2 Modellierung von Wärmebrücken

I Kapitel Grundlagen
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Für den Fall, dass die Wärmeleitfähigkeit in allen Richtungen gleich ist, kann zur Vereinfachung
der Gleichung l vor die Ableitung gezogen und durch Division eliminiert
werden. Das Programm Psi-Therm berücksichtigt nur den stationären Berechnungsfall
mit homogenen Materialien. Diese Vereinfachung ist im Rahmen des Nachweises von
Wärmebrücken nach DIN EN ISO 10211 und DIN 4108 möglich. Es muss klar sein,
dass durch diese stationäre Betrachtung zum Beispiel der Einfluss der Wärmekapazität
auf den Wärmetransport durch das Bauteil vernachlässigt wird. Des Weiteren
werden im Psi-Therm keine Wärmequellen (q_E=0) berücksichtigt.
Für die weitere Betrachtung der Berechnung ist es erforderlich, sich über die Randbedingungen
klar zu werden, die zur numerischen Lösung der Wärmeleitungsgleichung
herangezogen werden. Psi-Therm nutzt dabei zwei Randbedingungen, die in der Literatur
auch als Neumann-Randbedingung und Robin-Randbedingung bezeichnet
werden. Die Neumann-Randbedingung wird für die Schnittebene in der Konstruktion
angewendet, was physikalisch mit der Annahme einer idealen Wärmeisolation für die
Schnittebene gleichzusetzen ist (adiabate Schnittebene). Außerhalb der gewählten
Schnittebene ist für die Wärmebrückenberechnung die Anwendung der Neumann-
Randbedingung nur dort sinnvoll, wo an ein Festkörper an einen anderen Festkörper
mit extrem niedriger Wärmeleitfähigkeit grenzt.
Was aber passiert, wenn Wärme von einem Festkörper (z.B. Baustoff) auf ein Gas
(z.B. Luft) übergeht? Aus der klassischen Bauphysik ist der Begriff des Wärmeübergangskoeffizienten
bzw. des Wärmeübergangswiderstandes bekannt. Für die Festlegung
der Randbedingungen am Übergang der Medien steht die Ausgangssituation,
dass die Temperatur an der Oberfläche des Festköpers unbekannt, die Temperatur
des umgebenden Mediums aber bekannt sein dürfte, da die allgemeinen Randbedingungen
für die Berechnung von Wärmebrücken eine solche Temperatur bereits vorgeben.
Diese Randbedingung wird in der Literatur oft als Randbedingung dritter Art oder
Robin-Randbedingung bezeichnet.
Die Berechnung der stationären Wärmeleitung erfolgt in Psi-Therm auf der Grundlage
des sogenannten Minimumsprinzips, was insbesondere bei der Berücksichtigung der
Methode der finiten Elemente Vorteile bringt und aus der Mechanik hergeleitet worden
ist. Das Minimumsprinzip ist eine zur Fourier-Wärmeleitungsdifferentialgleichung ranggleiche
Beschreibung von stationären Wärmeleitvorgängen. Auf eine Herleitung wird
hier verzichtet. Die sich aus dem Minimumsprinzip ergebende lineare Gleichungssystem
wird nach dem Verfahren der konjugierten Gradienten gelöst.
Das CG-Verfahren (von engl. conjugate gradients oder auch Verfahren der konjugierten
Gradienten) ist eine effiziente numerische Methode zur Lösung von großen, symmetrischen,
positiv definiten Gleichungssystemen der Form Ax = b. Es gehört zur Klasse
der Krylow-Unterraum-Verfahren. Das Verfahren liefert nach spätestens m Schritten
die exakte Lösung, wobei m die Dimension der quadratischen Matrix A ist. Insbesondere
ist es aber als iteratives Verfahren interessant, da der Fehler monoton fällt.
Das von Psi-Therm verwendete Verfahren befindet sich in Übereinstimmung mit dem
nach DIN EN ISO 10211 geforderten Lösungsverfahren. Unter Anwendung des Konti-
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