elastischer/inelastischer Stoss
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VI. Elastischer / in<strong>elastischer</strong> Stoß<br />
Das klassische Beispiel für die Anwendung der Erhaltungssätze für<br />
kinematische Probleme ist der elastische Stoß von 2 Kugeln:<br />
v1<br />
v2<br />
' v 1<br />
v 2<br />
'<br />
m 1 m 2<br />
m 1 m 2<br />
vorher nachher<br />
Für dieses Problem wollen wir eine eindimensionale Bewegung<br />
auf einer Schiene annehmen, dann können wir die Erhaltungssätze<br />
skalar schreiben:<br />
1
Energiesatz:<br />
m<br />
2<br />
v<br />
+<br />
m<br />
2<br />
v<br />
=<br />
m<br />
2<br />
1 2 2 2 1 2 2 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
v2'<br />
Impulssatz:<br />
v<br />
'<br />
m<br />
+<br />
2<br />
mv1 + m2v2<br />
= m1v1'<br />
+ m2v2'<br />
Umformung:<br />
2 2<br />
2<br />
m<br />
1(v1<br />
− v1'<br />
) = m2(v2'<br />
−v<br />
(v − v ' ) = m (v ' v<br />
2<br />
2<br />
m1 1 1 2 2<br />
−<br />
2<br />
)<br />
)<br />
(1)<br />
(2)<br />
Man dividiert (1) durch (2) und erhält:<br />
v<br />
1<br />
(v<br />
1<br />
+<br />
v<br />
− v<br />
v<br />
1<br />
'<br />
2<br />
rel<br />
=<br />
v<br />
2<br />
) = −(v<br />
= −v<br />
+<br />
rel<br />
'<br />
v<br />
1<br />
2<br />
' −v<br />
' oder<br />
2<br />
') d.h.<br />
Das heißt, die Relativgeschwindigkeit kehrt einfach das Vorzeichen um<br />
(3)<br />
2
Man setzt (3) in (2) ein und erhält:<br />
m<br />
m<br />
−<br />
1<br />
2<br />
v<br />
1<br />
(v<br />
1<br />
−<br />
'(1 +<br />
v<br />
1<br />
m<br />
m<br />
1<br />
2<br />
'<br />
)<br />
=<br />
(v<br />
2<br />
) = −2v<br />
⇒<br />
' −<br />
2<br />
+<br />
v<br />
v<br />
2<br />
1<br />
) = −v<br />
(1 −<br />
m<br />
m<br />
2<br />
1<br />
2<br />
)<br />
+<br />
v<br />
1<br />
+<br />
v<br />
1<br />
' −v<br />
2<br />
v<br />
1<br />
' =<br />
m<br />
m<br />
1<br />
1<br />
−<br />
+<br />
m<br />
m<br />
2<br />
2<br />
v<br />
1<br />
+<br />
2m2<br />
m + m<br />
1<br />
2<br />
v<br />
2<br />
Genauso leitet man ab:<br />
v<br />
m<br />
−<br />
m<br />
2m<br />
2 1<br />
1<br />
2<br />
' = v<br />
2<br />
+ v1<br />
m1<br />
+ m<br />
2<br />
m1<br />
+ m<br />
2<br />
3
Beispiele:<br />
m<br />
1<br />
=<br />
m<br />
2<br />
und<br />
v<br />
2<br />
= 0 ⇒<br />
v'<br />
1<br />
= 0 und<br />
d.h. Kugeln tauschen Energie aus<br />
v'<br />
2<br />
=<br />
v<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
m1<br />
= m2<br />
und v2<br />
= 0 ⇒ v'<br />
1<br />
= − v1<br />
und v'<br />
2<br />
= v1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
Kugel 1 wird reflektiert mit 1/3 der Geschwindigkeit<br />
Beipiel-Experimente mit Ealing-Bahn<br />
Kugelspiel<br />
4
In<strong>elastischer</strong> Stoß<br />
Bei einem vollkommen inelastischen Stoß stoßen zwei Massen zusammen und<br />
bewegen sich nach dem Stoß, durch eine Klebung oder Ähnliches zusammengehalten,<br />
gemeinsam weiter.<br />
vorher nachher<br />
m 1<br />
v 1<br />
m 2<br />
v 2<br />
m 1 +m 2<br />
v´<br />
Klebung<br />
Hier gilt keine Energieerhaltung, der allgemeiner gültige Impulssatz bleibt<br />
jedoch weiterhin bestehen. Der Grund ist, daß die Klebung Energie, aber keinen<br />
gerichteten Impuls aufnehmen kann<br />
vorher:<br />
nachher:<br />
m 1 v 1 +m 2 v 2 = (m 1 +m 2 ) v´<br />
5
Experiment Ealing-Bahn<br />
Ealing-Bahn mit m 1 =m 2 =m und v 2 =0. Hier folgt dann v´=v 1 /2<br />
Energiebilanz?<br />
vorher:<br />
nachher:<br />
E kin = ½ m v 1<br />
2<br />
E kin = ½ 2m (½ v 1 ) 2 = ¼ m v 1<br />
2<br />
Das heißt, es “fehlt“ ein Betrag von ¼ m v 1<br />
2<br />
von der kinetischen Energie.<br />
Dieser Anteil steckt in der Deformationsenergie der Knete und in der Erwärmung.<br />
Das wichtigste Beispiel für die Ausnutzung des vollkommen inelastischen Stoßes ist die<br />
Bestimmung der Mündungsgeschwindigkeit einer Gewehrkugel. Die Kugel wird auf einen<br />
schweren Holzblock, befestigt auf einem Schlitten der Ealing-Bahn, geschossen, die<br />
Geschwindigkeit nach dem Schuss wird bequem mit Lichtschranken gemessen.<br />
vorher:<br />
m<br />
v 1<br />
M<br />
v 2<br />
=0<br />
nachher:<br />
m+M<br />
v´<br />
6
Es gilt dann nach dem Impulssatz<br />
vorher:<br />
nachher:<br />
m v = (m+M) v´<br />
Die Geschwindigkeit v´ nach dem Stoß kann bequem gemessen werden<br />
Experiment Ealing-Bahn<br />
M=650 g ; m =0.5 g<br />
v´=0.1m/0.36s=0.277m/s<br />
650.5⋅0.277<br />
m<br />
v =<br />
=<br />
0.5 s<br />
361m / s<br />
Man kann die Geschwindigkeit der Gewehrkugel v 1<br />
natürlich auch direkt messen.<br />
Wir verwenden dazu eine Anordnung mit zwei sich schnell drehenden Pappscheiben auf<br />
einer Achse ( Frequenz ν=30 Ηz) in einem Abstand s=0.4 m (siehe Abbildung unten).<br />
Die Gewehrkugel durchschlägt die beiden Scheiben zeitlich verzögert um die Zeitdifferenz<br />
Δt. Dazu gehört eine messbare Winkeldifferenz Δϕ<br />
Δt<br />
=<br />
Δϕ<br />
⋅<br />
360°<br />
1<br />
30<br />
s<br />
7
Δϕ<br />
ω<br />
s=0.4m<br />
Messwert Δϕ = 20°<br />
Δt<br />
v<br />
20°<br />
1<br />
= s = 1.85ms<br />
360°<br />
30<br />
s 0.4 3<br />
= 10 m<br />
Δt<br />
1.85 s<br />
1<br />
=<br />
=<br />
216m<br />
s<br />
Die gemessene Geschwindigkeit ist deutlich niedriger als bei dem inelastischen Stoß oben,<br />
weil die Kugel durch das Durchschlagen der ersten Scheibe Energie verliert, d.h. die<br />
indirekte Messmethode ist in diesem Fall wesentlich genauer.<br />
8
Ein wichtiges Beispiel für die Anwendung der Formel für den inelastischen Stoßes ist der<br />
Raketenantrieb (siehe Abbildung unten). Hier ruht die Rakete und der Treibstoff am Beginn,<br />
nach dem Verbrauch des gesamten Treibstoffs bewegen sich Rakete und Treibstoff in<br />
entgegengesetzter Richtung.<br />
M R<br />
M R<br />
v R<br />
v T<br />
Μ Τ<br />
Μ Τ<br />
vorher: nachher:<br />
0 = (M R v R + M T v T )<br />
Experiment Luft-Rakete mit und ohne Wasserfüllung<br />
MT<br />
vR<br />
− vT<br />
M<br />
= Mit Wasser ist v R wesentlich größer<br />
R<br />
9
Zusammenfassung<br />
Elastischer <strong>Stoss</strong>:<br />
Relativgeschwindigkeit<br />
Geschwindigkeit m 1 nach dem <strong>Stoss</strong><br />
Geschwindigkeit m 2 nach dem <strong>Stoss</strong><br />
v<br />
v<br />
v<br />
rel<br />
'<br />
= −v<br />
m<br />
rel<br />
−<br />
'<br />
m<br />
v<br />
2m<br />
1 2<br />
2<br />
1<br />
=<br />
1<br />
v2<br />
m1<br />
+ m2<br />
m1<br />
+ m2<br />
'<br />
m<br />
−<br />
m<br />
v<br />
2 1<br />
1<br />
2<br />
=<br />
2<br />
v1<br />
m1<br />
+ m<br />
2<br />
m1<br />
+ m<br />
2<br />
+<br />
+<br />
2m<br />
In<strong>elastischer</strong> <strong>Stoss</strong>:<br />
Geschwindigkeit nach dem <strong>Stoss</strong><br />
v' =<br />
m1v<br />
m<br />
1<br />
1<br />
+<br />
+<br />
m<br />
m<br />
2<br />
2<br />
v<br />
2<br />
10