elastischer/inelastischer Stoss

VI. Elastischer / inelastischer Stoß
Das klassische Beispiel für die Anwendung der Erhaltungssätze für
kinematische Probleme ist der elastische Stoß von 2 Kugeln:
v1
v2
' v 1
v 2
'
m 1 m 2
m 1 m 2
vorher nachher
Für dieses Problem wollen wir eine eindimensionale Bewegung
auf einer Schiene annehmen, dann können wir die Erhaltungssätze
skalar schreiben:
1

Energiesatz:
m
2
v
+
m
2
v
=
m
2
1 2 2 2 1 2 2 2
1
2
1
v2'
Impulssatz:
v
'
m
+
2
mv1 + m2v2
= m1v1'
+ m2v2'
Umformung:
2 2
2
m
1(v1
− v1'
) = m2(v2'
−v
(v − v ' ) = m (v ' v
2
2
m1 1 1 2 2
−
2
)
)
(1)
(2)
Man dividiert (1) durch (2) und erhält:
v
1
(v
1
+
v
− v
v
1
'
2
rel
=
v
2
) = −(v
= −v
+
rel
'
v
1
2
' −v
' oder
2
') d.h.
Das heißt, die Relativgeschwindigkeit kehrt einfach das Vorzeichen um
(3)
2

Man setzt (3) in (2) ein und erhält:
m
m
−
1
2
v
1
(v
1
−
'(1 +
v
1
m
m
1
2
'
)
=
(v
2
) = −2v
⇒
' −
2
+
v
v
2
1
) = −v
(1 −
m
m
2
1
2
)
+
v
1
+
v
1
' −v
2
v
1
' =
m
m
1
1
−
+
m
m
2
2
v
1
+
2m2
m + m
1
2
v
2
Genauso leitet man ab:
v
m
−
m
2m
2 1
1
2
' = v
2
+ v1
m1
+ m
2
m1
+ m
2
3

Beispiele:
m
1
=
m
2
und
v
2
= 0 ⇒
v'
1
= 0 und
d.h. Kugeln tauschen Energie aus
v'
2
=
v
1
1
1
2
m1
= m2
und v2
= 0 ⇒ v'
1
= − v1
und v'
2
= v1
2
3
3
Kugel 1 wird reflektiert mit 1/3 der Geschwindigkeit
Beipiel-Experimente mit Ealing-Bahn
Kugelspiel
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Inelastischer Stoß
Bei einem vollkommen inelastischen Stoß stoßen zwei Massen zusammen und
bewegen sich nach dem Stoß, durch eine Klebung oder Ähnliches zusammengehalten,
gemeinsam weiter.
vorher nachher
m 1
v 1
m 2
v 2
m 1 +m 2
v´
Klebung
Hier gilt keine Energieerhaltung, der allgemeiner gültige Impulssatz bleibt
jedoch weiterhin bestehen. Der Grund ist, daß die Klebung Energie, aber keinen
gerichteten Impuls aufnehmen kann
vorher:
nachher:
m 1 v 1 +m 2 v 2 = (m 1 +m 2 ) v´
5

Experiment Ealing-Bahn
Ealing-Bahn mit m 1 =m 2 =m und v 2 =0. Hier folgt dann v´=v 1 /2
Energiebilanz?
vorher:
nachher:
E kin = ½ m v 1
2
E kin = ½ 2m (½ v 1 ) 2 = ¼ m v 1
2
Das heißt, es “fehlt“ ein Betrag von ¼ m v 1
2
von der kinetischen Energie.
Dieser Anteil steckt in der Deformationsenergie der Knete und in der Erwärmung.
Das wichtigste Beispiel für die Ausnutzung des vollkommen inelastischen Stoßes ist die
Bestimmung der Mündungsgeschwindigkeit einer Gewehrkugel. Die Kugel wird auf einen
schweren Holzblock, befestigt auf einem Schlitten der Ealing-Bahn, geschossen, die
Geschwindigkeit nach dem Schuss wird bequem mit Lichtschranken gemessen.
vorher:
m
v 1
M
v 2
=0
nachher:
m+M
v´
6

Es gilt dann nach dem Impulssatz
vorher:
nachher:
m v = (m+M) v´
Die Geschwindigkeit v´ nach dem Stoß kann bequem gemessen werden
Experiment Ealing-Bahn
M=650 g ; m =0.5 g
v´=0.1m/0.36s=0.277m/s
650.5⋅0.277
m
v =
=
0.5 s
361m / s
Man kann die Geschwindigkeit der Gewehrkugel v 1
natürlich auch direkt messen.
Wir verwenden dazu eine Anordnung mit zwei sich schnell drehenden Pappscheiben auf
einer Achse ( Frequenz ν=30 Ηz) in einem Abstand s=0.4 m (siehe Abbildung unten).
Die Gewehrkugel durchschlägt die beiden Scheiben zeitlich verzögert um die Zeitdifferenz
Δt. Dazu gehört eine messbare Winkeldifferenz Δϕ
Δt
=
Δϕ
⋅
360°
1
30
s
7

Δϕ
ω
s=0.4m
Messwert Δϕ = 20°
Δt
v
20°
1
= s = 1.85ms
360°
30
s 0.4 3
= 10 m
Δt
1.85 s
1
=
=
216m
s
Die gemessene Geschwindigkeit ist deutlich niedriger als bei dem inelastischen Stoß oben,
weil die Kugel durch das Durchschlagen der ersten Scheibe Energie verliert, d.h. die
indirekte Messmethode ist in diesem Fall wesentlich genauer.
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Ein wichtiges Beispiel für die Anwendung der Formel für den inelastischen Stoßes ist der
Raketenantrieb (siehe Abbildung unten). Hier ruht die Rakete und der Treibstoff am Beginn,
nach dem Verbrauch des gesamten Treibstoffs bewegen sich Rakete und Treibstoff in
entgegengesetzter Richtung.
M R
M R
v R
v T
Μ Τ
Μ Τ
vorher: nachher:
0 = (M R v R + M T v T )
Experiment Luft-Rakete mit und ohne Wasserfüllung
MT
vR
− vT
M
= Mit Wasser ist v R wesentlich größer
R
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Zusammenfassung
Elastischer Stoss:
Relativgeschwindigkeit
Geschwindigkeit m 1 nach dem Stoss
Geschwindigkeit m 2 nach dem Stoss
v
v
v
rel
'
= −v
m
rel
−
'
m
v
2m
1 2
2
1
=
1
v2
m1
+ m2
m1
+ m2
'
m
−
m
v
2 1
1
2
=
2
v1
m1
+ m
2
m1
+ m
2
+
+
2m
Inelastischer Stoss:
Geschwindigkeit nach dem Stoss
v' =
m1v
m
1
1
+
+
m
m
2
2
v
2
10