfüllt ist, findet eine transkritische
Bifurkation von Fixpunkten x = −α + O(α 2 ) statt.
Mittels eines Potenzreihenansatzes kann die Funktion x = x(α) = ∑ ∞
n=1 c nα n näherungsweise
berechnet werden. Es ergibt sich
g = α(1 + c 1 ) + α 2 (c 2 − c 2 1 /6) + O(α3 )
41

und so c 1 = −1 und c 2 = 1/6.
Eine alternative Vorgehensweise ist das Skalieren der Lösungen ohne den Umweg über g direkt
in f. Wir setzen x = αy und erhalten die skalierte Funktion
F (y, α) = α −2 f(αy, 1 + α) = y + y 2 + O(α).
Damit haben wir für α = 0 die einfache Gleichung F (y, 0) = y + y 2 , welche explizit gelöst
werden kann. Mit dem Satz über implizite Funktionen können wir wegen
dF
dy | (y,α)=(y j ,0) = (1 + 2y)| (y,α)=(yj ,0) ≠ 0
die Funktion F in einer Umgebung um (y, α) = (y j , 0) nach y auflösen und erhalten y 0 =
0 + O(α) und y 1 = −1 + O(α).
Beispiel 4.10 (Pitchfork-Bifurkation (von Fixpunkten)) Betrachte
ẋ = µx − x 3 , (x = x(t) ∈ R).
Die lineare Stabilitätsanalysis von x = 0 ist wie oben. Der Fixpunkt x = 0 ist asymptotisch
stabil für µ < 0 und instabil für µ > 0. Bei µ = 0 überquert wie in Abbildung 10 ein reeller
Eigenwert die imaginäre Achse. Für µ = 0 verzweigen zwei weitere Fixpunkte x 2,3 = ± √ µ
aus der trivialen Lösung x 1 = 0. Es findet ein Austausch der Stabilitäten statt. Für µ < 0 ist
x 1 = 0 stabil. Für µ > 0 ist x 1 = 0 instabil und x 2,3 = ± √ µ stabil, da die Linearisierung
A = (µ − 3x 2 )| x=x2,3 = −2µ für µ > 0 den negativen Eigenwert −2µ besitzt. Da die Fixpunkte
nur für µ > 0 existieren, sprechen wir von einer superkritischen Bifurkation, im Gegensatz zur
subkritischen Bifurkation. Siehe Abbildung 12.
x
µ
Abbildung 12: Eine superkritische Pitchfork-Bifurkation von Fixpunkten.
Beispiel 4.11 Betrachte f(x, µ) = µx + sin x. Wieder wird x = 0 für µ = −1 instabil. Wir
setzen α 2 = µ + 1 und x = αy. Die umskalierte Funktion
F (y, α) = α −3 f(αy, 1 + α 2 ) = y − 1 6 y3 + O(α 2 ).
42

kann für α = 0 explizit gelöst werden. Mit dem Satz über implizite Funktionen können wir
y 1 = 0 + O(α 2 ) und y 2,3 = ± √ 6 + O(α 2 ) und somit x 1 = 0 und x 2,3 = ± √ 6 α + O(α 3 ) für
α > 0 zeigen.
Beispiel 4.12 (Sattel-Knoten-Bifurkation (von Fixpunkten)) Betrachte
ẋ = µ − x 2 , (x = x(t) ∈ R).
Hier entstehen zwei Fixpunkte x 1,2 = ± √ µ für µ = 0 aus dem nichts. Die Linearisierung um
x 1,2 ist durch µ ∓ 2 √ µ gegeben. Damit ist x 1 instabil und x 2 stabil. Siehe Abbildung 13.
x
µ
Abbildung 13: Die Sattel-Knoten-Bifurkation.
Wie das folgende Beispiel zeigt können in mehr als einer Raumdimension aus einem Fixpunkt
auch echt periodische Lösungen verzweigen. Eine Lösung x = x(t) der Gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt periodisch, falls es ein T > 0 gibt, so dass x(t) = x(t + T ) für alle
t ∈ R.
Beispiel 4.13 (Die Hopf-Bifurkation.) Betrachte das zweidimensionale Differentialgleichungssystem
ẋ 1 = µx 1 + x 2 − x 1 (x 2 1 + x2 2 ), ẋ 2 = −x 1 + µx 2 − x 2 (x 2 1 + x2 2
( )
)
µ 1
mit µ ∈ R. Die Linearisierung A =
um die triviale Lösung besitzt die Eigenwerte
−1 µ
λ 1,2 = µ±i, d.h. zwei konjugiert komplexe Eigenwerte mit nichtverschwindendem Imaginärteil
überqueren wie in Abbildung 14 die imaginäre Achse.
Führen wir Polarkoordinaten x 1 = r sin φ und x 2 = r cos φ mit r ≥ 0 und φ ∈ R/(2πZ) ein so
transformiert sich dass das obige System in
ṙ = µr − r 3 , ˙φ = 1,
d.h. aus der trivialen Lösung x = 0 verzweigt bei µ = 0 eine Familie periodischer Lösungen
{x = x per (t, µ, φ 0 ) | x 1 = √ µ sin(t + φ 0 ), x 2 = √ µ cos(t + φ 0 )}.
43

Im
Im
Re
Re
Abbildung 14: Zwei konjugiert komplexe Eigenwerte mit nichtverschwindendem Imaginärteil
überqueren die imaginäre Achse.
Wir sprechen von einer superkritischen Hopf-Bifurkation. Diese Familie zieht für festes µ jede
Lösung mit einer exponentiellen Rate O(exp(−2µt)) an. Siehe Abbildung 15.
Abbildung 15: Das Phasenbild für µ > 0.
Wie wir später sehen werden, findet diese Bifurkation generischerweise statt, wenn ein Fixpunkt
dadurch instabil wird, dass ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte die imaginäre Achse
überquert.
4.3 Intervallabbildungen
Bei der Untersuchung der Stabilität periodischer Lösungen werden wir die diskrete Poincaré-
Abbildung verwenden. Deshalb schieben wir hier Betrachtungen zu Iterationen x n+1 = f(x n )
mit f : R → R ein.
Definition 4.14 Der Vorwärtsorbit eines Punktes x ∈ R ist die Menge der Punkte x, f(x), f 2 (x)
usw. Er wird mit O + (x) bezeichnet. Ist f ein Homöomorphismus, so kann der Rückwärtsorbit
44

O − (x) eines Punktes x ∈ R durch die Menge der Punkte x, f −1 (x), f −2 (x), . . . definiert werden.
Der Orbit O(x) von x ist dann durch O(x) = O + (x) ∪ O − (x) gegeben.
Definition 4.15 Ein Punkt x ∈ R heißt Fixpunkt von f, wenn f(x) = x gilt. Ein Punkt x ∈ R
heißt periodischer Punkt der Periode n, wenn f n (x) = x gilt. Das kleinste solche n heißt minimale
Periode. Die Menge der Iterierten eines periodischen Punktes definiert einen periodischen
Orbit. Die Menge der Fixpunkte bezeichnen wir mit Fix(f). Die Menge der periodischen Punkte
der Periode n bezeichnen wir mit Per n (f).
Beispiel: Die Abbildung f(x) = −x besitzt den Fixpunkt x = 0. Jeder Punkt x ∈ R ist ein
periodischer Punkt der Periode 2, da f 2 (x) = x.
Beispiel: Sei S 1 = R/2πZ der Einheitskreis in der Ebene. Ein Punkt in S 1 ist eindeutig durch
seinen Winkel θ festgelegt. Betrachte dann f(θ) = 2θ. Da f(θ) = f(θ + 2π) gilt, ist diese
Abbildung wohldefiniert. Es gilt f n (θ) = 2 n θ, so daß θ ein periodischer Punkt der Periode n
ist genau dann wenn 2 n θ = θ + 2kπ für ein k ∈ Z, d.h. wenn θ = 2kπ/(2 n − 1). Damit
sind die periodischen Punkte der Periode n die (2 n −1)–ten Einheitswurzeln. Für n = 2 ergibt
sich der 2-periodische Orbit (1/3, 2/3)2π. Für n = 3 ergeben sich die 3-periodischen Orbits
(1/7, 2/7, 4/7)2π und (3/7, 6/7, 5/7)2π. Für n = 4 ergeben sich die 4-periodischen Orbits
(1/15, 2/15, 4/15, 8/15)2π, (3/15, 6/15, 12/15, 9/15)2π und (7/15, 14/15, 13/15, 11/15)2π.
Der Einfachheit halber betrachten wir im folgenden konkret die Familie der Abbildungen
f µ (x) = µx(1 − x).
Zunächst untersuchen wir die Fixpunkte und deren Stabilität.
Lemma 4.16 Es gilt f µ (0) = f µ (1) = 0 und für alle µ > 1 existiert ein nicht trivialer Fixpunkt
p µ = f µ (p µ ) = µ − 1
µ
∈ (0, 1).
Beweis: Aus der Bedingung µx(1 − x) = x folgt sofort die Behauptung.
□
Lemma 4.17 Sei µ > 1. Für x < 0 oder x > 1 gilt fµ n (x) → −∞ für n → ∞
Beweis: Wenn x < 0, dann gilt f µ (x) = µx(1−x) 1 und (1−x) > 1. Angenommen
es existiert ein p < 0 mit lim n→∞ fµ n (x) = p. Dann gilt lim n→∞ fµ n+1 (x) = f µ (p) < p im
Widerspruch zu lim n→∞ fµ n+1 (x) = p. Da f µ (x) < 0 für x > 1, ist das Lemma bewiesen. □
Für µ ∈ (1, 3) ist der Fixpunkt p µ = µ − 1
µ stabil. Im Gegensatz dazu ist der Fixpunkt x = 0
instabil.
Definition 4.18 Ein Fixpunkt p µ heißt stabil, wenn für alle ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, so daß
|f n µ (x) − p µ| < ɛ für alle n ∈ N, falls |x − p µ | < δ. Ist p µ nicht stabil, so heißt p µ instabil. Ein
n-periodischer Punkt heißt stabil, falls er stabil unter der n-ten Iteration F n ist (entsprechend
instabil).
45

Zum Nachweis der Stabilität verwenden wir folgendes Kriterium.
Theorem 4.19 Der Fixpunkt x = 0 ist stabil (bzw. instabil) unter der Iteration x n+1 =Bx n +g(x n ),
g(x) = O(|x| 2 ), wenn |B| < 1 (bzw. |B| > 1).
Beweis: Setze b = |B| − 1. Nach Voraussetzung gibt es ein ɛ > 0, so daß |g(x)| ≤ |b||x|/2 für
alle |x| ≤ ɛ. Damit gilt im Fall |B| > 1, daß
|x n+1 | ≥ |B||x n | − |b||x n | ≥ |1 + b/2||x n |
für |x| ≤ ɛ, woraus unmittelbar die Instabilität folgt. Denn für alle δ > 0 gibt es ein n ∈ N mit
|x n | ≥ |1 + b/2| n δ ≥ ɛ. Im Fall |B| < 1, d.h. auch |1 + b/2| < 1, folgt
|x n+1 | ≤ |B||x n | − |b||x n | ≤ |1 + b/2||x n |
und damit unmittelbar die Stabilität. Wähle dazu δ = ɛ.
Bemerkung: Ist x ∈ R d , so ist x = 0 stabil, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die
Bedingung |λ| < 1 erfüllen. Gibt es ein Eigenwert mit |λ| > 1, so ist x = 0 instabil. Der Punkt
x = 0 heißt hyperbolisch, wenn alle Eigenwerte λ der Matrix B ∈ R d×d die Bedingung |λ| ≠ 1
erfüllen.
Wir wenden dieses Kriterium nun an. Dazu betrachten wir die Linearisierung um die Fixpunkte
i) x = 0:
y n+1 = f ′ µ(0)y n
mit f ′ µ (0) = µ(1 − 2x)| x=0 = µ. Da der Eigenwert µ der Linearierung für µ ∈ (1, 3) außerhalb
des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0 instabil
ii) x = p µ :
y n+1 = f ′ µ(p µ )y n
mit f µ ′ (p µ) = µ(1 − 2x)| x=pµ = µ(1 − 2(µ − 1)/µ) = −µ + 2. Da der Eigenwert −µ + 2 der
Linearierung für µ ∈ (1, 3) innerhalb des Einheitskreises {z ∈ C | |z| = 1} liegt, ist x = 0
stabil.
Es gilt zusätzlich
Lemma 4.20 Sei µ ∈ (1, 3) und x ∈ (0, 1), so gilt lim n→∞ f n µ (x) = p µ .
Beweis: Sei zunächst µ ∈ (1, 2). Es gilt dann f µ (1/2) < 1/2. Für x ∈ (0, 1/2) folgt sofort,
daß |f µ (x) − p µ | < |x − p µ |, womit sofort die Behauptung folgt. Ist x ∈ (1/2, 1), so folgt
f µ (x) ∈ (0, 1/2) und die Überlegungen für x ∈ (0, 1/2) sind sofort anwendbar.
Sei jetzt µ ∈ (2, 3). Hier betrachten wir fµ. 2 Aus dem Graph von fµ 2 ist sofort klar, daß es für
µ

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Abbildung 16: i) Die Funktion x ↦→ f µ (x) für µ ∈ (1, 2) ii) Die Funktion x ↦→ fµ 2 (x) für µ ∈ (2, 3).
Wenn µ > 3 ist, wird das Verhalten mit zunehmendem µ komplizierter. Dieses Anwachsen
an Komplexität wollen wir später im Detail untersuchen. Für µ > 4 liegt chaotische Dynamik
vor, die wir nun genauer betrachten wollen. In diesem Fall gilt für das Maximum f µ (1/2) > 1.
Damit gibt es eine offene Menge
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Abbildung 17: Die Funktion x ↦→ f µ (x) für µ > 4.
A 0 = {x ∈ I = [0, 1] | f µ (x) > 1}.
Für x ∈ A 0 gilt fµ 2 (x) < 0 und folglich f µ n (x) → −∞ für n → ∞. Definiere dann A 1 = {x ∈
I | f µ (x) ∈ A 0 }. Für x ∈ A 1 gilt fµ 3 (x) < 0 und folglich f µ n (x) → −∞ für n → ∞. Weiter
setzen wir
A n = {x ∈ I | f n µ (x) ∈ A 0}
= {x ∈ I | f j µ(x) ∈ I für j ≤ n, aber f n+1
µ (x) ∉ I},
d.h. A n besteht aus allen Punkten, die I bei der n + 1-ten Iteration verlassen.
Wir analysieren nun die Dynamik auf der Menge
Λ = I − (∪ ∞ n=0 A n),
47

estehend aus den Punkten, die unter allen Iterationen in I bleiben.
Wir zeigen zunächst, daß Λ eine Cantormenge ist. Die Menge I − A 0 besteht aus zwei abgeschlossenen
Intervallen I 0 und I 1 , und f µ bildet I 0 , bzw. I 1 monoton auf I ab. Damit gibt es in I 0
und I 1 zwei offene Intervalle, die durch f µ auf A 0 abgebildet werden. Die Menge A 1 ist die Vereinigung
dieser Intervalle. Betrachte nun I − (A 0 ∪ A 1 ). Diese Menge besteht folglich aus vier
abgeschlossenen Intervallen. Jedes dieser Intervalle wird durch fµ 2 monoton auf I abgebildet.
Die Menge A n besteht damit aus 2 n offenen Intervallen. Entsprechend ist I − (A 0 ∪ . . . ∪ A n )
die Vereinigung von 2 n+1 abgeschlossenen Intervallen. Jedes dieser Intervalle wird durch f n+1
monoton auf I abgebildet.
Diese Konstruktion erinnert uns an:
Definition 4.21 Eine Menge Λ ist eine Cantormenge, wenn sie abgeschlossen, total unzusammenhängend
und perfekt ist. Eine Menge heißt total unzusammenhängend, wenn sie keine offenen
Intervalle enthält. Eine Menge heißt perfekt, wenn jeder Punkt Limespunkt anderer Punkte
dieser Menge ist.
Beispiel: Eine klassisches Beispiel einer solchen Menge erhalten wir indem wir aus I zunächst
das Intervall (1/3, 2/3) entfernen. Danach werden die Intervalle (1/9, 2/9) und (7/9, 8/9)
entfernt. Setzen wir diese Konstruktion fort, erhalten wir eine Cantormenge mit der gleichen
Mächtigkeit wie I, aber mit Maß Null. Im n-ten Schritt besteht die erhaltenene Menge aus 2 n
Intervallen der Länge 3 −n . Ein x ∈ [0, 1] ist in dieser Cantormenge, wenn x = ∑ ∞
i=1 a i3 −i mit
a i ∈ {0, 2}.
Die oben konstruierte Menge Λ ist wie bereits erwähnt für alle µ > 4 eine Cantormenge. Wir
beweisen hier
Theorem 4.22 Für µ > 2 + √ 5 ist Λ eine Cantormenge.
Beweis: Unter der Voraussetzung, daß µ > 2 + √ 5 ist, gilt |f ′ µ(x)| ≥ λ für ein λ > 1 und alle
x ∈ I 0 ∪ I 1 . Nach der Kettenregel gilt |(f n µ )′ (x)| > λ n . Wir nehmen an Λ würde ein Intervall
[x, y] enthalten. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein n ∈ N mit
|fµ n (x) − f µ n (y)| ≥ inf |(fµ n )′ (α)| |x − y| ≥ λ n |x − y| > 1,
α∈[x,y]
was zur Folge hätte, daß entweder f n µ (x) oder f n µ (y) außerhalb von I liegen müssten. Damit
muß Λ total unzusammenhängend sein.
Λ ist als Schnitt abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen.
Um zu zeigen, daß Λ perfekt ist, stellen wir zunächst fest, daß jeder Endpunkt der A k nach endlich
vielen Iterationen auf 0 abgebildet wird. Sei nun p ∈ Λ isoliert, so muß jeder benachbarte
Punkt das Intervall I nach endlich vielen Schritten verlassen und gehört damit zu einem A k .
Entweder gibt es damit a) eine Folge von Endpunkten der A k die gegen p ∈ Λ konvergieren
oder b) ein k ∈ N und eine Umgebung U um p, so daß fµ k (U/{p}) außerhalb I liegt.
48

zu a) In diesem Fall ist p ∈ Λ nicht isoliert.
zu b) Somit muß es ein n ∈ N geben, so daß f n (p) = 0 und f n (x) < 0 für alle x ∈ U/{p}.
Damit gilt (fµ n )′ (p) = 0. Nach der Kettenregel gibt es damit ein i < n mit F ′ (f i (p)) = 0,
woraus f i (p) = 1/2 und dann f i+1 (p) ∉ I folgt im Widerspruch zu f n (p) = 0.
□
Die so konstruierten Cantormengen sind Fraktale. Fraktale spielen in der Theorie der dynamischen
Systeme eine wichtige Rolle. Attraktoren (Limesmenge der Gesamtheit der Lösungen
für n → ∞) besitzen häufig fraktale Geometrie und werden dann als seltsam (engl. strange)
bezeichnet. Ihnen kann eine nicht ganzzahlige Dimension zugewiesen werden. Fraktale spielen
heute auch bei Computergrafiken und bei der Analyse von Börsenkurse eine wichtige Rolle.
Einschub Fraktale:
Der folgende Abschnitt beruht auf den Büchern [Man91, PR86, GH83]. Dort findet sich:
Eine Menge mit nicht ganzzahliger Hausdorff-Dimension ist ein Fraktal.
Definition 4.23 Die Hausdorff-Dimension einer Menge M ⊂ R m ist das Infimum aller d mit
der folgenden Eigenschaft. Für alle ɛ > 0 gibt es ein δ > 0 und eine Überdeckung U von M, so
daß die Mengen B ∈ U alle Radius kleiner als δ > 0 haben und ∑ B∈U (diamB)d < ɛ.
Für euklidische Räume und glatte Mannigfaltigkeiten stimmt die Hausdorff-Dimension mit der
üblichen Definition überein.
Beispiel: Wir überdecken M = [0, 1] ∈ R (bzw. R m ) durch 1/δ viele Intervalle (bzw. m-
dimensionale Kugeln) der Länge δ. Der Ausdruck
1/δ
∑
∑
(diamB) d = δ d = δ d−1
B∈U
kann für festes d > 1 durch die Wahl von einem kleinen δ > 0 kleiner als ein vorgegebenes
ɛ > 0 gemacht werden. Das Infimum all dieser d ist 1.
n=0
0
δ
1
Abbildung 18: Überdeckung von [0, 1] in R 2 .
Beispiel: Die obige Cantormenge C kann nach Konstruktion durch 2 n Intervalle der Länge
δ = 3 −n überdeckt werden. Der Ausdruck
∑
(diamB) d =
B∈U
2 n ∑
j=0
(3 −n ) d = (2/3 d ) n
49

kann für d > ln 2 durch die Wahl von einem kleinen δ > 0 kleiner als ein vorgegebenes ɛ >
ln 3
0 gemacht werden. Da diese Abschätzung (ohne Beweis) auch scharf ist, ist die Hausdorff-
Dimension der Cantormenge C daher ln 2 . Damit ist die Cantormenge C ein Fraktal.
ln 3
Wir suchen nun nach einem Modell für die von f µ auf Λ induzierte Dynamik. Dieses Modell
wird als Definition für chaotisches Verhalten dienen.
Einschub Shiftdynamik:
Betrachte die Menge
versehen mit der Metrik
Σ 2 = 2 N = {a : N → {0, 1} | a = (a i ) i∈N }
d(a, b) = ∑ j∈N
2 −j |a j − b j |.
Die Shiftabbildung σ : Σ 2 → Σ 2 wird durch (σ(a)) i = a i+1 definiert und ist offensichtlich
stetig. Diese zunächst langweilig wirkende Abbildung kann als Inbegriff chaotischen Verhaltens
angesehen werden.
Lemma 4.24 i) Es existieren nicht triviale periodische Lösungen zu jeder Minimalperiode.
ii) Es existiert ein dichter Orbit.
iii) Es gilt die sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingeungen, d.h. zu jedem a ∈ Σ 2 und
zu jedem δ > 0 existiert ein b ∈ Σ 2 und ein j ≥ 0, so daß d(σ j (a), σ j (b)) = 1/2, obwohl
d(a, b) ≤ δ.
Bemerkung: Punkt iii) entspricht der Unverhersagbarkeit von Ereignissen (z.B. bei der Wettervorhersage),
denn: Ist der Wert von a ∈ Σ 2 nur bis auf einen Meßfehler δ bekannt, so liegen
die Werte von a j nur für j ≤ j 0 mit j 0 = j 0 (δ) eindeutig fest. Für j ≥ j 0 sind die Werte von a j
willkürlich, d.h. selbst der ungefähre Wert von σ j (a) ist unvorhersagbar.
Bemerkung: Da die Menge der periodischen Lösungen abzählbar ist, enthält M eine überabzählbare
Menge nichtperiodischer, beschränkter Lösungen.
Beweis: i) Die 1-periodischen Lösungen sind zu a = 00000 . . . und a = 11111 . . . gegeben. Die
2-periodischen Lösungen werden durch 00, 01, 10 und 11 erzeugt. Die 3-periodischen Lösungen
werden durch 000, 001, 010, 100, 110, 101, 011 und 111 erzeugt, usw.
ii) Wir betrachten den Orbit zur wie folgt konstruierten Anfangsbedingung a. Wir fügen an a
nacheinander alle erzeugenden Sequenzen periodischer Lösungen an d.h. beginnend mit j = 0
lautet
a = 0100011011000001010100110101011111000000010010 . . .
Zu einem vorgegebenem ɛ > 0 und b ∈ Σ 2 müssen wir ein n ∈ N finden, so daß d(b, σ n (a)) ≤ ɛ.
Ein Punkt c ∈ Σ 2 erfüllt d(b, c) ≤ ɛ, wenn b j = c j für j ≤ j 0 (ɛ). Für j ≥ j 0 (ɛ) kann c j beliebig
sein. Da a alle endlichen Sequenzen enthält gibt es ein n ∈ N mit (σ n (a)) j = b j für j ≤ j 0 (ɛ),
womit die Behauptung folgt.
50

iii) Sei a ∈ Σ 2 und δ > 0 gegeben. Setze dann b j = a j für j ≤ j 0 (δ) und a j0 (δ)+1 ≠ b j0 (δ)+1,
womit die Behauptung folgt.
□
Die Shiftdynamik wird zur Definition chaotischen Verhaltens wie folgt verwendet.
Definition 4.25 Ein dynamisches System x n+1 = f(x n ) mit f : R d → R d heißt chaotisch, falls
sich in diesem System Shiftdynamik findet. Genauer: Es gibt eine Teilmenge Λ ⊂ R d und einen
Homöomorphismus h : Λ → Σ 2 , so daß σ ◦ h = h ◦ f.
Bemerkung: Die Abbildungen f und σ heißen dann konjugiert.
Definition 4.26 Die Reiseroute von x ist die Folge h(x) = (s j ) n∈N = s 0 s 1 s 2 . . ., wobei s j = 0,
wenn F j µ (x) ∈ I 0 und s j = 1, wenn F j µ (x) ∈ I 1.
Theorem 4.27 Für µ > 2 + √ 5 ist h : Λ → Σ 2 ein Homöomorphismus.
Beweis: Wir zeigen zunächst, daß h bijektiv ist.
Wir nehmen an, daß es x, y ∈ Λ gibt mit h(x) = h(y). Dann liegen fµ n (x) und fµ n (y) auf der
gleichen Seite von 1/2. Da f µ auf dieser Seite monoton ist, bleiben mit den Endpunkten des
Intervals [fµ n (x), f µ n (y)] auch alle andern Punkte des Intervalls auf der gleichen Seite von 1/2
und damit in Λ, was im im Widerspruch zur totalen Unzusammenhängigkeit von Λ steht.
Um die Surjektivität zu zeigen, führen wir die folgende Bezeichnung ein. Sei J ⊂ I ein abgeschlossenes
Intervall. Weiter sei
fµ −n (J) = {x ∈ I | f µ n (x) ∈ J},
d.h. Fµ −1 (J) ist das Urbild von J. Wenn J ⊂ I ein abgeschlossens Intervall ist, so besteht das
Urbild aus zwei abgeschlossenen Intervallen, eines in I 0 und eines in I 1 . Zu s = s 0 s 1 s 2 . . .
müssen wir ein x ∈ Λ mit h(x) = s konstruieren. Dazu definieren wir
Es ist
I s0 s 1 ...s n
= {x ∈ I | x ∈ I s0 , f µ (x) ∈ I s1 , . . . , f n µ (x) ∈ I s n
}
= I s0 ∩ f −1
µ (I s 1
) ∩ . . . ∩ f −n
µ (I s n
).
I s0 s 1 ...s n
= I s0 ∩ f −1
µ (I s1 ...s n
).
Wir nehmen an, daß I s1 ...s n
ein nicht leeres abgeschlossenes Intervall ist. Nach den obigen Überlegungen
besteht fµ −1 (I s1 ...s n
) aus zwei abgeschlossenen Intervallen, je eines in I 0 und eines in
I 1 . Damit ist I s0 ∩ fµ −1(I
s 1 ...s n
) ein einziges abgeschlossenes Intervall. Diese Intervalle erfüllen
Damit folgt, daß
I s0 ...s n
= I s0 ...s n−1
∩ f −n
µ (I s n
) ⊂ I s0 ...s n−1
.
∩ n≥0 I s0 ...s n
51

nicht leer ist. Wenn x ∈ ∩ n≥0 I s0 ...s n
, dann gilt x ∈ I s0 , f µ (x) ∈ I s1 , usw. und somit h(x) =
(s 0 s 1 . . .), woraus die Surjektivität folgt.
Um die Stetigkeit von h zu zeigen, wählen wir x ∈ Λ mit h(x) = s 0 s 1 . . .. Sei ɛ > 0 und wähle
n ∈ N mit 1/2 n < ɛ. Die Menge der Intervalle I t0 ...t n
für alle möglichen Kombinationen von
t 0 . . . t n sind disjunkt und ihre Vereinigung enthält Λ. Es gibt 2 n+1 solche Intervalle und I s0 ...s n
ist eines von ihnen. Wir wählem nun δ > 0, so daß aus |x − y| < δ und y ∈ Λ die Beziehung
y ∈ I s0 ...s n
folgt. Damit gilt aber, daß h(x) und h(y) in der ersten n + 1 Stellen übereinstimmen
und somit
d(h(x), h(y)) < 1 2 < ɛ. n
Damit ist die Stetigkeit von h gezeigt. Analog folgt die Stetigkeit von h −1 .
Es bleibt die Konjugiertheit der Flüsse zu zeigen.
□
Theorem 4.28 Es gilt h ◦ f µ = σ ◦ h.
Beweis: Ein Punkt x ∈ Λ ist eindeutig durch ∩ n≥0 I s0 ...s n
festgelegt. Es ist
so daß
da f µ (I s0 ) = I. Es ergibt sich
I s0 ...s n
= I s0 ∩ f −1
µ (I s1 ) ∩ . . . ∩ f −n
µ (I sn ),
f µ (I s0 ...s n
) = I s1 ∩ f −1
µ (I s 2
) ∩ . . . ∩ f −(n−1)
µ (I sn ) = I s1 ...s n
,
h ◦ f µ (x) = h ◦ f µ (∩ ∞ n=0 I s 0 ...s n
)
= h(∩ ∞ n=1I s1 ...s n
)
= s 1 s 2 . . . = σ ◦ h(x).
Zusammenfassend haben wir gezeigt:
□
Theorem 4.29 Sei f µ (x) = µx(1 − x) mit µ > 2 + √ 5. Dann gilt:
a) Es gibt 2 n periodische Punkte der Periode n.
b) Die Menge der periodischen Punkte liegt dicht in Λ.
c) f µ besitzt einen dichten Orbit in Λ.
Bemerkung: Der Nachweis der periodischen Punkte kann auch direkt erfolgen, denn der Graph
von f n µ schneidet die Gerade y = x mindestens 2n -mal. Damit hat f n µ mindestens 2n Fixpunkte,
bzw. f µ besitzt mindestens 2 n periodische Punkte der Periode n.
Bemerkung: Die Konjugiertheit zur Shiftdynamik ist die strengste Definition von Chaos. Für
praktische Zwecke gibt es weichere Definitionen, siehe [SU03].
In zwei Raumdimensionen erfolgt der Nachweis chaotischen Verhaltens of über ein Zwischenmodell,
das Smale’sche Hufeisen, siehe Abschnitt 6.2.
52

Einschub: Periodenverdopplung und die Feigenbaumkaskade
Für µ ≤ 3 existiert nach Lemma 4.20 als einzige periodische Lösung ein stabiler Fixpunkt. Für
µ > 3 erhalten wir eine Kaskade von Periodenverdopplungen.
Übung 4.30 Untersuche f µ mittels xppaut, insbesondere für µ ∈ (3, 4). Was passiert für
µ > 4, was für 3.825 ≤ µ ≤ 3.86 ?
Lösung. Eine Möglichkeit Übung 1.4 zu bearbeiten ist die folgende: kopiere das folgende xppaut-
ODE file qf.ode
2
v m x
# m=mu ist dummy-variable, d.h. parameter
o m
o m*x*(1-x)
d
in ein Verzeichnis und starte dort xppaut, d.h. xppaut qf.ode. Dann führe in xppaut die folgenden
Schritte aus:
1) unter Viewaxes wähle m ∈ [2.5, 4.5] für x-axes und x ∈ [0.1] für y-axes.
2) unter Numerics, Method wähle discrete, sowie Total=200 und tRansient=150; hiermit
(wie mit allem anderen) kann man spielen.
3) unter Graphic stuff wähle (E)dit und dann Line type: 0.
4) unter Initialconds wähle Mice und klick im Fenster rum.
4b) unter Initialconds wähle New und dann x = 0.1 (z.B.). Anschließend wähle
Initialconds, Range und dann m ∈ [2.5, 4.5], 200 Steps. Im Graphikfenster von xppaut sollte
nun in etwa das Bild in Abb. 19 links erscheinen.
x
8
4
2
1
µ
Abbildung 19: Die Feigenbaumkaskade f µ , numerisch und schematisch.
Die numerische Simulation zeigt mit wachsendem µ eine Reihe von Periodenverdopplungen,
siehe Abb.19. Die Werte µ j , bei denen diese stattfinden, häufen sich bei µ = µ ∞ . Überraschen-
53

derweise gilt für großes j, daß
µ ∞ − µ j ∼ Cδ −j ,
wobei δ = 4.6692 . . . Feigenbaumkonstante heißt. Es zeigt sich außerdem, daß δ von der speziellen
Wahl der Familie f µ unabhängig ist, d.h. wir erhalten das gleiche δ für (z.B.) f µ =µ sin(πx).
Der Weg ins Chaos findet häufig in dieser universellen Art und Weise statt. Dies läßt sich analytisch
erklären, siehe [SU03].
Hier betrachten wir nur die ersten Periodenverdopplungen. Zunächst bemerken wir jedoch,
wann keine Bifurkation stattfindet, vgl. Abb.20.
Theorem 4.31 Kontinuierung von Fixpunkten. Sei f(x; µ) eine durch µ ∈ R parametrisierte
Familie von differenzierbaren Funktionen mit f(x 0 ; µ 0 ) = x 0 und ∂ x f(x 0 , µ 0 ) ≠ 1. Dann
existiert eine eindeutige lokale Auflösung x = x 0 (µ), d.h. es existieren Intervalle I um x 0 und
N um µ 0 und eine Funktion x 0 : N → I mit x 0 (µ 0 ) = x 0 und f(x 0 (µ), µ) = x 0 (µ), und f(·; µ)
besitzt keine anderen Fixpunkte in I.
Beweis: Übung
□
Wie wir bereits gesehen haben, wird der Fixpunkt p µ = µ − µ 1 bei µ=3 instabil. Da f ′ (p µ )=2−µ,
ist für µ = 3 die Linearisierung durch y n+1 = −y n gegeben. Mittels des Satzes über implizite
Funktionen kann durch Betrachten der Bedingung fµ(x) 2 − x = 0 nachgewiesen werden, daß
eine zweiperiodische Lösung verzweigt, bzw. bifurkiert. Für theoretische Zwecke ist es häufig
angenehmer statt f(x; µ) die Familie ˜f(x; µ) = f(x + x 0 (µ); µ) − x 0 (µ) zu betrachten, sodaß
der Fixpunkt in 0 liegt. Dabei lassen wir die ˜ im weiteren wieder weg.
Abbildung 20: Kontinuierung von Fixpunkten und Sattel–Knoten–Bifurkation.
Theorem 4.32 Sattel–Knoten–Bifurkation Es sei f(0, µ 0 ) = 0, ∂ x f(0, µ 0 ) = 1, ∂ 2 x f(0, µ 0) ≠
0 und ∂ µ f(0, µ 0 ) ≠ 0. Dann existiert eine Umgebung I von 0 und eine Funktion µ : I → R mit
µ(0) = µ 0 , f(x, µ(x)) = x, und µ ′ (0) = 0, µ ′′ (0) = −(∂ 2 x f(0, µ 0))/(∂ µ f(0, µ 0 )).
Beweis: Setze g(x, µ) = f(x, µ) − x, d.h.: g(x, µ) = 0 ⇒ f(x, µ) hat Fixpunkt x. Es gilt
∂ µ g(0, µ 0 ) = ∂ µ f(0, µ 0 ) ≠ 0, und damit existiert nach dem Satz über implizite Funktionen eine
eindeutige Auflösung µ(x) mit g(x, µ(x)) ≡ 0. Implizites Differenzieren liefert µ ′ (0) = 0 und
µ ′′ (0) = −(∂ 2 xf(0, µ 0 ))/(∂ µ f(0, µ 0 )). □
54

Theorem 4.33 Perioden–Verdopplungs–Bifurkation Angenommen f(0, µ) = 0 für alle µ
in einer Umgebung U von µ 0 , ∂ x f(0, µ 0 ) = −1, sowie ∂ µ ∂ x f 2 (0, µ 0 ) ≠ 0. Dann existiert
eine Umgebung I von 0 und eine Funktion µ : I → R mit µ(0) = µ 0 , f(x, µ(x)) ≠ x und
f 2 (x, µ(x)) = x, und
Beweis: Setze g(x, µ) = f 2 (x, µ) − x. Der Satz über implizite Funktionen ist nicht direkt
anwendbar, da ∂ µ g(0, µ) = 0. Deshalb setze
h(x, µ) =
{
g(x, µ)/x x ≠ 0
∂ x g(0, µ) x = 0 .
Dann ist h glatt, h(0, µ 0 ) = 0 und ∂ µ h(0, µ 0 ) = ∂ µ ∂ x f 2 (0, µ 0 ) ≠ 0. Also existiert eine eindeutige
Auflösung µ(x) mit h(x, µ(x)) ≡ 0, also insbesondere g(x, µ(x))/x = 0 für x ≠ 0. Also
ist x ein 2-periodischer Punkt, und x ist kein Fixpunkt nach Satz 4.31.
□
Übung: Überprüfe die Voraussetzungen von Theorem 4.33 bei µ = 3.
Als nächstes kann man die Stabilität der verzweigenden zweiperiodischen Lösung betrachten,
d.h. die Stabilität des verzweigenden Fixpunktes von fµ 2 . Diese Vogehensweise ist im Prinzip
für alle n durchführbar, liefert aber sicher keine Erklärung für die Zahl δ; siehe [SU03].
4.4 Bemerkungen zu Iterationen in der komplexen Ebene
In diesem Abschnitt betrachten wir Iterationen holomorpher Abbildungen der komplexen Ebene
C. Wir wollen erklären in welchem Zusammenhang die bekannte Mandelbrotmenge [PR86]
mit unseren bisherigen Überlegungen stehen. Als weitergehende Literatur verweisen wir auf
[Dev89, CG93, Mil99].
Im folgenden wollen wir uns auf die quadratische Abbildung
{
C → C
Q c :
z ↦→ z 2 + c
der komplexen Ebene in sich beschränken. Diese ist mittels einer linearen Transformation
h(x) = αx + β konjugiert zur bisher betrachteten Abbildung f µ (x) = µx(1 − x). Dabei ist
β = 1/2 und αµ = −1. Zwischen c < 1/4 und µ > 1 besteht die Beziehung
Die Mandelbrotmenge ist durch
c = 1 2 µ − 1 4 µ2 .
M = {c ∈ C | (z n ) n∈N bleibt beschränkt, wobei z n+1 = z 2 n + c, z 0 = 0} (11)
55

definiert. Wir wollen einige elementare Eigenschaften von M beschreiben, siehe Abb.21. 5 Das
Betrachten verschiedener (reller) Werte von c entspricht dem Betrachten von f µ für verschiedene
Werte von µ. Der Wert µ ist in der Mandelbrotmenge, wenn die Folge zum Startwert
x = 1/2 = h(0) beschränkt bleibt. Dies ist unter anderem dann der Fall, wenn ein stabiler
Fixpunkt oder allgemein eine stabile n-periodische Lösung vorhanden ist. Deshalb suchen wir
zunächst die Werte der Abbildung Q c (z) = z 2 + c, für welche ein stabiler Fixpunkt z 0 ∈ C
vorhanden ist. Die Fixpunktbedingung liefert z 2 0 − z 0 + c = 0. Die Stabilitätsbedingung liefert
|Q ′ c(z 0 )| = |2z 0 | ≤ 1. Aus letzterem schließen wir z 0 = re iφ mit φ ∈ R und r ∈ [0, 1/2]. Aus
der Fixpunktbedingung ergibt sich dann, daß für alle c aus
M 1 = {c = re iφ − r 2 e 2iφ | φ ∈ R, r ∈ [0, 1/2)}
ein stabiler Fixpunkt existiert. Die Menge M 1 ist das Innere einer Kardiode (einer Herzkurve),
deren Rand durch
c = 1 4 − 1 4 (1 − eiφ ) 2 , (φ ∈ S 1 )
gegeben ist, und stellt den Rumpf des Apfelmännchens dar.
Wandern wir entlang der reellen Achse, so erreichen wir den Randpunkt von M 1 in welchem
der Fixpunkt instabil wird und eine stabile zweiperiodische Lösung auftritt. Wir vermuten daher,
daß die folgende Kugel, der Bereich ist, indem eine stabile zweiperiodische Lösung auftritt. Die
Fixpunktbedingung ist
Q 2 c (z) − z = (z2 + c) 2 + c − z = z 4 + 2cz 2 − z + (c 2 + c)
= (z 2 − z + c)(z 2 + z + c + 1) = 0,
da der Fixpunkt gleichzeitig eine zweiperiodische Lösung ist. Die Stabilitätsbedingung liefert
|(Q 2 ) ′ (z)| = |4z 3 + 4cz| = |4z(z 2 + c + z − z + 1 − 1)|
= | − 4z(z + 1)| = 4|c + 1|,
d.h. für |c + 1| < 1/4 existiert eine stabile zweiperiodische Lösung. Entsprechend gehören die
für c ∈ R bis c ∞ = c(µ ∞ ) auftretenden Mengen zu 2 l -periodischen Lösungen. Wie wir gesehen
haben existieren weiter sogenannte periodische Fenster im chaotischen Bereich, z.B. eine 3–
periodische Lösung für µ ∈ (µ a , µ b ) mit µ a ≈ 3.83, µ b ≈ 3.84, die wieder mit Perioden–
verdopplungen instabil werden. In den entsprechenden c–Bereichen treten dann kleine Kopien
des Rumpfes auf. Dies ist (u.a.) ein Grund für die selbstähnliche Struktur der Mandelbrotmenge.
Wir wollen schließlich überlegen, zu welchen Perioden die anderen Auswüchse am Rumpf M 1
des Apfelmännchens gehören. Nach den obigen Berechnungen besitzt der Fixpunkt z 0 zu einem
c auf dem Rand die Linearisierung F ′ (z 0 ) = 2z 0 = e iφ . Das linearisierte System
y n+1 = e iφ y n
5 zum eigenen graphischen Entdecken von M sei z.B. das Programm xfractint empfohlen
56

esitzt n-periodische Lösungen y n = e inφ y 0 , wenn nφ ein Vielfaches von 2π ist, vgl. Satz 4.33.
Damit treten in den Auswüchsen von M 1 drei-, vier-, fünf- usw. periodische Lösungen auf.
Die Mandelbrotmenge besitzt eine Vielzahl erstaunlicher Eigenschaften und parametrisiert u.a. die
Menge der Julia-Menge, siehe [SU03].
Abbildung 21: Perioden und die Feigenbaumkaskade in der Mandelbrotmenge.
4.5 Periodische Lösungen
In diesem Abschnitt interessieren wir uns für die Stabilität echt periodischer Lösungen x = x(t)
mit x(t) = x(t + T ) für ein T > 0 und alle t ∈ R bei autonomen Gewöhnlichen Differentialgleichungen
ẋ = f(x).
Zunächst stellen wir fest.
Lemma 4.34 Die Linearisierung um eine periodische Lösung einer autonomen Differentialgleichung
besitzt stets den Floquetmultiplikator 1.
Beweis: Sei x = x per (t) eine periodische Lösung, d.h. es gilt ẋ per (t) = f(x per (t)). Differenzieren
wir diese Gleichung nach der Zeit, so erhalten wir für die Zeitableitung y(t) = ẋ per (t) die
57

Differentialgleichung ẏ(t) = A(t)y(t) mit A(t) = ∂f | ∂x x=x per(t). Die Floquetmultiplikatoren sind
durch die Eigenwerte des für t = T ausgewerteten linearen Evolutionsoperators S(t, 0) dieser
periodischen Gleichung gegeben. Da y(t) = ẋ per (t) diese Gleichung löst, wird y(0) durch
S(T, 0) in sich abgebildet, womit S(T, 0) den Eigenwert 1 besitzt.
□
Damit ist wie bereits erwähnt der obige Satz über die Stabilität von periodischen Lösungen hier
nicht anwendbar. Deshalb gehen wir wie folgt vor.
Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der obigen Differentialgleichung. Dazu wählen
wir eine (d − 1)-dimensionale Hyperebene H (den Poincaré-Schnitt) transversal zu dieser periodischen
Lösung in einem Punkt x 0 . Aus Stetigkeitsgründen gibt es eine ganze Umgebung
U ⊂ H um x 0 , aus der startende Lösungen die Hyperebene, aus der gleichen Richtung in der
Nähe von x 0 , erneut durchstoßen. Siehe Abbildung 22.
Der so zu x 1 ∈ U gehörende Durchstoßpunkt werden mit ˜x 1 ∈ H bezeichnet. Wir definieren
x1
x 0
∼
x 1
H
dann die sogenannte Poincaré-Abbildung
{
Abbildung 22: Konstruktion der Poincaré-Abbildung.
Π :
U → H
Π(x 1 ) = ˜x 1
.
Offensichtlich ist x 0 ein Fixpunkt der Poincaré-Abbildung, d.h. Π(x 0 ) = x 0 . Weiter reicht es eine
Poincaré-Abbildung zu betrachten, da Poincaré-Abbildungen Π j zu verschiedenen Poincaré-
Schnitten durch feste Koordinatentransformationen S in einander übergehen, genauer Π 1 =
S −1 ◦ Π 2 ◦ S. Damit gilt folglich auch Π n 1 = S −1 ◦ Π n 2 ◦ S, womit die folgende Definition Sinn
macht.
Definition 4.35 Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x), und es sei Π : U → H die dazugehörige Poincaré-Abbildung durch x 0 .
i) Die periodische Lösung heißt stabil, wenn es für alle ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass ‖Π n (x 1 ) −
x 0 ‖ ≤ ɛ für alle n ∈ N aus ‖x 1 − x 0 ‖ ≤ δ mit x 1 ∈ H folgt.
58

ii) Die periodische Lösung heißt instabil, falls dies nicht gilt.
iii) Die periodische Lösung heißt asymptotisch stabil, falls zusätzlich lim n→∞ Π n (x 1 ) = x 0 gilt.
Im folgenden unterscheiden wir nicht zwischen x ∈ H und x ∈ R d . Eine äquivalente Definition
ist wie folgt.
Definition 4.36 Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x). Dann heißt die einparametrige Familie
Γ = {x = x per (t + γ) | γ ∈ R}
i) orbital stabil, wenn es für alle ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass inf γ∈R ‖x(t, x 1 ) − x per (γ)‖ ≤ ɛ
für alle t ∈ R aus inf γ∈R ‖x 1 − x per (γ)‖ ≤ δ folgt.
ii) orbital instabil, falls dies nicht gilt.
iii) orbital stabil mit asymptotischer Phase γ 0 , falls es ein γ 0 ∈ R, mit
gibt.
lim ‖x(t, x 1) − x per (t + γ 0 )‖ = 0
t→∞
Wir betrachten zunächst zwei Beispiele.
Beispiel 4.37 Es sei x = x per (t) eine periodische Lösung beim mathematischen Pendel
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = − sin x 1 .
Wir wählen als Poincaré-Schnitt H die x 1 -Achse. Offensichtlich ist Π = I. Damit ist die periodische
Lösung im Sinne der obigen Definition stabil. Da benachbarte periodische Lösungen
aber verschiedene Umlaufzeiten besitzen, sind die periodischen Lösungen aber instabil im Sinne
von Kapitel 4.1, d.h. y = 0 ist instabil in ẏ = A(t)y + O(|y| 2 ) mit A = ∂f
∂x | x=x per(t) .
Beispiel 4.38 Wir betrachten in Polarkoordinaten das ebene System
ṙ = r − r 3 , ˙φ = 1.
Um die Stabilität der periodischen Lösung r = 1 zu untersuchen , wählen wir erneut die
x 1 -Achse als Poincaré-Schnitt H. Offensichtlich ist der Punkt x 1 attraktiv unter der Poincaré-
Abbildung Π und damit ist die periodische Lösung r = 1 asymptotisch stabil.
Es gilt wie im kontinuierlichen Fall folgender Stabilitätssatz.
Theorem 4.39 Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x) mit f ∈ C 1 (R d , R d ). Weiter sei Π : U → H die dazugehörige Poincaré-
Abbildung durch x 0 . Erfüllen die d − 1 verallgemeinerten Eigenwerte µ der Linearisierung DΠ
die Eigenschaft |µ| < 1, so ist die periodische Lösung asymptotisch stabil. Genauer, es gibt
Konstanten C ≥ 1 und κ ∈ (0, 1), so dass
‖Π n (x 1 ) − x 0 ‖ ≤ Cκ n ‖x 1 − x 0 ‖.
59

Beweis: Wir setzen x = x 0 + y ∈ H. Dann gilt y n+1 = DΠy n + g(y n ) mit g(y n ) = o(‖y n ‖).
Nach Voraussetzung gibt es ein µ 0 ∈ (0, 1) und eine Norm ‖ · ‖, so dass ‖DΠy n ‖ ≤ µ 0 ‖y n ‖.
Die Existenz dieser Norm sei aus Numerik bekannt. Weiter gibt es für alle b > 0 ein δ 1 > 0, so
dass ‖g(y)‖ ≤ b‖y‖ aus ‖y‖ ≤ δ 1 folgt. Wähle nun b so dass µ 0 + b = κ ∈ (0, 1) ist. Damit gilt
‖y n+1 ‖ ≤ µ 0 ‖y n ‖ + b‖y n ‖ ≤ κ‖y n ‖
und somit ‖y n ‖ ≤ κ n ‖y 0 ‖ → 0 für n → ∞. Da alle endlich- dimensionalen Normen äquivalent
sind, folgt die Behauptung.
□
Korollar 4.40 Unter den Voraussetzungen dieses Satzes ist die periodische Lösung orbital stabil
mit asymptotischer Phase.
Beweis: Der Beweis folgt im nächsten Kapitel als direkte Konsequenz des Zentrumsmannigfaltigkeitensatzes.
□
Wie im letzten Kapitel überträgt sich die Instabilität vom linearisierten System auf das nichtlineare
System. Analog zum dortigen Beweis folgt.
Theorem 4.41 Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x) mit f ∈ C 1 (R d , R d ). Weiter sei Π : U → H die dazugehörige Poincaré-
Abbildung durch x 0 . Gibt es einen Eigenwert µ der Linearisierung DΠ mit der Eigenschaft
|µ| > 1, so ist die periodische Lösung instabil.
Beweis: ohne Beweis
Vollständigkeitshalber bemerken wir noch, dass die d − 1 Eigenwerte der Abbildung DΠ vereinigt
mit {1} mit den d Floquetmultiplikatoren der Linearisierung ẏ = ∂f | ∂x x=x per
y zusammenfallen.
Wie oben wollen wir nun der Frage nach gehen, was passiert wenn eine periodische Lösung
instabil wird.
Beispiel 4.42 (transkritische Bifurkation von periodischen Lösungen) Wir betrachten eine eindimensionale
Poincaré-Abbildung Π µ : R → R mit Π µ (x) = µx − x 2 . Für alle µ ∈ R
besitzt diese Abbildung den Fixpunkt x = 0, welcher einer periodischen Lösung der dazugehörigen
zweidimensionalen gewöhnlichen Differentialgleichung entspricht. Die Linearisierung
DΠ µ y = µy um x = 0 besitzt den Eigenwert µ, d.h. x = 0 wird instabil für µ = 1.
Der Wert µ = −1 ist bei zweidimensionalen gewöhnlichen Differentialgleichungen wegen des
Jordanschen Kurvensatzes nicht möglich. Wir führen den Bifurkationsparameter α = µ − 1
ein und erhalten aus der Fixpunktbedingung Π µ (x) = x, dass x = (1 + α)x − x 2 und so den
zweiten Fixpunkt x = α. Es findet daher eine transkritische Bifurkation von Fixpunkten der
Poincaré-Abbildung und somit eine transkritische Bifurkation von periodischen Lösungen der
gewöhnlichen Differentialgleichungen statt.
□
60

Beispiel 4.43 (Pitchfork-Bifurkation von periodischen Lösungen) Wir betrachten eine eindimensionale
Poincaré-Abbildung Π µ : R → R mit Π µ (x) = µx − x 3 . Hier führen wir den Bifurkationsparameter
α 2 = µ − 1 ein und erhalten aus der Fixpunktbedingung Π µ (x) = x, dass
x = (1 + α 2 )x − x 3 und so zwei weitere Fixpunkte x 2,3 = ±α. Es findet daher eine Pitchfork-
Bifurkation von Fixpunkten der Poincaré-Abbildung und somit eine Pitchfork-Bifurkation von
periodischen Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichungen statt.
Neben der Sattel-Knoten-Bifurkation von Fixpunkten können bei eindimensionalen Abbildungen
auch noch 2-periodische Lösungen verzweigen.
Beispiel 4.44 (Periodenverdopplung) Wir betrachten erneut die eindimensionale Abbildung
Π µ (x) = µx − x 2 , aber nun mit µ in der Nähe von −1. Wird der Fixpunkt x = 0 für µ = −1
instabil, so liefert die Fixpunktbedingung x = −x − x 2 . Offensichtlich besitzt diese Gleichung
für kleines |µ + 1| in der Nähe von x = 0 keinen weiteren Fixpunkt. Da die Linearisierung
DΠy = −y für µ = −1 sogenannte 2-periodische Lösungen, d.h. (DΠ) 2 x = x, besitzt, untersuchen
wir
Π 2 µ(x) = µ(µx − x 2 ) − (µx − x 2 ) 2 .
Wir führen den Bifurkationsparameter µ = −(1 + α) ein und erhalten
Π 2 −(1+α) (x) = x(1 + 2α + αx − 2x2 + O(|x|(|α 2 | + |αx 2 | + |x 3 |)) = x
Die Fixpunktbedingung kann durch x durchdvidiert werden und auf beiden Seiten kann die 1
gekürzt werden. Mit den Skalierungen α = β 2 und x = βy liefert dies die Fixpunktbedingung
β −3 (Π 2 −1+β 2(βy) − βy) = 2y − 2y3 + O(|β|)
und so erhalten wir mit dem Satz über implizite Funktionen zwei nichttriviale Lösungen y 2,3 =
±1 + O(β). Damit verzweigen zwei nichttriviale Fixpunkte x 2,3 (1 + β 2 ) = ±β + O(β 2 ) für Π 2 µ
aus der trivialen Lösung x = 0. Dem entspricht eine zweiperiodische Lösung der Abbildung
Π. Bei einer Gewöhnlichen Differentialgleichung entsprcht diese Bifurkation einer Periodenverdopplung
einer periodischen Lösung. Siehe Abbildung 23.
Beispiel 4.45 Die Differentialgleichung von Rössler
⎛ ⎞ ⎛
⎞
x −(y + z)
d
⎜
dt ⎝ y ⎟
⎠ = ⎜
⎝ x + 1y
⎟
5 ⎠ .
1
z + z(x − a) 5
ist ein Beispiel für ein System, wo sukzessive Periodenverdopplungen letztendlich zu chaotischem
Verhalten führen. Dabei ist a ein reller Parameter. Ausgehend von einem attraktiven
periodischen Orbit für a = 2.2 finden durch Erhöhung von a Periodenverdopplungen statt, bis
bei a > 4.3 bereits ein strange attractor vorliegt.
61

T-periodisch
20
10
0
2 T-periodisch
-5
0
5
-5
10 -10
0
5
Abbildung 23: Periodenverdopplung einer periodischen Lösung und der Rössler Attraktor.
Der Attraktor kann in MAPLE mittels folgender Befehle gezeichnet werden.
restart:with(plots):
sys:=diff(x(t),t)+y(t)+z(t),diff(y(t),t)-x(t)-0.17*y(t),
diff(z(t),t)-0.4-x(t)*z(t)+8.5*z(t),x(0.)=1.0,y(0.)=0.,z(0.)=0.;
fcn:=x(t),y(t),z(t);
sol:=dsolve(sys,fcn,type=numeric,method=rkf45);
odeplot(sol, [y(t),x(t),z(t)],0..200,numpoints=6000, axes=boxed, color=red);
Beispiel 4.46 (Bifurkation quasiperiodischer Lösungen, invariante Tori) Der Einfachheit halber
betrachten wir hier lineare zweidimensionale Abbildungen Π : R 2 → R 2 . Instabilitäten
des Fixpunktes x = 0 im Falle, dass ein reeller Eigenwert den Einheitskreis überquert, haben
wir oben behandelt. Wir interessieren uns nun für den Fall, dass ein Paar konjugiert komplexer
Eigenwerte e ±2πiν den Einheitskreis überquert. Wir unterscheiden zwei Fälle i) ν ∈ Q und ii)
ν ∈ R/Q. Im Fall ν = p/q ∈ Q, ggT(p, q) = 1, erhalten wir eine q-periodische Lösung.
Ist ν ∈ R/Q, so liegt der Orbit oder die Trajektorie der Lösung dicht auf dem Einheitskreis.
In der Gewöhnlichen Differentialgleichung entspricht dieser Verzweigung eine Verzweigung
quasiperiodischer Lösungen. Eine Funktion x(t) heißt quasiperiodisch, falls es eine Funktion
g : T n → R, mit T n der n-dimensionale Torus, gibt, so dass x(t) = g(ω 1 t, ω 2 t, . . . , ω n t) mit
ω i /ω j ∉ Q für mindestens ein Paar i ≠ j.
Die tatsächliche Verzweigung solcher Lösungen ist eine höchst delikate Angelegenheit. Siehe
auch KAM Tori und Arnold-Zungen.
Früher hat man angenommen, dass Turbulenz bzw. chaotisches Verhalten durch fortgesetzte
Bifurkationen dieser Art zustande kommen (Landau-Sequenz). Diese Theorie wurde durch die
Arbeit [RT71] wiederlegt, welche zeigt, dass schon die nächste Verzweigung zu chaotischem
Verhalten führen kann.
62

5 Dynamik in der Nähe eines Fixpunktes
In diesem Kapitel wollen wir Methoden bereit stellen, die es erlauben die Dynamik in der
Nähe eines Fixpunktes oder einer periodischen Lösung, d.h. in der Nähe eines Fixpunktes der
Poincaré-Abbildung zu klassifizieren, insbesondere wollen wir das Verzweigungsverhalten bei
Eintreten von Instabilität auch in höheren Raumdimensionen untersuchen.
5.1 Der Satz von Hartman-Grobman
Der Satz von Hartman-Grobman macht eine Aussage über die Dynamik in der Nähe von hyperbolischen
Punkten (,d.h. keine Eigenwerte auf der imaginären Achse) in höheren Raumdimensionen.
Wie im zweidimensionalen Fall sehen in einer Umgebung des Fixpunktes das
Phasenbild des nichtlinearen Systems und des linearen Systems qualitativ gleich aus.
Theorem 5.1 Sei x 0 ein Fixpunkt der autonomen Differentialgleichung ẋ = f(x) mit f ∈
C 1 (R d , R d ). Den dazugehörigen nichtlinearen Lösungsoperator (den Fluß) bezeichnen wir mit
Φ(t, ·). Besitzt A = ∂f | ∂x x=x 0
keine rein imaginären Eigenwerte, dann gibt es einen in einer
Umgebung U von x 0 definierten Homöomorphismus h, welcher die Lösungskurven (die Orbits,
die Trajektorien) des nichtlinearen Flußes Φ(t, ·) in die des linearen Flußes e At überführt, d.h.
die Flüße sind konjugiert h ◦ Φ(t, ·) = e At ◦ h(·).
Beweis: Der Beweis geht analog zum diskreten Fall. Siehe unten.
Dies bedeutet, dass ẋ = f(x), x| t=0 = x 0 wie folgt gelöst werden kann. Wir lösen ẏ = Ay mit
der Anfangsbedingung y 0 = h(x 0 ) und erhalten y(t, y 0 ) = e At y 0 als Lösung. Die Lösung der
ursprünglichen Gleichung ist dann durch x(t, x 0 ) = h −1 (y(t, h(x 0 )) gegeben.
Bemerkung 5.2 Wir sehen später bei der Untersuchung von sogenannten Normalformen, dass
die Differenzierbarkeit von h nur unter zusätzlichen Nichtresonanzbedingungen an die Eigenwerte
gefolgert werden kann.
Beispiel 5.3 Wir vergleichen die Lösungen des nichtlinearen Systems
mit denen des linearisierten Systems
ẋ 1 = x 1 + O(x 2 1 + x2 2 ), ẋ 2 = −x 2 + O(x 2 1 + x2 2 )
ẏ 1 = y 1 , ẏ 2 = −y 2 .
Wir definieren h dann so, dass wir einander entsprechende Orbits und damit auch die daraufliegenden
Punkte zuordnen.
Beispiel 5.4 Wir vergleichen die Lösungen des nichtlinearen Systems ẋ = −x 3 mit denen des
linearisierten Systems ẏ = 0. Offensichtlich sind die Flüße nicht zueinander konjugiert. Wären
beide Füsse miteinander konjugiert, so könnte man ẋ = −x 3 , x| t=0 = x 0 dadurch lösen, dass
63
□

wir ẏ = 0 mit der Anfangsedingung y 0 = h(x 0 ) lösen. Die Lösung der letzten Gleichung ist
durch y(t, y 0 ) = y 0 gegeben. Eine Rücktransformation ergibt dann
was offensichtlich falsch ist.
x(t, x 0 ) = h −1 y(t, y 0 ) = h −1 (y 0 ) = x 0 ,
Der Satz von Hartman-Grobman gilt auch im diskreten Fall, d.h. bei der zu periodischen Lösungen
gehörenden Poincaré-Abbildung. Er lautet:
Theorem 5.5 Sei x 0 ein Fixpunkt der Abbildung Π ∈ C 1 (U, R d ). Besitzt L = DΠ| x=x0 keine
Eigenwerte auf dem Einheitskreis und ist L invertierbar, dann gibt es einen in einer Umgebung
U von x 0 definierten Homöomorphismus h, welcher die Lösungskurven (die Orbits, die Trajektorien)
des nichtlinearen Flußes Π n (·) in die des linearen Flußes L n· überführt, d.h. die Flüße
sind konjugiert h ◦ Π(·) = DΠ ◦ h.
Beweis: Es sei x 0 = 0. Dann ist Π(x) = Lx + f(x) mit f(x) = o(x). Da uns Π nur in der
Nähe von x = 0 interessiert, können wir daher sup x∈R ‖Df(x)‖ ≤ µ 0 mit µ 0 = o(1) für x → 0
voraussetzen.
Die Linearisierung L zerfällt in einen stabilen Teil L s zu den Eigenwerten innerhalb des Einheitskreises
und in einen instabilen Teil L u zu den Eigenwerten außerhalb des Einheitskreises.
Wegen der Hyperbolizitätsvoraussetzung an L können wir die Norm in R d so wählen, dass
‖L s ‖ ≤ a und ‖L −1
u ‖ ≤ a, mit a < 1.
Den Homöomorphismus h schreiben wir in der Form h(x) = x + g(x), bzw. h = I + g. Damit
ergeben sich die Gleichungen
g = L ◦ g ◦ (L + f) −1 + L ◦ (L + f) −1 − I
g = L −1 ◦ g ◦ (L + f) + L −1 ◦ (L + f) − I
Daraus konstruieren wir eine Abbildung T (g, f) = T s (g, f) + T u (g, f) durch
T s (g, f) = L s ◦ g ◦ (L + f) −1 + L s ◦ (L + f) −1 − I s
T u (g, f) = L −1
u
◦ g ◦ (L + f) + L−1 u ◦ (L + f) − I u
Der Ausdruck (L + f) −1 existiert, da f ∈ C 1 b mit ‖Df‖ C 0 = sup x∈R ‖(Df)(x)‖ ≤ µ 0 mit µ 0
hinreichend klein ist. Denn Lx+f(x) = y läßt sich über die Iteration x n+1 = L −1 y−L −1 f(x n )
lösen. Die Matrix L −1 existiert nach Voraussetzung. Da die rechte Seite, für µ 0 hinreichend
klein, eine Lipschitzkonstante kleiner als 1 hat, ist die Iteration eine Kontraktion und besitzt
somit einen Fixpunkt x = x(y, f) = L −1 y + O(‖Df‖ C 0
b
). Es gibt daher ein k > 0, so dass
‖L ◦ (L + f) −1 − I‖ C 0
b
≤ k‖Df‖ C 0
b
und ‖L −1 ◦ (L + f) − I‖ C 0
b
≤ k‖Df‖ C 0
b
.
Die Funktion T (g, f) erfüllt daher
‖T (g, f)‖ C 0
b
≤ a‖g‖ C 0
b
+ k‖Df‖ C 0
b
64

und
Damit ist T (·, f) : Cb 0 → Cb 0
g = g(f).
‖T (g 1 , f) − T (g 2 , f)‖ C 0
b
≤ a‖g 1 − g 2 ‖ C 0
b
.
eine Kontraktion und es existiert ein eindeutiger Fixpunkt
Um zu zeigen, dass h ein Homöomorphismus ist, wiederholen wir dieses Argument für ˜h
aus Π ◦ ˜h(·) = ˜h ◦ DΠ·. Nach Konstruktion ergibt sich dann h ◦ ˜h = I, womit h ein ein
Homöomorphismus ist.
□
5.2 Stabile, Instabile Mannigfaltigkeiten
Wieder sei x 0 ∈ R d ein Fixpunkt der autonomen Differentialgleichung ẋ = f(x) mit f ∈
C m (R d , R d ). Für das linearisierte System ẏ = Ay = ∂f | ∂x x=x 0
y definierten wir mit dem stabilen,
dem instabilen und dem zentralen Unterraum E s , E u und E c unter e At invariante Unterräume.
Dieser über die verallgemeinerten Eigenräume definierten Räume bleiben im nichtlineren Fall
als invariante Mannigfaltigkeiten erhalten. Die stabile und instabile Mannigfaltigkeit eines Fixpunktes
sind für das globale Verhalten von Gewöhnlichen Differentialgleichungen sehr wichtig,
da sie die verbindenden Orbits von Fixpunkten enthalten. Der Einfachheit halber betrachten wir
zunächst nur Differentialgleichungen mit der Eigenschaft, dass A = Df| x=x0 keine Eigenwerte
auf der imaginären Achse besitzt.
Definition 5.6 Wir definieren die lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeit W s,loc und W u,loc
eines Fixpunktes x 0 durch
und
W s,loc = {¯x ∈ U | Es gibt C, β > 0, so dass ‖x(t, ¯x)‖ ≤ Ce −βt für t ≥ 0}
W u,loc = {¯x ∈ U | Es gibt C, β > 0, so dass ‖x(t, ¯x)‖ ≤ Ce −β|t| für t ≤ 0}
wobei U ⊂ R d eine Umgebung von x 0 ist.
Beispiel 5.7 Für lineare autonome Differentialgleichungen ẋ = Ax ist die lokale stabile Mannigfaltigkeit
W s,loc durch den stabilen Unterraum E s gegeben und die lokale instabile Mannigfaltigkeit
W u,loc durch den instabilen Unterraum E u gegeben.
Der folgende Satz zeigt, dass für nichtlineare Systeme E s und W s,loc und entsprechend die
instabilen Räume zueinander tangential sind.
Theorem 5.8 Es existieren lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeiten W s,loc und W u,loc mit
der Dimension der entsprechenden stabilen und instabilen Unteräume E s und E u . Die Mannigfaltigkeiten
sind tangential an die Unterräume und sind so oft differenzierbar wie f.
Beweis: Der Beweis geht analog zum später folgenden Existenzsatz für Zentrumsmannigfaltigkeiten.
Er folgt durch ein Fixpunktargument in einem zeitlich exponentiell gewichteten Raum.
□
65

Bemerkung 5.9 Entsprechend kann für diskrete dynamische Systeme x n+1 = Π(x n ) durch
und
W s,loc = {¯x ∈ U | Es gibt C ≥ 1, β ∈ (0, 1), so dass ‖Π n (¯x)‖ ≤ Cβ n für n ≥ 0}
W u,loc = {¯x ∈ U | Es gibt C ≥ 1, β ∈ (0, 1), so dass ‖Π n (¯x)‖ ≤ Cβ |n| für n ≤ 0}
eine lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeit definiert werden.
Die oben definierten Mannigfaltigkeiten können (hier im kontinuierlichen Fall) durch
W s = ⋃ ⋃
x(t, W s,loc ) = {x(t, ¯x)}
t≤0 t≤0,¯x∈W s,loc
und
W u = ⋃ t≥0
x(t, W u,loc ) =
⋃
t≥0,¯x∈W u,loc
{x(t, ¯x)}
global fortgesetzt werden. Wegen der lokalen Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen können
sich die stabilen Mannigfaltigkeiten zu verschiedenen Fixpunkten nicht schneiden. Entsprechendes
gilt für die instabilen Mannigfaltigkeiten. Der Schnitt stabiler und instabiler Mannigfaltigkeiten
ist möglich und kann die Ursache chaotischer Dynamik sein.
Wir betrachten nun verschiedene Beispiele.
Beispiel 5.10 Wir betrachten erneut das mathematische Pendel
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −αx 2 − sin(x 1 ).
Wir betrachten zunächst den Fall α = 0. Die eindimensionale instabile Mannigfaltigkeit von
(−π, 0) schneidet die eindimensionale stabile Mannigfaltigkeit von (π, 0). Sie sind identisch.
Für α ≠ 0 liegt kein Schnitt vor. Im allgemeinen schneiden sich zwei eindimensionale Mannigfaltigkeiten
im R 2 nicht. Um zu einem Schnitt zu gelangen, benötigen wir einen freien Parameter,
hier α.
Beispiel 5.11 Wir betrachten die Differentialgleichung
ẋ = x, ẏ = −y + x 2 ,
welche den einzigen Fixpunkt (0, 0) besitzt. Für das linearisierte System
erhalten wir die invarianten Unterräume
ẋ = x, ẏ = −y
E s = {(x, y) ∈ R 2 | x = 0} und E u = {(x, y) ∈ R 2 | y = 0}.
66

Offensichtlich ist W s = E s . Für die Berechnung von W u gehen wir wie folgt vor. Mit dy = dy dt
dx dt dx
ergibt sich für die Lösungskurven y = y(x) die Differentialgleichung
Die Lösungen sind durch
dy
dx = −y
x + x
y(x) = x2
3 + c x
gegeben. Die instabile Mannigfaltigkeit kann durch einen Graphen y = h(x) dargestellt werden.
Nach obigen Satz muß dieser h(0) = h ′ (0) = 0 erfüllen. Damit ergibt sich c = 0 und
W u = {(x, y) ∈ R 2 | y = x 2 /3}.
Beispiel 5.12 Wir betrachten die zweidimensionale Abbildung
( ) ( ) ( )
x 1 1 x
Π =
y 1 2 y
auf dem Torus T 2 = R 2 /Z 2 . Der Punkt (0, 0) ist ein Fixpunkt. Das lineare System besitzt
die Eigenvektoren (1, (1 ± √ 5)/2) T mit den dazugehörigen Eigenwerten (3 ± √ 5)/2. Es ist
W s = E s = span{(1, (1 − √ 5)/2) T } und W u = E u = span{(1, (1 + √ 5)/2) T }. Diese
Mannigfaltigkeiten können fortgesetzt werden. Da die Steigungen irrational sind, liegen die
stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten dicht im Torus. Sie schneiden sich transversal. Hier
liegt chaotisches Verhalten vor.
Beispiel 5.13 Als letztes Beispiel betrachten wir die dreidimensionale Differentialgleichung
ẋ = x − y − x(x 2 + y 2 )
ẏ = x + y − y(x 2 + y 2 )
ż = z
Wie oben führen wir in der (x, y)- Ebene Polarkoordinaten x = r cos φ und y = r sin φ ein.
Es ergibt sich ṙ = r − r 3 und ˙φ = 1. Zu der periodischen Lösung r = 1 wählen wir den
Poincaré-Schnitt H = {(x, y, z) ∈ R 3 | x = 0}. Die dazugehörige zweidimensionale Poincaré-
Abbildung Π : U → H besitzt den Fixpunkt (y, z) = (1, 0). Die zu diesem Fixpunkt gehörige
instabile Mannigfaltigkeit ist durch W u = {(y, z) ∈ R 2 | y = 1} und die dazugehörige stabile
Mannigfaltigkeit durch W s = {(y, z) ∈ R 2 | z = 0} gegeben.
Sei x = x(t) eine Lösung, welche in der instabilen Mannigfaltigkeit eines Fixpunktes und in der
stabilen Mannigfaltigkeit einer periodischen Lösung liegt, so heißt x = x(t) eine heterokline
Verbindung des Fixpunktes und der periodischen Lösung.
Wie wir bereits gesehen haben, können sich in diskreten Systemen die stabile und die instabilen
Mannigfaltigkeit eines Fixpunktes transversal schneiden. Als Konsequenz der Invarianz dieser
Mannigfaltigkeiten müssen sich diese dann unendlich oft schneiden. Die Schnitte häufen sich
beim Fixpunkt. Hier liegt ebenfalls chaotisches Verhalten vor. Siehe Kapitel 6.2.
67

5.3 Die Zentrumsmannigfaltigkeit und Normalformen
Die Zentrumsmannigfaltigkeit erlaubt es, die in Kapitel 4 vorgestellten Bifurkationen auch in
höheren Raumdimensionen wiederzufinden. Wird ein Fixpunkt instabil, so findet in einer Umgebung
des Fixpunktes die gesamte interessante Dynamik auf der exponentiell attraktiven Zentrumsmannigfaltigkeit
statt. Sogenannte Normalformtransformation vereinfachen die Untersuchung
der gefundenen reduzierten Systeme und erlauben eine Klassifizierung aller möglichen
Bifurkationen. Es gilt
Theorem 5.14 Sei f ∈ C r (R d , R d ) mit f(0) = 0. Wir zerteilen das Spektrum (die Menge der
Eigenwerte) von A = Df| x=0 in einen stabilen, einen instabilen und einen zentralen Teil
σ s = {λ ∈ σ | Reλ < 0},
σ c = {λ ∈ σ | Reλ = 0},
σ u = {λ ∈ σ | Reλ > 0}.
Es seien E s , E u und E c die Unterräume zu σ s , σ u und σ c . Dann existieren r mal stetig differenzierbare
Mannigfaltigkeiten W s und W u tangential an E s und E u und eine r − 1 mal stetig
differenzierbare Mannigfaltigkeit W c tangential an E c . Die Mannigfaltigkeiten W s , W u und
W c sind alle invariant unter dem Fluß. Die stabile und instabile Mannigfaltigkeit sind eindeutig.
Die zentrale Mannigfaltigkeit W c ist im allgemeinen nicht eindeutig. Ist f ∈ C ∞ , so ist
W s , W u ∈ C ∞ . Die Zentrumsmannigfaltigkeit W c kann in C r für alle r < ∞ gewählt werden.
Je größer r gewählt wird, umso kleiner wird W c .
Bevor wir diesen Satz beweisen, wollen wir den Inhalt und seine Anwendung anhand von Beispielen
erläutern.
Beispiel 5.15 [Kel67] Betrachte
ẋ = x 2 , ẏ = −y.
Wir erhalten die Lösungen x(t) = x 0
1−tx 0
und y(t) = y 0 e −t . Elimination der Zeit t ergibt y(x) =
(y 0 e −1/x 0
)e 1/x . Für x < 0 kommt jede Lösung flach in den Ursprung, d.h. lim x→0,x 0 ist y = 0 die einzige Lösung, welche in den Ursprung konvergiert. Damit erhalten
wir beliebig viele C ∞ - Zentrumsmannigfaltigkeiten durch aneinanderkleben der Stücke rechts
und links, womit wir ein Beispiel für die Nichteindeutigkeit der Zentrumsmannigfaltigkeit gefunden
haben. Die einzige analytische (d.h. konvergente Potenzreihe) Zentrumsmannigfaltigkeit
ist die x- Achse.
Beispiel 5.16 Wir betrachten
ẋ = µx − x 3 , ẏ = −y
mit µ in der Nähe von Null. Für µ < 0 ist (x, y) = (0, 0) stabil. Für µ = 0 ist W c = {y = 0}.
Durch betrachten von
ẋ = µx − x 3 , ẏ = −y, ˙µ = 0
68

erhalten wir W c = {(µ, x, y) ∈ R 3 | y = 0}. Damit können Bifurkationsprobleme durch
Einführen der Gleichung ˙µ = 0 durch den Zentrumsmannigfaltigkeitensatz behandelt werden.
Da ˙µ = 0 erhalten bleibt, kann ˙µ = 0 anschließend wieder gestrichen werden. So kann das
vorliegende zweidimensionale Bifurkationsproblem durch den Zentrumsmannigfaltigkeitensatz
auf ein eindimensionales Problem in der attraktiven invarianten Zentrumsmannigfaltigkeit reduziert
werden. Diese Reduktion war hier natürlich trivial.
Beispiel 5.17 Wir betrachten
ẋ = µx + x 3 − xy, ẏ = −y + 2x 2
mit µ in der Nähe von Null. Wir ergänzen das System durch ˙µ = 0. Das linearisierte System ist
durch ẋ = 0, ẏ = −y, ˙µ = 0 gegeben und so ist offensichtlich E c = {y = 0}. Wir machen
daher den Ansatz
y = h(x) = ax 2 + bµx + cµ 2 + O(|µ| 3 + |x| 3 )
Es ergibt sich
und da
folgt durch Koeffizientenvergleich
2axẋ + µẋ + . . . = −(ax 2 + bµx + cµ 2 + . . .) + 2x 2
ẋ = µx + x 3 − ax 3 + . . .
x 2 : 0 = −a + 2, xµ : 0 = −b, µ 2 : 0 = −c, . . .
Allgemein ergibt sich, dass in h keine Potenzen von µ n ohne x auftauchen können. Damit ergibt
sich näherungsweise auf der Zentrumsmannigfaltigkeit
die Gleichung
W c = {y = 2x 2 + O(|µ|x 2 + |x| 3 )}
ẋ = µx + x 3 − x(2x 2 ) + O(µ 2 x 2 + x 4 ) = µx − x 3 + O(µ 2 x 2 + x 4 )
d.h. der Fixpunkt (x, y) = (0, 0) ist für µ ≤ 0 stabil, da wie wir später zeigen werden, die
Stabilität auf der Zentrumsmannigfaltigkeit die Stabilität impliziert. Bei µ = 0 findet eine superkritische
Pitchforkbifurkation statt.
Beispiel 5.18 Um zu demonstrieren, woher die Nichtglattheit der Zentrumsmannigfaltigkeit
stammt, betrachten wir das System
ẋ = −µx, ẏ = −y, ˙µ = 0
mit 0 > −µ > 1. Die Lösungskurven erfüllen dy
dx = µ y x und sind durch y(x) = C|x|1/µ gegeben.
Ist r < 1/µ < r + 1 mit r ∈ N, so sind die Lösungskurven in C r , aber nicht in C r+1 . Jede
solche Kurve ist eine Zentrumsmannigfaltigkeit, da sie tangential an y = 0 ist.
69

Beweis des Zentrumsmannigfaltigkeitensatzes:
Wir kommen nun zum Beweis des Zentrumsmannigfaltigkeitensatzes 5.14. Wir beschränken
uns auf die Existenz und verweisen auf [Van89] für den Beweis der Differenzierbarkeitseigenschaften.
Wir betrachten
ẋ = Ax + ˜f(x) (12)
mit x ∈ R d , ˜f ∈ C k (R d , R d ) für ein k ≥ 1 und ˜f(0) = 0, D ˜f(0) = 0. Zunächst betrachten wir
das lineare System
ẋ = Ax (13)
mit der Lösung x(t) = e At x 0 . Das Spektrum σ(A) von A, d.h. die Gesamtheit der Eigenwerte
zerfällt in einen stabilen, einen instabilen und einen zentralen Teil σ s , σ u und σ c . Es sei E s der
zu σ s gehörende Unterraum von R d , entsprechend E c und E u , d.h.
Entsprechend definieren wir Projektionen
R d = E s ⊕ E c ⊕ E u .
π s : R d → E s , π c : R d → E c , π u : R d → E u
mit kern(π s ) = E c ⊕ E u , kern(π c ) = E s ⊕ E u und kern(π u ) = E s ⊕ E c . Wir definieren weiter
π h = π s + π u und E h = E s ⊕ E u .
Die wesentliche Idee beruht darin, die invarianten Mannigfaltigkeiten über die exponentiellen
Wachstumsraten der Lösungen zu charakterisieren. Wir definieren
Es gilt dann
β + = min{Reλ | λ ∈ σ u } > 0
β − = max{Reλ | λ ∈ σ s } < 0
β = min{β + , −β − }.
Lemma 5.19 Für jedes ɛ > 0 gibt es ein M(ɛ) > 0, so dass
‖e At π c ‖ ≤ M(ɛ)e |ɛ|t , ∀ t ∈ R,
‖e At π u ‖ ≤ M(ɛ)e (β +−ɛ)t , ∀ t ≤ 0,
‖e At π s ‖ ≤ M(ɛ)e (β −+ɛ)t , ∀ t ≥ 0.
Beweis: Der Beweis folgt unmittelbar aus der Darstellungsformel von e At .
Als nächstes schneiden wir die Funktion ˜f außerhalb einer Umgebung um x = 0 ab. Dazu sei
χ ∈ C ∞ (R d , R) mit den Eigenschaften (i) 0 ≤ χ(x) ≤ 1 für alle x ∈ R d , (ii) χ(x) = 1,
wenn ‖x‖ ≤ 1 und (iii) χ(x) = 0, wenn ‖x‖ ≥ 2, gewählt. Dann definieren wir ˜f ρ (x) =
˜f(x)χ(ρ −1 x). Da ˜f ρ (x) = ˜f(x) für x ∈ B ρ = {x ∈ R d | ‖x‖ ≤ ρ} sind die Flüße von
ẋ = Ax + ˜f ρ (x) und von (12) für alle x ∈ B ρ gleich. Offensichtlich gilt (ohne Beweis)
70
□

Lemma 5.20 Es sei ˜f ∈ C k für ein k ≥ 1 und ˜f ρ wie oben definiert. Dann ist ˜f ρ ∈ C k und es
gilt lim ρ→0 sup x∈R d ‖D ˜f ρ (x)‖ = 0.
Da wir nur in der Dynamik in der Nähe von x = 0 interessiert sind, betrachten wir im weiteren
ẋ = Ax + g(x) (14)
mit g ∈ C k (R d , R d ) für ein k ≥ 1 und g(0) = 0, D˜g(0) = 0 und sup x∈R d ‖Dg(x)‖ hinreichend
klein. Der Existenzsatz für die Zentrumsmannigfaltigkeit lautet.
Theorem 5.21 Sei η ∈ (0, β). Dann gibt es ein δ 0 > 0 such dass für g mit sup x∈R d ‖Dg(x)‖ ≤
δ 0 das folgende gilt.
(i) Die Menge
M c = {x 0 ∈ R d | sup e −η|t| ‖x(t, x 0 )‖ < ∞}
t∈R
ist invariant unter (14) und eine C 0 - Mannigfaltigkeit des R d . Genauer, es gibt ein ψ ∈ C 0 (E c , E h )
so dass
M c = {x c + ψ(x c ) | x x ∈ E c }.
ii) Diese Mannigfaltigkeit ist eindeutig.
Bemerkung 5.22 Dies ist kein Widerspruch zur Nichteindeutigkeit von oben, da die eindeutig
ausgewählte Mannigfaltigeit von der Abschneidefunktion abhängig ist.
Beweis: Die Invarianz von M c folgt unmittelbar aus der Definition, denn es ist x(τ, x 0 ) ∈ M c ,
wenn x 0 ∈ M c , da
sup
t∈R
e −η|t| ‖x(t, x(τ, x 0 ))‖ ≤ e η|τ| sup e −η|t+τ| ‖x(t + τ, x 0 ))‖ < ∞.
t∈R
Zum Existenznachweis verwenden wir die Variation der Konstantenformel
x(t) = e A(t−t 0) x(t 0 ) +
∫ t
t 0
e A(t−τ) g(x(τ))dτ.
Wir wenden nun nacheinander die Projektionen π j für j = c, s, u auf diese Gleichung an.
Für den zentralen Teil wählen wir t 0 = 0 und so
π c x(t) = e At x c +
∫ t
0
e A(t−τ) π c g(x(τ))dτ
für x c ∈ E c . Für den stabilen Teil betrachten wir t 0 → −∞. Für Lösungen x ∈ M c ergibt sich
π s x(t) =
∫ t
−∞
e A(t−τ) π s g(x(τ))dτ.
Für den instabilen Teil betrachten wir t 0 → ∞. Für Lösungen x ∈ M c ergibt sich
π u x(t) = −
∫ ∞
t
e A(t−τ) π u g(x(τ))dτ.
71

Aus den so erhaltenen Bedingungen erhalten wir für x ∈ M c die Fixpunktbedingung
x = Sx c + KG(x) (15)
mit
der Auswertungsabbildung
und der linearen Abbildung
(Sx c )(t) = e At x c ,
G(x)(t) = g(x(t))
(Ky)(t) =
∫ t
0
e A(t−τ) π c y(τ))dτ +
∫ t
−∞
Als geeigneter metrischer Raum erweist sich
e A(t−τ) π s y(τ))dτ −
∫ ∞
Y η = {x ∈ C 0 (R, R d ) | ‖y‖ η = sup e −η|t| ‖y(t)‖ < ∞}.
t∈R
t
e A(t−τ) π u y(τ))dτ.
Lemma 5.23 S ist ein beschränkter linearer Operator von E c nach Y η für jedes η > 0.
Beweis: Nach Lemma 5.19 gibt es ein M(ɛ) > 0, so dass
‖e At x c ‖ ≤ M(ɛ)e ɛ|t| ‖x c ‖
für x c ∈ E c und so
Wir setzen
‖Sx c ‖ Yη
≤ M(ɛ)‖x c ‖.
C n b (Rd , R d ) = {x ∈ C n (R d , R d ) | ‖u‖ C n
b
= sup
x∈R d
n∑
j=0
‖∂x j u(x)‖ < ∞}.
□
Lemma 5.24 Für g ∈ C 0 b (Rd , R d ) bildet G den Raum Y η in sich ab. Ist g ∈ C 1 b (Rd , R d ) dann
gilt für jedes η > 0
‖G(y 1 ) − G(y 2 )‖ Yη ≤ ‖Dg‖ C 0
b
‖y 1 − y 2 ‖ Yη
für y 1 , y 2 ∈ Y η .
Beweis: Die erste Aussage ist offensichtlich, da g beschränkt ist. Weiter ist nach dem Mittelwertsatz
‖G(y 1 ) − G(y 2 )‖ Yη ≤ sup e −η|t| ‖g(y 1 (t)) − g(y 2 (t))‖
t∈R
≤
sup e −η|t| ‖Dg‖ C 0
b
‖y 1 (t) − y 2 (t)‖ ≤ ‖Dg‖ C 0
b
‖y 1 − y 2 ‖ Yη
t∈R
für y 1 , y 2 ∈ Y η .
□
72

Lemma 5.25 Für jedes η ∈ (0, β) ist die Abbildung K ein beschränkter linearer Operator von
Y η nach Y η , d.h. es gibt eine Funktion γ : (0, β) → R, so dass
‖K‖ Yη→Y η
≤ γ(η).
Beweis: Zunächst schreiben wir die letzten beiden Terme in der Definition von K als ∫ ∞
∞ B(t−
τ)y(τ)dτ. Sei weiter η ∈ (0, β) und y ∈ Y η . Dann folgt
∫ t
e −η|t| ‖(Ky)(t)‖ ≤ ‖y‖ η sup e −η|t| [|
t∈R
≤
≤
‖y‖ η sup[|
t∈R
‖y‖ η [max(
∫ t
0
∫ ∞
0
0
‖e A(t−τ) π c ‖e η|τ| dτ| +
‖e A(t−τ) π c ‖e −η|t−τ| dτ| +
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ 0
‖e Aτ π c ‖e −ητ dτ, ‖e Aτ π c ‖e ητ dτ) +
−∞
≤ ‖y‖ η M(ɛ)[(η − ɛ) −1 + 2(β − η − ɛ) −1 ].
Lemma 5.26 Sei η ∈ (0, β) und g ∈ C 1 b (Rd ), so dass
κ = ‖K‖ η ‖Dg‖ C 0
b
< 1.
Dann ist I − K ◦ G ein Homöomorphismus in Y η .
Beweis: Dies folgt unmittelbar aus den obigen Lemmata.
‖B(t − τ)‖e η|τ| dτ]
‖B(t − τ)‖e η|t−τ| dτ]
∫ ∞
−∞
‖B(τ)‖e η|τ| dτ]
Wir definieren Ψ = (I − K ◦ G) −1 Dann läßt sich die Lösung der obigen Fixpunktgleichung
(15) als x = Ψ(Sx c ) schreiben. Wir definieren nun
ψ(x c ) = π h Ψ(Sx c )(0)
für alle x c ∈ E c als Abbildung von E c nach E h . Aus der Stetigkeit von Ψ folgt die Stetigkeit
von ψ. Da
Ψ(Sx c ) = Sx c + KG(Ψ(Sx c )),
folgt aus den Definitionen von S, G und K, dass
Damit ergibt sich die Schranke
ψ(x c ) =
∫ ∞
−∞
B(−τ)g(Ψ(Sx c ))(τ)dτ.
‖ψ(x c )‖ ≤ 2M(ɛ)‖g‖ C 0
b
(β − ɛ) −1 .
Damit ist die Existenz einer stetigen Zentrumsmannigfaltigkeit bewiesen.
Da für g ∈ C 1 b
die Abbildung Ψ Lipschitz- stetig ist, folgt gleiches für ψ.
73
□
□

Die Konstruktion von stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten läuft analog. Im Fall der stabilen
Mannigfaltigkeit wird zum Beispiel die Abbildung
mit
z = Sx s + K s G(z)
im Raum
(Sx s )(t) = e At x s
(K s z)(t) =
∫ t
G(z)(t) = g(z(t))
Z + η
0
e A(t−τ) π s z(τ)dτ −
∫ ∞
t
e A(t−τ) π cu z(τ)dτ
= {z ∈ C0 (R + , R d ) | ‖z‖ η = sup e ηt ‖z(t)‖ < ∞}
t≥0
für x s ∈ E s betrachtet. Damit haben wir die Existenz der Mannigfaltigkeiten nachgewiesen.
Für weitere Details verweisen wir auf [Van89].
□
Bemerkung 5.27 Erstaunlicherweise ist G keine differenzierbare Funktion von Y η nach sich.
Sie ist k- mal stetig differenzierbar von Y η1 nach Y η2 , falls η 1 > kη 2 . Zur Motivation dieser
Aussage betrachten wir g(x) = x k und x(t) = e η|t| .
Zentrumsmannigfaltigkeiten M c sind zur Untersuchung von Instabilitäten von besonderem Interesse,
da in einer Umgebung alle Lösungen mit einer exponentiellen Rate O(e −βt ), (mit β von
oben) angezogen werden.
Theorem 5.28 Wir betrachten das modifizierte System (14) mit σ u = ∅. Dann gibt es eine
Konstante C, so dass für alle x 0 ∈ R d gilt: Es gibt ein t 0 ∈ R und x c ∈ M c , so dass
Beweis: Siehe [Van89].
‖x(t, x 0 ) − x(t − t 0 , x c )‖ ≤ Ce −βt .
Der Zentrumsmannigfaltigkeitensatz erlaubt es nun die Dimension bei Bifurkationsproblemen
ẋ = Ax + ˜f(x) auf die Dimension von E c zu reduzieren. Durch einen Potenzreihenansatz
x h = ψ(x c ) läßt sich die Differentialgleichung
x˙
c = Ax c + π c ˜f(xc + ψ(x c )) (16)
auf M c näherungsweise berechnen. Eine unmittelbare Folgerung des letzten Satzes ist
Korollar 5.29 Es sei σ u = ∅. Ist x c = 0 im reduzierten System (16) stabil bzw. instabil, so gilt
gleiches für x = 0 im vollen System.
□
74

Beispiel 5.30 Wir betrachten das diskrete dynamische System
x n+1 = x n + x n y n , y n+1 = λy n − x 2 n
mit 0 < λ < 1. Es ergibt sich E c = {y = 0}. Zur Berechnung der Zentrumsmannigfaltigkeit
machen wir wie oben den Ansatz
y = h(x) = ax 2 + bx 3 + O(x 4 ).
Einsetzen ergibt mit y n+1 = ax 2 n+1 + bx3 n+1 + . . ., dass
a(x + x(ax 2 + . . .)) 2 + b(x + x(ax 2 + . . .)) 3 + . . . = λ(ax 2 + bx 3 + . . .) − x 2
und so durch Koeffizientenvergleich
Wir erhalten für die Reduktionsfunktion
und für die reduzierte Gleichung
x n+1 = x n −
a = − 1
1 − λ , b = 0.
x2
y = h(x) = −
1 − λ + O(x4 )
x3 n
1 − λ + O(x5 n ) = x n(1 − x2 n
1 − λ + O(x4 n )).
Damit ist x = 0 in der reduzierten Gleichung asymptotisch stabil, womit die asymptotische
Stabilität des Ursprungs (x, y) = (0, 0) im vollen System folgt.
Überqueren nun zwei konjugiert komplexe Eigenwerte die imaginäre Achse, so müssen für
die quadratischen Terme 6 Koeffizienten und für die kubischen Terme gar 8 Koeffizienten berechnet
werden. Die so erhaltene Näherungsgleichung zu analysieren, ist ohne weitergehende
Überlegungen im Prinzip nicht durchführbar. Hier helfen nun sogenannte Normalformtransformationen,
die es erlauben jedes so erhaltene System auf das bereits untersuchte System
ṙ = ∓r ± r 3 + . . . , ˙φ = 1 + . . . .
zurückzuführen. Wir wollen die Normalform- Methode anhand dieses Beispiels erklären und
dies zum Beweis des Satzes über Hopf- Bifurkationen verwenden.
Theorem 5.31 Betrachte die gewöhnliche Differentialgleichung ẋ = A µ x + g(x) mit x(t)∈R d
und ‖g(x)‖ = O(‖x‖ 2 ) für x → 0. Für µ = 0 besitze A µ die zwei Eigenwerte λ ± = ±iω
mit ω ≠ 0. Die restlichen Eigenwerte sollen echt negativen Realteil besitzen. Weiter gelte
dReλ ±
dµ | µ=0 ≠ 0. Wenn γ r ≠ 0 in (18), dann bifurkiert für µ = 0 aus dem Fixpunkt x = 0
eine einparametrige Familie periodischer Lösungen mit Periode nahe 2π/ω.
75

Beweis: Zunächst wenden wir den Zentrumsmannigfaltigkeitensatz an und reduzieren das volle
System auf ein Differentialgleichungssystem auf der zweidimensionalen Zentrumsmannigfaltigkeit
M c tangential an den Unterraum E c zu den Eigenwerten λ ± . O.B.d.A. sei ω| µ=0 = 1
und
dReλ ±
dµ | µ=0 = µ,
d.h.
λ ± (µ) = i + µ + O(iµ + µ 2 ).
Auf M c führen wir Koordinaten (y, z) ∈ R 2 ein, so dass sich das reduzierte System als
ẏ = µy − z + a 101 µz
+a 020 y 2 + a 011 yz + a 002 z 2 + a 030 y 3 + a 021 y 2 z + a 012 yz 2 + a 003 z 3
+O(µ 2 (|x| + |y|) + |y| 4 + |z| 4 )
ż = µz + y + b 110 µy
+b 020 y 2 + b 011 yz + b 002 z 2 + b 030 y 3 + b 021 y 2 z + b 012 yz 2 + b 003 z 3
+O(µ 2 (|x| + |y|) + |y| 4 + |z| 4 )
mit reellwertigen Koeffizienten a ijk und b ijk schreiben läßt. Da dieses System in dieser Form
nicht analysierbar ist, führen wir nacheinander Koordinatentransformationen durch, um ein einfacheres
System zu erhalten.
Einschub: Normalformtransformationen: Wir betrachten allgemein das autonome System
für x(t) ∈ R d , einer d × d-Matrix A und
ẋ = Ax + f(x)
f(x) = f 2 (x) + f 3 (x) + f 4 (x) + . . .
mit f m (kx) = k m f m (x) für alle k ≥ 0, d.h. f m ist ein Vektor im R d mit homogenen Polynomen
vom Grad m in den Variablen x 1 , . . . , x d als Einträge. Damit ist
⎛ ⎞
f m1
f m = ⎜
⎝ . ⎟
⎠
f md
ein Element des Vektorraums
⎧ ⎛
⎪⎨
V m =
u =
⎪⎩
⎜
⎝
∑
m 1 +...+m d =m α1 m 1 ...m d
x m 1
1 · . . . · x m d
d
.
∑
m 1 +...+m d =m αd m 1 ...m d
x m 1
1 · . . . · x m d
d
⎞
⎟
⎠ | αj m 1 ...m d
∈ R
der vektorwertigen homogenen Polynome vom Grad m in den Variablen x 1 , . . . , x d .
76
⎫
⎪⎬
⎪⎭

Wir suchen nun Koordinatentransformationen, welche es uns erlauben, möglichst viele Einträge
der f m auf Null zu transformieren, um so ein möglichst einfaches System zu erhalten. Dazu
machen wir den Ansatz
x = y + h(y),
wobei
h(y) = h 2 (y) + h 3 (y) + h 4 (y) + . . .
mit h m (ky) = k m h m (y) für alle k ≥ 0, d.h. h m ist ein Vektor im R d mit homogenen Polynomen
vom Grad m in den Variablen y 1 , . . . , y d als Einträge. Wir erhalten
und somit
ẋ = ẏ + ∂h ẏ = A(y + h(y)) + f(y + h(y))
∂y
ẏ = (1 + ∂h
∂y )−1 [A(y + h(y)) + f(y + h(y))]
= Ay − ∂h 2
∂y Ay + Ah 2(y) + f 2 (y) + O(‖y‖ 3 ).
Damit muß, um alle quadratischen Terme f 2 wegtransformieren zu können, ein h 2 gefunden
werden, so dass
− ∂h 2
∂y Ay + Ah 2(y) + f 2 (y) = 0.
Interpretieren wir h 2 als ein Element des Vektorraumes V 2 , so ist
(L A h 2 )(y) = − ∂h 2
∂y Ay + Ah 2(y)
eine lineare Abbildung des V 2 in sich. (L A wirkt linear auf die Koeffizienten α m m 1 ...m d
.)
Allgemein gilt es zum Wegtransformieren der Terme m-ter Ordnung das lineare Gleichungsystem
− ∂h m
∂y Ay + Ah m(y) + ˜f m (y) = 0
zu lösen, wobei ˜f m die nichtlinearen Terme vom Grad m nach Anwenden der Transformationen
h 2 bis h m−1 sind.
Für unsere Zwecke reicht es sich auf den Fall von diagonalisierbarem A einzuschränken, d.h.
A = diag(λ 1 , . . . , λ d ). Im Raum V m besitzt dann die lineare Abbildung L A die Eigenvektoren
y m 1
1 · . . . · y m d
d
e j, wobei e j der j-te Einheitsvektor des R d sei. Die dazugehörigen Eigenwerte
sind durch µ = ∑ d
k=1 m kλ k − λ j gegeben. Dazu betrachten wir die j-te Komponente
d∑
k=1
∂h mj
∂y k
λ k y k − λ j h mj = µh mj
der Eigenwertgleichung L A h m = µh m Einsetzen der obigen Eigenvektoren ergibt unmittelbar
die Behauptung.
77

Damit kann die Gleichung L A h m = g m in allen Eigenräumen gelöst werden, die nicht zu verschwindenden
Eigenwerten µ = 0 gehören. Diese Terme der Nichtlinearität g m können somit
wegtransformiert werden, wenn die Nichtresonanzbedingung
d∑
m k λ k − λ j ≠ 0 (17)
erfüllt ist. Die zu µ = 0 gehörenden Eigenwerte λ j von A heißen resonant.
k=1
( )
0 1
Beispiel 5.32 Wir betrachten die Matrix A =
. Diese besitzt die Eigenwerte λ 1 = i
−1 0
( ) ( )
i −i
und λ 2 = −i zu den Eigenvektoren und . Wir diagonalisieren die Matrix A
1 1
durch Einführen der Koordinaten a, b definiert durch
( ) ( ) ( )
x i −i
= a + b .
y 1 1
Es gilt damit folgendes System zu betrachten
ȧ = ia + α 20 a 2 + α 11 ab + α 02 b 2 + α 30 a 3 + α 21 a 2 b + α 12 ab 2 + α 03 b 3 + O(|a| 4 + |b| 4 )
ḃ = −ib + β 20 a 2 + β 11 ab + β 02 b 2 + β 30 a 3 + β 21 a 2 b + β 12 ab 2 + β 03 b 3 + O(|a| 4 + |b| 4 ).
Wir beginnen mit dem Wegtransformiern der quadratischen Terme.
Zu α 20 a 2 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−2λ 1 − 0λ 2 + λ 1 = −2i + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Zu α 11 ab: Die Nichtresonanzbedingung ist
−1λ 1 − 1λ 2 + λ 1 = −i − (−i) + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Zu α 02 b 2 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−0λ 1 − 2λ 2 + λ 1 = −2(−i) + i ≠ 0
Damit kann auch dieser Term wegtransformiert werden. Analog können auch alle quadratischen
Terme in der Gleichung für b wegtransformiert werden.
Zu den kubischen Termen:
78

Zu α 30 a 3 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−3λ 1 − 0λ 2 + λ 1 = −3i + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Zu α 21 a 2 b: Diesmal ist die Nichtresonanzbedingung nicht erfüllt, denn
−2λ 1 − 1λ 2 + λ 1 = −2i − (−i) + i = 0
Damit kann dieser Term nicht wegtransformiert werden.
Zu α 12 ab 2 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−1λ 1 − 2λ 2 + λ 1 = −i − 2(−i) + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Zu α 03 b 3 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−0λ 1 − 3λ 2 + λ 1 = −3(−i) + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Das gleiche Abbildung ergibt sich für die kubischen Terme in der Gleichung für b. Dort können
alle Terme bis auf ab 2 wegtransformiert werden.
Damit ergibt sich nach den Normalformtransformationen h 2 und h 3 das System
ȧ = ia + γ a a 2 b + O(|a| 4 + |b| 4 )
ḃ = −ib + γ b ab 2 + O(|a| 4 + |b| 4 ),
mit Koeffizienten γ a = γ b nach den Transformationen, wenn das ursprüngliche System reell
war.
Zurück zum eigentlichen Beweis: In unserem Fall muß das obige System noch durch die
Terme mit µ und die Gleichung ˙µ = 0 ergänzt werden. Es ergibt sich dann
ȧ = ia + µa + iα 110 µa + γ a a 2 b + O(|µ 2 |(|a| + |b|) + |a| 4 + |b| 4 )
ḃ = −ib + µb − iα 110 µb + γ b ab 2 + O(|µ 2 |(|a| + |b|) + |a| 4 + |b| 4 ),
In den ursprünglichen x, y-Koordinaten ergibt sich
ẋ = y + µx + α 110 µy + γ r (x 2 + y 2 )x + γ i (x 2 + y 2 )y + O(|µ 2 |(|x| + |y|) + |x| 4 + |y| 4 )
ẏ = −x + µy − α 110 µx + γ r (x 2 + y 2 )y − γ i (x 2 + y 2 )y + O(|µ 2 |(|x| + |y|) + |x| 4 + |y| 4 ).
Führen wir Polarkoordinaten x = r cos φ und y = r sin φ ein, so erhalten wir
ṙ = µr − γ r r 3 + O(µ 2 r + r 4 ) (18)
˙φ = −1 − α 110 µ − γ i r 2 + O(µ 2 + r 3 )
79

Damit haben wir ein System, welches wir für kleines µ untersuchen können. (Beachte r =
O( √ µ) für die bifurkierenden Lösungen). Den endgültigen Existenznachweis der periodischen
Lösungen wollen wir im folgenden nur kurz skizzieren.
Für das abgeschnitte System
finden wir die periodische Lösung r 2 = µ/γ r .
ṙ = µr − γ r r 3
˙φ = −1
Zu dieser Lösung konstruieren wir die dazugehörige Poincaré-Abbildung Π. Die periodische
Lösung entspricht einem Fixpunkt von Π. Nach dem Satz über implizite Funktionen bleibt
dieser Fixpunkt bei Hinzunahme der vernachlässigten Terme erhalten. Damit haben wir für das
volle System eine periodische Lösung gefunden.
□
80

6 Homokline und heterokline Lösungen
Wir interessieren uns nun für das globale Verhalten der Lösungen von Differentialgleichungen.
Hier spielen homokline und heterokline Lösungen eine wichtige Rolle. In der Nähe homokliner
Lösungen kann chaotisches Verhalten gefunden werden. Eine Lösung x = x(t) einer
autonomen Differentialgleichung heißt heterokline Verbindung der Fixpunkte x − und x + , falls
lim t→±∞ x(t) = x ± . Sie heißt homoklin, falls x − = x + . Eine heterokline Verbindung x = x(t)
muß daher im Schnitt der instabilen Mannigfaltigkeit W u (x − ) von x − und der stabilen Mannigfaltigkeit
W s (x + ) von x + liegen.
6.1 ω-Limesmengen, Ebene Systeme, Gradientensysteme
Zunächst möchten wir formalisieren, was wir unter dem Langzeitverhalten der Lösungen gewöhnlicher
Differentialgleichungen verstehen.
Eine Lösung x = x(t) von ẋ = f(x) mit x(0) = x 0 ergibt im Phasenraum einen Orbit oder
eine Trajektorie, welche wir mit γ(x 0 ) bezeichnen. Ist x(t 1 ) = x 1 , so gilt γ(x 0 ) = γ(x 1 ). Wir
setzen
γ + (x 0 ) = {x ∈ R d | ∃t ≥ 0 : x = x(t, x 0 )} und γ − (x 0 ) = {x ∈ R d | ∃t ≤ 0 : x = x(t, x 0 )}.
Damit ist γ(x 0 ) = γ + (x 0 ) ∪ γ − (x 0 ).
Definition 6.1 Ein Punkt p ∈ R d heißt positiver Limespunkt von γ(x 0 ), wenn es eine Folge
(t n ) n∈N mit t n ≤ t n+1 und t n → ∞ gibt, so dass lim tn→∞ x(t n ) = p gilt. Die Menge aller
positiven Limespunkte eines Orbits γ wird als ω-Limesmenge bezeichnet. Die Menge der
entsprechend definierten negativen Limespunkte wird als α-Limesmenge bezeichnet.
Beispiel 6.2 Betrachte
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −x 1 .
Ist p ∈ γ(x 0 ), dann ist p auch positiver und negativer Limespunkt. Setze t n = t 0 + 2πn, wenn
x(t 0 ) = p. Dann gilt lim tn→∞ x(t n ) = lim tn→∞ p = p
Theorem 6.3 Die Mengen α(γ) und ω(γ) sind abgeschlossen und invariant. Ist γ + beschränkt,
dann ist die ω-Limesmege kompakt, zusammenhängend und nicht leer.
Beweis: a) ω(γ) als Menge der Limespunkte ist abgeschlossen.
b) Zur Invarianz: Sei p ∈ ω(γ). Dann gibt es eine Folge t n → ∞, so dass lim tn→∞ x(t n ) = p.
Zu zeigen ist nun: x(t, p) ∈ ω(γ). Da x(t + t n , x 0 ) = x(t, x(t n , x 0 )) folgt im Limes n → ∞,
dass
x(t + t n , x 0 ) → x(t, p),
womit die Behauptung γ(p) ⊂ ω(γ) folgt.
c) Mit γ + ist offensichtlich auch ω(γ) beschränkt. Da nach a) ω(γ) abgeschlossen ist, folgt die
81

Kompaktheit von ω(γ).
d) Besteht γ + aus mehr als einem Punkt, d.h. ist γ + kein Fixpunkt, so enthält γ + unendlich viele
Punkte. Damit existiert mindestens ein Häufungspunkt p der beschränkten Menge γ + . Besteht
γ + nur aus einem Fixpunkt, so ist γ + = ω(γ) ebenfalls nicht leer.
e) Wir nehmen an ω(γ) sei nicht zusammenhängend, d.h. ω(γ) = A 1 ∪ A 2 mit A 1 ∩ A 2 = ∅.
Da γ + beschränkt ist, gibt es ein R > 0, so dass γ + ⊂ B R (0) = {x ∈ R d | ‖x‖ ≤ R}.
Der Abstand von A 1 und A 2 sei δ > 0. Wir setzen
A 3 = {x ∈ B R (0) | δ/4 ≤ dist(x, ω(γ))}.
Offensichtlich muß die Lösung die Menge A 3 unendlich oft durchqueren, womit ein Limespunkt
in A 3 liegen muß.
□
Beispiel 6.4 Wir betrachten in Polarkoordinaten
ṙ = r(1 − r),
˙φ = sin 2 (φ/2).
Dieses System besitzt die Fixpunkte (r, φ) = (0, 0) und (r, φ) = (1, 0), welche beide instabil
sind. Die ω-Limesmenge zum Fixpunkt (r, φ) = (0, 0) ist durch diesen Fixpunkt gegeben. Das
Phasenbild zeigt, dass die ω-Limesmenge zu jeder anderen Lösung durch {(r, φ) | (r, φ) =
(1, 0)} gegeben ist, obwohl dieser Fixpunkt instabil ist.
Im restlichen Kapitel wollen wir die ω-Limesmengen von ebenen Systemen und von Gradientensystemen
charakterisieren.
Ebene Systeme:
Wir betrachten autonome Differentialgleichungen ẋ = f(x) mit x(t) ∈ R 2 . Was diese Systeme
von Systemen in höheren Raumdimensionen unterscheidet ist der Jordansche Kurvensatz.
Eine geschlossene, sich nicht selber schneidende differenzierbare Kurve Γ zerteilt die Ebene,
d.h. den R 2 in zwei Teile, einen Teil innerhalb und einen Teil außerhalb der Kurve.
Als Konsequenz müssen Poincaré-Abbildungen stets monoton sein. Denn: Ein Kurve l heißt
transversal an die Orbits, wenn l keine kritischen Punkte (Fixpunkte) enthält und nicht tangential
an einen Orbit ist. Zu einer Transversale l können wir wie oben eine Poincaré-Abbildung Π
definieren. Es gilt dann
Lemma 6.5 Die Folge (Π n (x)) n der Iterierten der Poincaré-Abbildung ist für x ∈ l monoton.
Beweis: Nach Voraussetzung zeigt das Vektorfeld f stets auf eine Seite von l. Damit müssen
die Lösungen l stets von der gleichen Seite durchstoßen. Sei nun x ∈ l gegeben und Π(x) ∈ l
existent. Siehe Abbildung 24.
Dann kann Π 2 (x), falls existent, wegen des Jordanschen Kurvensatzes und des lokalen Existenzund
Eindeutigkeitssatzes die Folge x, Π(x) nur monoton in l fortsetzen.
□
Als unmittelbare Folge erhalten wir:
82

Abbildung 24: Schnitt der Lösung mit der Transversalen.
Lemma 6.6 Die ω-Limesmenge eines Orbits γ(p) kann das Innere einer Transversale nur in
einem Punkt schneiden.
Mittels dieser Vorüberlegungen beweisen wir nun den Satz von Poincaré-Bendixson.
Theorem 6.7 Betrachte ẋ = f(x) mit f ∈ C 1 (R 2 , R 2 ) und es sei γ + ein beschränkter positiver
Orbit, wobei ω(γ) keine Fixpunkte enthalten soll. Dann ist ω(γ) ein periodischer Orbit.
Bemerkung 6.8 Ist ω(γ) ≠ γ, so heißt der periodische Orbit Grenzzykel.
Beweis: Sei x 0 ∈ ω(γ). Da ω(γ) keine Fixpunkte enthält, gibt es eine Transversale l durch
diesen Punkt. Schneidet γ + die Transversale l nur einmal, so muß γ = ω(γ) und damit ein
periodischer Orbit sein.
Schneidet γ + die Transversale l mehr als einmal, so gibt es unendlich viele Schnitte und γ ∩
ω(γ) = ∅. Da ω(γ) keine Fixpunkte enthält und x 0 ∈ ω(γ) beliebig war, muß ω(γ) aus einem
periodischen Orbit bestehen.
□
Beispiel 6.9 Siehe Abbildung 25.
Bemerkung 6.10 Wie wir bereits gesehen haben, ist der Satz von Poincaré-Bendixson auf
dem Torus falsch, da es dort quasiperiodische Orbits geben kann, die den ganzen Torus als
ω-Limesmenge besitzen.
Gradientensysteme:
Im folgenden betrachten wir autonome Gradientensysteme ẋ = −∇V (x) mit Potentialfunktion
V ∈ C 2 (R d , R) und x(t) ∈ R d . Jede Extremstelle von V ist ein Fixpunkt der Differentialgleichung.
Da V entlang von Lösungen abnimmt, können Gradientensysteme keine periodischen
Lösungen und keine geschlossenen heteroklinen Verbindungen besitzen. Da ∇V senkrecht auf
den Tangentialebenen der Äquipotentialflächen {x ∈ R d | V (x) = h} steht, werden diese durch
die Lösungen immer senkrecht durchstoßen.
Ein typische Situation ist wie folgt: Es gilt V (x) → ∞ für ‖x‖ → ∞ und alle Extremstellen
83

Abbildung 25: Verschiedene ω-Limesmengen.
von V liegen innerhalb B R (0) = {x ∈ R d |‖x‖ ≤ R}. Damit gibt es für jede Anfangsbedingung
x 0 ∈ R d eine Zeit T ≥ 0, so dass x(t, x 0 ) ∈ B R (0) für alle t ≥ T . Die Kugel B R (0) heißt
absorbierend. Besitzt V nur endlich viele Extremstellen, so gilt offensichtlich:
Lemma 6.11 Unter diesen Voraussetzungen besteht die ω-Limesmenge eines jeden Orbits γ
aus genau einem Fixpunkt.
Bemerkung 6.12 Bei Potentialen V mit unendlich vielen Fixpunkten, kann die ω-Limesmenge
aus unendlich vielen Fixpunkten bestehen.
Bemerkung 6.13 Gradientensysteme, bei denen alle Fixpunkte hyperbolisch (d.h. keine Eigenwerte
auf der imaginären Achse besitzen (dies impliziert die Isoliertheit der Fixpunkte))
und alle Schnitte von stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten transversal sind, (d.h. die Tangentialebenen
spannen ganz R d auf) sind strukturell stabil (d.h. diese Struktur geht bei kleinen
Störungen nicht verloren). Siehe [Pal82].
6.2 Melnikov-Chaos
Wir betrachten hier zweidimensionale autonome Differentialgleichungen mit einer homoklinen
Verbindung. Werden solche Systeme zeitlich periodisch gestört, so kann chaotisches Verhalten
auftreten. Typische Beispiele sind:
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = x 1 − x 3 1 + ɛ(γ cos ωt − δx 2)
oder
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = − sin x 1 + ɛ(γ cos t − δx 2 )
84

mit 0 ≤ ɛ ≪ 1 ein kleiner Parameter. Im zweiten System identifizieren wir die Fixpunkte
(−π, 0) und (π, 0) durch betrachten von S 1 × R anstelle von R 2 als Phasenraum. Die heteroklinen
Verbindungen werden dadurch zu homoklinen Lösungen.
Die zeitlich periodische Störung dieser Systeme untersuchen wir dadurch, dass wir die Zeit
2π-Abbildung
Π ɛ : x 0 ↦→ x ɛ (2π, x 0 ) = x ɛ (2π, 0, x 0 )
betrachten. Für t = 2πn + s mit s ∈ (0, 2π) gilt
x ɛ (t, x 0 ) = x ɛ (s, x ɛ (2π, x ɛ (2π, (. . . (x ɛ (2π, x 0 ) . . .))))))
= x ɛ (s, ·) ◦ Π n ɛ (x 0).
Damit reicht es im folgenden zur Untersuchung der Dynamik, Iterationen der Abbildung Π ɛ zu
betrachten. Die Abbildung x ɛ (s, ·) mit s ∈ [0, 2π) stellt eine Koordinatentransformation dar.
Allgemein betrachten wir
)
(
u
v
ẋ = f(x) + ɛg(x, t), x =
mit g(x, t) = g(x, t + 2π) und x(t) ∈ R 2 . Von
( )
f1 (x)
f =
f 2 (x)
und g =
(
g1 (x, t)
)
g 2 (x, t)
wollen wir voraussetzen, dass diese mindestens in C 2 sind.
Weiter wollen wir voraussetzen, dass das ungestörte System einen homoklinen Orbit Γ : t ↦→
q 0 (t) an einen hyperbolischen Sattelpunkt p 0 besitzt. Das gleiche ist damit für die Iteration der
Poincaré-Abbildungen x n+1 = Π 0 (x n ) für ɛ = 0 wahr, d.h. am Fixpunkt Π 0 (p 0 ) = p 0 hängt die
homokline Lösung Γ.
Wir wollen nun untersuchen, wie das Bild für ɛ ≠ 0 aussieht.
Der Fixpunkt p 0 kann mittels des Satzes über implizite Funktionen auch für ɛ > 0 fortgesetzt
werden. Es gilt
Lemma 6.14 Für ɛ > 0 besitzt die Iteration x n+1 = Π ɛ (x n ) einen eindeutigen Fixpunkt p ɛ mit
p ɛ = p 0 + O(ɛ).
Beweis: Wir suchen Nullstellen der Abbildung G : R 2 × R + → R 2 definiert durch
G(x, ɛ) = Π ɛ (x) − x.
Es ist i) G(p 0 , 0) = 0. ii) Die Linearisierung D x G(p 0 , 0) von G an (p 0 , 0) ist invertierbar, denn:
zu ii) Es ist D x G(p 0 , 0) = D x Π 0 (p 0 ) − I und D x Π 0 (p 0 ) = e A2π , wobei A = D x f| x=p0
nach
85

Voraussetzung keine Eigenwerte λ j (0) auf der imaginären Achse hat. Damit sind die Eigenwerte
von D x G(p 0 , 0) durch e 2πλ j(0) − 1 ≠ 0 gegeben. Als Konsequenz ist damit D x G(p 0 , 0)
invertierbar.
Wegen i) und ii) kann der Satz über implizite Funktionen angewandt werden und G(x, ɛ) = 0
in der Nähe von (p 0 , 0) nach x = p ɛ aufgelöst werden, womit die Behauptung folgt. □
Die Eigenwerte µ j (ɛ) der Linearisierung D x Π ɛ | x=pɛ erfüllen µ j (ɛ) = e 2πλj(0) + O(ɛ). Damit
ist p ɛ ein hyperbolischer Sattelpunkt der Iteration x n+1 = Π ɛ (x n ). Zu diesem Fixpunkt x = p ɛ
existiert folglich eine stabile und eine instabile Mannigfaltigkeit W s,ɛ (p ɛ ) bzw. W u,ɛ (p ɛ ). Diese
liegen für kleines ɛ > 0 und für x → ∞ bzw. für x → −∞ in der Nähe der Mannigfaltigkeiten
für ɛ = 0. Für ɛ > 0 besteht die Möglichkeit, dass sich diese Mannigfaltigkeiten transversal
schneiden. Dieser Schnittpunkt sei q = q(ɛ). Siehe Abbildung 26.
Da die stabile und instabile Mannigfaltigkeit invariant unter Π ɛ sind, muß jede Vorwärts und
p
ε
p
0
q
ε
Abbildung 26: Transversaler homokliner Punkt q.
Rückwärtsiterationen von q = q(ɛ) wieder in diesen Mannigfaltigkeiten liegen, d.h.
Π j ɛ(q) ∈ W s,ɛ (p ɛ ) und Π j ɛ(q) ∈ W u,ɛ (p ɛ )
für j ∈ Z. Damit schneiden sich diese Mannigfaltigkeiten unendlich oft und es ergibt sich
Abbildung 27.
In dieser Situation liegt chaotisches Verhalten vor. Dies definieren wir wie in Abschnitt 4.3
mittels Shiftdynamik. Der Nachweis chaotischen Verhaltens in gewöhnlichen Differentialgleichungen
läuft meist über den Nachweis einer Smaleschen Hufeisenabbildung
Einschub: Smale’s Horseshoe
Dieses zweidimensionale Dynamische System ist entsprechend der folgenden geometrischen
Konstruktion definiert.
Wir beginnen mit dem Einheitsquadrat S = [0, 1] × [0, 1] in der Ebene und definieren eine Abbildung
f : S → R 2 , so dass f(S)∩S aus zwei Komponenten besteht. Die genaue Konstruktion
findet sich in Abbildung 28. Die Abbildung f ist eine Streckung in vertikaler Richtung mit Faktor
µ und eine Kontraktion in horizontaler Richtung mit Faktor λ mit anschließender Faltung.
86

q ε
p
ε
Abbildung 27: Unendlich viele Schnitte der invarianten Mannigfaltigkeiten.
V V
0 1
H 1
H 0
Abbildung 28: Smalesche Hufeisenabbildung.
Die Menge S wird durch f in zwei vertikale Streifen V 0 und V 1 abgebildet.
Das inverse Bild dieser Abbildung bildet S in zwei horizontale Streifen H 0 und H 1 ab. Auf H j ,
j ∈ {0, 1} besitzt die Abbildung f die Linearisierung
( )
±λ 0
, (+ auf H 0 , − auf H 1 )
0 ±µ
mit λ ∈ (0, 1/2) und µ > 2.
Unter der Iteration f verlassen die meisten Punkte die Menge S. Die Punkte, welche unter allen
Iterationen von f in S in S bleiben, definieren eine Menge
Λ = {x | f i (x) ∈ S, −∞ < i < ∞}
Die Menge Λ weist eine komplizierte topologische Struktur auf. Jedes horizontale Band H i
wird durch f in das vertikale Band V i = f(H i ) abgebildet.
Wir betrachten den Schnitt V i ∩ H j . Die so erhaltenen Mengen kommen von dünneren Streifen
87

H ij . Als Bild der zweifachen Iteration ergeben sich nun vertikale Streifen V ij = f 2 (H ij ). Siehe
Abbildung 29.
V V V V
00 10
11 01
H
10
H
11
f
f
H
01
H
00
Abbildung 29: Iteration der Hufeisenabbildung.
Setzen wir diese Konstruktion fort und schneiden alle so erhaltenen vertikalen und horizontalen
Streifen, so ergibt sich eine abgeschlossene, nicht leere, nirgends zummenhängende Menge Λ.
Da jeder Punkt in Λ ein Häufungspunkt aus Punkten aus Λ ist, handelt es sich bei Λ um eine
Cantormenge.
Bemerkung 6.15 Diese Konstruktion ist robust unter Störungen, die in C 1 klein sind.
Jedem Punkt x ∈ Λ kann damit in eindeutiger Weise eine unendliche Folge a : Z → R zugewiesen
werden, nämlich φ(x) = {a i } ∞ i=−∞ mit f i (x) ∈ H ai .
Es ist φ(f(x)) = {b i } ∞ i=−∞ mit f i+1 (x) ∈ H bi . Damit ist f i (x) ∈ H bi−1 = H ai und so b i = a i+1 ,
womit also φ ◦ f = σ ◦ φ gilt. Damit kann die Shiftabbildung in der Smaleschen Hufeisenabbildung
gefunden werden.
Es bleibt die Stetigkeit von φ : Λ → M zu zeigen. Sei x ∈ Λ gegeben. Dann bleibt zu zeigen,
dass es für alle ɛ > 0 ein δ > 0, so dass d(φ(x), φ(y)) < ɛ aus ‖x−y‖ < δ folgt. Zu gegebenem
ɛ > 0 gibt es ein j 0 = j 0 (ɛ), dass d(a, b) ≤ ɛ bedeutet, dass a j = b j für |j| ≤ j 0 und beliebig
für |j| > j 0 . Die Forderung d(φ(x), φ(y)) < ɛ legt damit eindeutig zwei endliche Folgen
a + = {a i } j 0
j=0 und a − = {a i } −1
j=−j 0 −1 fest. Zu dieser Folge gehören eindeutig Streifen V a − und
H a +. Wählen wir δ > 0 so klein, dass y ∈ V a + ∩ H a − aus ‖y − x‖ ≤ δ folgt, sind wir fertig. Da
die Stetigkeit von φ −1 analog folgt, gilt damit
Lemma 6.16 Es gibt eine bijektive Abbildung φ zwischen Λ und M, so dass die Folge b =
φ(f(x)) aus a = φ(x) durch einen Shift der Indizes, b i = a i+1 erhalten wird. Die Abbildung φ
ist Homöomorphismus zwischen den metrischen Räumen (M, d) und (Λ, ‖ · ‖).
Konsequenz: Die Hufeisenabbildung f besitzt eine invariante Cantor Menge Λ, so dass
88

i) Λ enthält eine abzählbare Menge periodischer Lösungen jeder Periode.
ii) Λ enthält einen dichten Orbit.
iii) Λ enthält eine überabzählbare Menge nichtperiodischer, beschränkter Lösungen.
Wir zeigen nun wie bei der Existenz eines transversalen Schnittes der stabilen und instabilen
Mannigfaltigkeit eine Hufeisenabbildung gefunden werden kann und so chaotisches Verhalten
folgt.
Theorem 6.17 (Das Smale-Birkhoff homokline Orbit Theorem) Sei f : R d → R d ein Diffeomorphismus,
so dass p ein hyperbolischer Fixpunkt ist und ein q ≠ p ein weiterer Punkt in
dem sich die stabile Mannigfaltigkeit W s (p) und die instabile Mannigfaltigkeit W u (p) transversal
schneiden. Dann besitzt f eine (hyperbolische) Menge Λ auf der eine Iterierte von f
homöomorph zur Shiftabbildung ist.
Bemerkung 6.18 Eine unter f invariante Menge Λ besitzt eine hyperbolische Struktur, wenn
es eine stetige invariante Zerlegung der Tangentialräume T Λ R d = EΛ u ⊕ Es Λ mit der folgenden
Eigenschaft gibt: Es existieren Konstanten C > 0 und λ ∈ (0, 1) mit
i) |Df −n (x)v| ≤ Cλ n |v|, wenn v ∈ E u x.
i) |Df n (x)v| ≤ Cλ n |v|, wenn v ∈ E s x.
Beweisskizze im R 2 : Die Idee beruht darauf, für eine Iterierte von f ein Bild zu finden, welches
dem obigen Bild der Hufeisenabbildung entspricht. Dazu sei o.B.d.A. der Sattelpunkt p im
Ursprung.
Nach dem Satz von Hartman-Grobman besitzt der Sattelpunkt (x, y) = (0, 0) eine Umgebung,
in der nach der Koordinatentransformation die Dynamik durch
x n+1 = λx n , y n+1 = µy n
mit |µ| > 1 > |λ| gegeben ist. Da wir an Systemen interessiert sind, die von periodischen
Störungen gewöhnlicher Differentialgleichungen kommen, setzen wir voraus, dass µ, λ positiv
sind.
Wir betrachten dann die Menge
S = {(x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ δ, |y| ≤ δ}
für δ > 0 hinreichend klein. Die k-te Iterierte für k hinreichend groß ist in Abbildung 30 skizziert.
Damit haben wir die Smalesche Hufeisenabbildung bei Vorliegen eines homoklinen transversalen
Punktes gefunden.
□
Es bleibt zu zeigen, dass sich die stabile und instabile Mannigfaltigkeit bei den von uns betrachteten
Differentialgleichungen tatsächlich transversal schneiden. Der Einfachheit halber, wollen
wir annehmen, dass die ungestörte Gleichung ein Hamiltonsches System ist, d.h. es gibt eine
89

k
f (S)
W
u
p
ε
W
s
q
ε
S
Abbildung 30: Smalesche Hufeisenabbildung bei Vorliegen eines homoklinen transversalen Punktes.
Funktion H : R 2 → R, so dass f 1 = ∂H
∂v
und f 2 = − ∂H
∂u .
Wie wir bereits gesehen haben, besitzt die Poincaré-Abbildung Π ɛ des gestörten Systems einen
hyperbolischen Sattelpunkt p ɛ = p 0 + O(ɛ), welcher in im erweiterten Phasenraum R 2 × S 1
einer periodischen Lösung γ ɛ (t) = p 0 + O(ɛ) entspricht.
Lemma 6.19 Die lokalen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten W s
loc (γ ɛ) und W u
loc (γ ɛ)
sind C r -nahe an denen des ungestörten periodischen Orbits p 0 × S 1 . Trajektorien q s ɛ (t, t 0) und
q s ɛ(t, t 0 ), welche in W s (γ ɛ ) und W u (γ ɛ ) liegen, können wie folgt ausgedrückt werden. Es gilt
q s ɛ(t, t 0 ) = q 0 (t − t 0 ) + ɛq s 1(t, t 0 ) + O(ɛ 2 ), t ∈ [t 0 , ∞)
q u ɛ (t, t 0) = q 0 (t − t 0 ) + ɛq u 1 (t, t 0) + O(ɛ 2 ), t ∈ (−∞, t 0 ]
gleichmäßig auf den angegeben Intervallen.
Beweis: Die Behauptung über die lokalen Mannigfaltigkeiten folgt unmittelbar aus der Theorie
der invarianten Mannigfaltigkeiten. Siehe [Van89].
Die Abschätzung für qɛ s(t, t 0) folgt mit Hilfe der Gronwallschen Gleichung unter Beachtung,
dass nach einer endlichen Zeit die Lösung mit einer exponentiellen Rate in den Fixpunkt gezogen
wird. Durch Umdrehen der Zeit folgt die Behauptung für qɛ u(t, t 0).
□
Wir betrachten nun Poincaré-Abbildungen P t 0
ɛ : Σ t 0
→ Σ t 0
, wobei Σ t 0
= {(x, t) | t = t 0 ∈
[0, 2π]}. Dann definieren wir den Abstand der Mannigfaltigkeiten W u (p t 0 ɛ ) und W s (p t 0 ɛ ) in der
Schnittebene Σ t 0
bezüglich des Punktes q 0 (0) durch
d(t 0 ) = q u ɛ (t 0) − q s ɛ (t 0),
90

wobei q u ɛ (t 0 ) = q u ɛ (t 0 , t 0 ) und q s ɛ(t 0 ) = q s ɛ(t 0 , t 0 ) die Punkte auf W u (p t 0 ɛ ) und W s (p t 0 ɛ ) sind,
welche auf der Normalen
f ⊥ (q 0 (0)) = (−f 2 (q 0 (0)), f 1 (q 0 (0))) T
an den ungestörten homoklinen Orbit in q 0 (0) liegen. Siehe Abbildung 31.
W
u
( p )
ε
p
ε
p
0
q
s
ε
q
u
ε
W
s
( )
p ε
f(q 0
)
Aus dem obigen Lemma folgt
Abbildung 31: Berechnung der Melnikovfunktion.
d(t 0 ) = ɛ f(q0 (0)) ∧ (q u 1 (t 0) − q s 1 (t 0))
‖f(q 0 (0))‖
+ O(ɛ 2 ).
Dabei ist a∧b = a 1 b 2 −a 2 b 1 und f(q 0 (0))∧(q u 1 (t 0)−q s 1 (t 0)) die Projektion von (q u 1 (t 0)−q s 1 (t 0))
auf f ⊥ (q 0 (0)).
Um den Ausdruck d(t 0 ) berechnen zu können, definieren wir die Melnikovfunktion
M(t 0 ) =
∫ ∞
−∞
f(q 0 (t − t 0 )) ∧ g(q 0 (t − t 0 ), t)dt.
Theorem 6.20 Wenn M(t 0 ) einfache Nullstellen besitzt, dann schneiden sich W u (p t 0 ɛ ) und
W s (p t 0 ɛ ), für ɛ > 0 hinreichend klein, transversal. Wenn M(t 0 ) von Null wegbeschränkt ist,
gilt W u (p t 0 ɛ ) ∩ W s (p t 0 ɛ ) = ∅.
Beweis: Wir definieren
Wir erhalten
∆(t, t 0 ) = f(q 0 (t − t 0 )) ∧ (q u 1 (t, t 0) − q s 1 (t, t 0))
= ∆ u (t, t 0 ) − ∆ s (t, t 0 ).
d
dt ∆s (t, t 0 ) = Df(q 0 (t − t 0 )) ˙q 0 (t − t 0 ) ∧ q s 1(t, t 0 ) + f(q 0 (t − t 0 )) ∧ ˙q s 1(t, t 0 ).
91

Aus
und ˙q 0 = f(q 0 ) folgt
Damit ergibt sich 6
˙q s ɛ = ˙qs 0 + ɛ ˙qs 1 + O(ɛ2 ) = f(q 0 ) + ɛDf(q 0 )q s 1 + ɛg(q 0) + O(ɛ 2 )
˙q s 1 (t, t 0) = Df(q 0 (t − t 0 ))q s 1 (t, t 0) + g(q 0 (t − t 0 ), t)
d
dt ∆s (t, t 0 ) = Df(q 0 )f(q 0 ) ∧ qs 1 + f(q 0) ∧ (Df(q 0 )q1 s + g(q 0, t))
= (spurDf(q 0 ))∆ s + f(q 0 ) ∧ g(q 0 , t).
Es gilt spurDf(q 0 ) = 0, da f ein Hamiltonsches Vektorfeld ist. Integrieren wir von t 0 bis ∞,
erhalten wir
∆ s (∞, t 0 ) − ∆ s (t 0 , t 0 ) =
∫ ∞
t 0
f(q 0 (t − t 0 )) ∧ g(q 0 (t − t 0 ), t)dt.
Es ist ∆ s (∞, t 0 ) = lim t→∞ f(q 0 (t − t 0 )) ∧ q1(t s − t 0 ). Da lim t→∞ q 0 (t − t 0 ) = p 0 , folgt
lim t→∞ f(q 0 (t − t 0 )) = 0. Da gleichzeitig q1 s(t, t 0) beschränkt ist, folgt ∆ s (∞, t 0 ) = 0. Analog
finden wir
∆ u (∞, t 0 ) =
∫ t0
−∞
Nach Definition von d(t 0 ) ergibt sich damit
f(q 0 (t − t 0 )) ∧ g(q 0 (t − t 0 ), t)dt.
d(t 0 ) = ɛM(t 0)
‖f(q 0 (0)‖ + O(ɛ2 ).
Da ‖f(q 0 (0))‖ unabhängig von ɛ ist, ist M(t 0 ) eine gute Approximation des Abstandes der
Mannigfaltigkeiten in q 0 (0) auf Σ t 0
Die Funktion M(t 0 ) erfüllt nach Konstruktion M(t 0 ) = M(t 0 + 2π). Wenn sie um Null oszilliert,
müssen, für ɛ > 0 hinreichend klein, q u (t 0 ) und q s (t 0 ) bezüglich f ⊥ (q 0 (0)) ihre Orientierung
ändern. Damit existiert ein τ ∈ [0, 2π) mit q u (τ) = q s (τ) und daher ein homokliner Punkt
q ∈ W s (p τ ɛ ) ∩ W u (p τ ɛ ). Da alle Poincaré-Abbildungen äquivalent sind, müssen sich W u (p t 0 ɛ )
und W s (p t 0 ɛ ) für alle t 0 ∈ [0, 2π) schneiden. Wenn die Nullstellen von M(t 0 ) einfach sind, sind
auch die Nullstellen von d(t 0 ) einfach und der Schnitt der Mannigfaltigkeiten ist transversal. Ist
M(t 0 ) von Null wegbeschränkt, kann für ɛ > 0 hinreichend klein, kein Schnitt vorliegen. □
6
(Ma) ∧ b + a ∧ (Mb) = (m 11 a 1 + m 12 a 2 )b 2 − (m 21 a 1 + m 22 a 2 )b 1 + a 1 (m 21 b 1 + m 22 b 2 ) − a 2 (m 11 b 1 + m 12 b 2 )
= a 1 b 1 (−m 21 + m 21 ) + a 1 b 2 (m 11 + m 22 ) + a 2 b 1 (−m 11 − m 22 ) + a 2 b 2 (m 12 − m 12 )
= (m 11 + m 22 )(a 1 b 2 − a 2 b 1 )
= (spurM)(a ∧ b).
92

Bemerkung 6.21 Durch die Koordinatentransformation t ↦→ t + t 0 erhalten wir die übliche
Form
M(t 0 ) =
∫ ∞
−∞
f(q 0 (t)) ∧ g(q 0 (t), t + t 0 ).
Dieses Integral kann numerisch recht gut berechnet werden, da q 0 (t) → p 0 für t → ±∞ mit
einer exponentiellen Rate, d.h. f(q 0 (t)) → 0 mit einer exponentiellen Rate.
Beispiel 6.22 Wir betrachten das zweidimensionale zeitlich periodische System
˙u = v,
˙v = u − u 3 + ɛ(γ cos ωt − δv).
Dieses beschreibt eine nichtlineare Feder mit zeitlich periodischer Anregung mit Amplitude γ
und Dämpfung δ. Für ɛ = 0 besitzt das System den hyperbolischen Fixpunkt (0, 0) und die
Zentren (±1, 0). Als Hamiltonfunktion H finden wir
H(u, v) = v2
2 − u2
2 + u4
4
Die Äquipotentialfläche H = 0 besteht aus zwei homoklinen Orbits Γ 0 + , Γ0 −
p 0 = (0, 0). Wählen wir q± 0 = (± √ 2, 0), so ergibt sich
und dem Punkt
−∞
∫ ∞
q 0 + (t) = (√ 2 sech t, − √ 2 sech t tanh t),
q 0 − (t) = −q0 + (t).
Als Melnikovfunktion ergibt sich
∫ ∞ (
) (
v 0 (t)
0
M(t 0 ) =
∧
u 0 (t) − (u 0 (t)) 3 γ cos ω(t + t 0 ) − δv 0 (t)
=
v 0 (t)[γ cos ω(t + t 0 ) − δv 0 (t)] dt
)
dt
−∞
= − √ 2γ
∫ ∞
sech t tanh t cos ω(t + t 0 ) dt − 2δ
∫ ∞
sech 2 t tanh 2 t dt.
−∞
Die Integrale können mit Hilfe des Residuensatzes berechnet oder einer Formelsammlung bestimmt
werden. Es ergibt sich
−∞
M(t 0 ; γ, δ, ω) = − 4δ
3 + √ 2γπω sech( πω 2 ) sin ωt 0.
Ist
| 4δ
3 | < √ 2γπω sech( πω 2 ),
so besitzt M(t 0 ) einfache Nullstellen und es liegt ein transversaler Schnitt der stabilen und
instabilen Mannigfaltigkeit vor.
93

6.3 Silnikov-Chaos
In diesem Abschnitt betrachten wir eine autonome dreidimensionale Differentialgleichung, in
welcher eine homokline Trajektorie γ an einem Sattelpunkt mit komplexen Eigenwerten hängt.
Siehe Abbildung 32.
Abbildung 32: Das Silnikov-Beispiel.
Die Eigenwerte seien durch λ ∈ R, ω, ¯ω ∈ C mit Imω ≠ 0 gegeben. Silnikov [Sil65] hat 1965
folgendes gezeigt.
Theorem 6.23 Wenn |Reω| < λ, dann kann der Fluß φ t so gestört werden, dass der gestörte
Fluß ˜φ t einen homoklinen Orbit ˜γ nahe γ besitzt und die Wiederkehrabbildung (siehe unten)
auf einer Teilmenge zur Smaleschen Hufeisenabbildung konjugiert ist.
Beweisidee: Wir stören das Vektorfeld in der Nähe des Ursprungs so, dass ein lineares Vektorfeld
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ẋ α −β 0 x
⎝ ẏ ⎠ = ⎝ β α 0 ⎠ ⎝ y ⎠ ; ω = α + iβ (19)
ż 0 0 λ z
vorliegt. Die Lösungen sind durch
⎛ ⎞ ⎛
x e αt ⎞
((cos βt)x(0) − (sin βt)y(0))
⎝ y ⎠ (t) = ⎝ e αt ((sin βt)x(0) + (cos βt)y(0)) ⎠ (20)
z
e λt z(0)
gegeben. In der Nähe des Ursprungs wird die radiale Komponente r = √ x 2 + y 2 gedämpft,
während |z| anwächst. Wir definieren zwei Flächen
Σ 0 = {(x, y, z)|x 2 + y 2 = r 2 0 and 0 < z < z 1},
Σ 1 = {(x, y, z)|x 2 + y 2 < r 2 0 and z = z 1 > 0}
94

(x,y,z )
1
q
q
(r 0 θ ,z) p
p
Abbildung 33: Die Abbildungen ψ (links) und φ (rechts).
und setzen voraus, dass Σ 0 und Σ 1 in dem Bereich liegen, wo der Fluß linear ist. Die Lösungen
fließen von Σ 0 nach Σ 1 entsprechend Abbildung 33.
Wir berechnen nun die Abbildung ψ : Σ 0 → Σ 1 , die einem Punkt a ∈ Σ 0 den ersten Durchstoßpunkt
der dazugehörigen Lösung durch Σ 1 zuordnet. Dazu lösen wir z 1 = e λt z(0) nach t
auf. Wir erhalten t = λ −1 ln(z 1 /z(0)) als Flugzeit von Σ 0 nach Σ 1 . Damit ergibt sich
φ t (x, y, z) = (( z 1
z )α/λ [(cos γ)x − (sin γ)y], ( z 1
z )α/λ [(sin γ)x + (cos γ)y], z 1 ),
wobei γ = βλ −1 ln(z 1 /z). Mit x = r 0 cos θ und y = r 0 sin θ erhalten wir eine zweidimensionale
Abbildung ψ die den Koordinaten θ, z in Σ 0 die Koordinaten x, y in Σ 1 zuweist, genauer
ψ(θ, z) = (r 0 ( z 1
z )α/λ cos(θ + γ), r 0 ( z 1
z )α/λ sin(θ + γ))
= (ψ 1 (θ, z), ψ 2 (θ, z))
Die Abbildung ψ bildet vertikale Abschnitte θ = const. aus Σ 0 in eine logarithmische Spirale
in Σ 1 ab. Um die Streckung und Kontraktion der Abbildungen zu sehen, berechnen wir die
Ableitung zu
Diese kann als
Dψ(θ, z) =
Dψ(θ, z) = r 0 ( z (
1 cos γ
z )α/λ sin γ
( ∂ψ1
∂θ
∂ψ 2
∂θ
∂ψ 1
∂z
∂ψ 2
∂z
)
.
) ( − sin γ − sin θ
−α cos θ+β sin θ
)
λz
cos γ − cos θ
geschrieben werden. Damit ergibt sich
( )
αr0 2 det(Dψ) =
z2α/λ 1
z −(1+2α/λ) ,
λ
95
−α sin θ−β cos θ
λz

d.h. für z hinreichend klein, werden die Gebiete verkleinert, wenn 2α < −λ. Nach Voraussetzung
gilt −1 < α/λ < 0 und damit werden vertikale Streifen nach obiger Formel gestreckt.
Wir definieren nun eine Abbildung φ, welche eine Umgebung um q über die homokline Lösung
wieder in
˜Σ 0 = {(x, y, z) | x 2 + y 2 = r 2 0, |z| < z 0 }
transportiert. Siehe Abbildung 33. Die Wiederkehrabbildung definieren wir durch durch φ ◦ ψ
für alle Punkte r ∈ Σ 0 mit φ(ψ(r))∈Σ 0 . O.B.d.A. liege p auf der x-Achse, d.h. θ = 0. Definiere
dann
V = { (r, θ, z) | r = r 0 , |θ| ≤ δ, 0 < z < ɛ }.
Wähle W wie in Abbildung 34. Damit haben wir in der Wiederkehrabbildung eine Smalesche
φ(ψ( W)
W
z
p
θ
Hufeisenabbildung gefunden.
Abbildung 34: Die Hufeisen-Abbildung im Silnikov-Beispiel.
Bemerkung 6.24 Nach der obigen Konstruktion ist klar, dass abzählbar viele Hufeisenabbildungen
gefunden werden können.
6.4 Der Lorenz-Attraktor
Das vom Meteorologen Edward Lorenz [Lor63] aufgestellte Differentialgleichungssystem
ẋ = σ(y − x),
ẏ = ρx − y − xz,
ż = −bz + xy,
mit Parametern ρ = 27, σ = 10 und b = 2.66666 sollte ein einfaches Wettermodell darstellen.
Numerische Untersuchungen mittels eines Analogrechners führten zur Feststellung, dass eine
sensitive Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen vorliegt.
96

Wir wollen nun eine kurze Zusammenfassung des Bifurkationsszenarios dieser Gleichung geben
und so das Zustandekommen des chaotischen Verhaltens untersuchen. Siehe [GH83]. Wir
wählen den Parameter ρ als Bifurkationsparameter. und stellen fest, dass die z-Achse eine invariante
Menge ist und dass die Symmetrie (x, y, z) ↦→ (−x, −y, z) vorliegt. Für ρ < 1 ist der
Ursprung stabil. Jede Lösung konvergiert letztendlich in den Ursprung. Es existiert eine Lyapunovfunktion,
welche auch den Nachweis einer absorbierenden Menge für ρ > 1 erlaubt. Bei
ρ = 1 überquert ein reeller Eigenwert die imaginäre Achse, was wegen der Symmetrie zu einer
superkritischen Pitchforkbifurkation führt, d.h. zwei stabile Fixpunkte verzweigen aus dem
Ursprung.
Diese sind stabil bis zu einem Wert ρ = ρ Hopf ≈ 24.74. Hier findet eine superkritische Hopfbifurkation
statt, d.h. es verzweigen instabile periodische Lösungen, womit die lokale Bifurkationsanalyse
für ρ > ρ Hopf zu keiner stabilen Lösung mehr führt. Numerische Untersuchungen
ergeben, dass für ρ > 24.06 mit dem Lorenzattraktor eine weitere invariante stabile Menge
existiert.
Sie ist das Produkt einer homoklinen Explosion beim Wert ρ ≈ 13.926, d.h. das Produkt einer
globalen Bifurkation.
Diese kommt wie folgt zustande. Die zwei Äste S 1 und S 2 der instabilen Mannigfaltikeit des
Ursprungs sind jeweils mit den dreidimensionalen stabilen Mannigfaltigkeiten der bei ρ = 1
verzweigenden Fixpunkte x 1 und x 2 verbunden. Bei ρ ≈ 13.926 wechselt der Ast S 1 von x 1
zu x 2 und der Ast S 2 von x 2 zu x 1 . Im Bifurkationspunkt sind die zwei Äste S 1 und S 2 mit
der zweidimensionalen stabilen Mannigfaltigkeit des Ursprungs verbunden, d.h. es liegen zwei
homokline Verbindungen vor. Dieser Vorgang führt erneut zu komplizierter Dynamik und dem
Auftreten chaotischen Verhaltens. Wir sprechen von einer homoklinen Explosion [Wig88].
Der Nachweis, dass diese dann ab ρ ≈ 24.06 attraktive Menge tatsächlich chaotische Dynamik
enthält, gelang erst vor kurzem mittels eines computerunterstützten Beweises [Tuc02].
97

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