2 Modellierung von Wärmebrücken

3. Mathematische Grundlagen Psi-Therm
Körper an einem Ort (x,y,z) entsteht. Für die Berechnung von Wärmebrücken ist dies
beispielweise wichtig, wenn innerhalb einer Konstruktion eine Wärmequelle vorhanden
ist, die auf eine Volumeneinheit bezogen in W/m³ angegeben wird.
Aus Gleichung 19 und 20 resultiert nunmehr das Problem, beide mathematischen Zusammenhänge
so zu verbinden, dass möglichst eine daraus entstehen kann. Dazu
wird der Zusammenhang zwischen Temperatur und Wärmeenergie benötigt, der sich
physikalisch wie folgt darstellt:
Demnach ist die Änderung der Wärmeenergie eines Körpers definiert als Produkt seiner
Wärmekapazität und der vorhandenen Temperaturänderung. Damit stellt sich die
Änderung der Wärmeenergie je Zeiteinheit wie folgt dar:
[21]
[22]
Verbindet man nun diese gewonnenen Erkenntnisse zu einer einzigen Gleichung, so
erhält man die von Fourier aufgestellte Grundgleichung der Wärmeleitung:
[23]
Wir gehen davon aus, dass das Material homogen ist (was zugegebenermaßen auch
nicht für alle Baustoffe zutrifft, bei der Berechnung der Wärmebrücken aber zumeist
nicht zu berücksichtigen ist), was zu einer Vereinfachung der Gleichung 23 führt.
[24]
Um die Temperaturänderung zu erhalten, wird die Wärmekapazität im nächsten Schritt
durch Division auf die rechte Seite der Gleichung gebracht:
[25]
Der Quotient aus Wärmeleitfähigkeit und Wärmekapazität wird auch als Wärmeleitzahl
„a“ bezeichnet, die Summe innerhalb der Klammer wird auch LAPLACE-Operator genannt
und mit D vereinfacht.
Die Gleichung 25 gilt für den räumlichen und zeitlichen Verlauf der Temperatur und
lässt sich nur für Fälle mit einfachen Anfangs- und Randbedingungen geschlossen
integrieren.
Die erste Vereinfachung der Wärmeleitungsgleichung tritt mit der ausschließlichen Betrachtung
von stationären Zuständen ein. Für diesen Fall wird die Ableitung der Temperatur
nach der Zeit null, was zu folgender Differentialgleichung führt:
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