2 Modellierung von Wärmebrücken
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3. Mathematische Grundlagen Psi-Therm<br />
Körper an einem Ort (x,y,z) entsteht. Für die Berechnung <strong>von</strong> <strong>Wärmebrücken</strong> ist dies<br />
beispielweise wichtig, wenn innerhalb einer Konstruktion eine Wärmequelle vorhanden<br />
ist, die auf eine Volumeneinheit bezogen in W/m³ angegeben wird.<br />
Aus Gleichung 19 und 20 resultiert nunmehr das Problem, beide mathematischen Zusammenhänge<br />
so zu verbinden, dass möglichst eine daraus entstehen kann. Dazu<br />
wird der Zusammenhang zwischen Temperatur und Wärmeenergie benötigt, der sich<br />
physikalisch wie folgt darstellt:<br />
Demnach ist die Änderung der Wärmeenergie eines Körpers definiert als Produkt seiner<br />
Wärmekapazität und der vorhandenen Temperaturänderung. Damit stellt sich die<br />
Änderung der Wärmeenergie je Zeiteinheit wie folgt dar:<br />
[21]<br />
[22]<br />
Verbindet man nun diese gewonnenen Erkenntnisse zu einer einzigen Gleichung, so<br />
erhält man die <strong>von</strong> Fourier aufgestellte Grundgleichung der Wärmeleitung:<br />
[23]<br />
Wir gehen da<strong>von</strong> aus, dass das Material homogen ist (was zugegebenermaßen auch<br />
nicht für alle Baustoffe zutrifft, bei der Berechnung der <strong>Wärmebrücken</strong> aber zumeist<br />
nicht zu berücksichtigen ist), was zu einer Vereinfachung der Gleichung 23 führt.<br />
[24]<br />
Um die Temperaturänderung zu erhalten, wird die Wärmekapazität im nächsten Schritt<br />
durch Division auf die rechte Seite der Gleichung gebracht:<br />
[25]<br />
Der Quotient aus Wärmeleitfähigkeit und Wärmekapazität wird auch als Wärmeleitzahl<br />
„a“ bezeichnet, die Summe innerhalb der Klammer wird auch LAPLACE-Operator genannt<br />
und mit D vereinfacht.<br />
Die Gleichung 25 gilt für den räumlichen und zeitlichen Verlauf der Temperatur und<br />
lässt sich nur für Fälle mit einfachen Anfangs- und Randbedingungen geschlossen<br />
integrieren.<br />
Die erste Vereinfachung der Wärmeleitungsgleichung tritt mit der ausschließlichen Betrachtung<br />
<strong>von</strong> stationären Zuständen ein. Für diesen Fall wird die Ableitung der Temperatur<br />
nach der Zeit null, was zu folgender Differentialgleichung führt:<br />
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