Algorithmen und Datenstrukturen

Was bisher geschah
rekursive Datenstrukturen:
◮ lineare Datenstrukturen: Liste, Stack, Queue
◮ hierarchische Datenstrukturen: Bäume
◮ allgemeine Bäume
◮ Binäre Bäume
◮ Unäre Bäume = Listen
Höhe eines Knotens in t: Abstand (Kantenzahl) zur Wurzel
Höhe hoehe(t) des Baumes t: maximale Knotenhöhe in t
Größe size(t) des Baumes t: Anzahl aller Knoten in t
◮ Binäre Suchbäume:
Binäre Bäume mit aufsteigend sortierter Inorder-Folge aller
Schlüssel
(Schlüsselwerte aus einer total geordneten Menge)
Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen: O(hoehe(t))
122

Balancierte binäre Suchbäume
Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen in Baum t mit n Knoten:
O(hoehe(t))
Ziel: Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen O(log(n))
Idee: balancierte Suchbäume, in denen die Höhe jedes Blattes
(etwa) gleich ist
123

Vollständig balancierte Bäume
Binärer Suchbaum t heißt vollständig balanciert, wenn in jedem
Knoten Node(x, l, r) in t gilt:
|size(l) − size(r)| ≤ 1
Tiefe jedes Knotens ≤ ⌊log(n)⌋ + 1
Beispiel (Tafel)
124

Operationen in vollständig balancierten Bäumen
◮ Suche O(log(n))
◮ Einfügen und Löschen:
zunächst Einfüge- und Löschoperation für binäre
Suchbäume
danach muss vollständige Balance wieder hergestellt
werden (Rebalacieren)
i.A. aufwendig
125

AVL-Bäume
(Adelson-Velskii, Landis, 1962)
Binärer Suchbaum t heißt AVL-Baum, wenn in jedem Knoten
Node(x, l, r) in t gilt:
|hoehe(l) − hoehe(r)| ≤ 1
(AVL-Eigenschaft)
Optimierung: Speichern der Balance hoehe(l) − hoehe(r) in
jedem Knoten erlaubt schnellen Test
◮ Suche O(log(n))
◮ Einfügen und Löschen:
zunächst Einfügeoperationen für binäre Suchbäume
danach Wiederherstellung der AVL-Eigenschaft
126

Rebalacieren in AVL-Bäumen
nach Einfügen (als neues Blatt) oder
Löschen (Ersetzen durch einziges Kind oder Minimum im
rechten Teilbaum)
Verletzung der AVL-Eigenschaft im Knoten (x, l, r) mit
|hoehe(l) − hoehe(r)| = 2
evtl. Verletzung in mehreren Vorgängern des eingefügten
Knotens
Fälle:
◮ hoehe(l) = hoehe(r)
nach Einfügen keine Verletzung der AVL-Eigenschaft
◮ hoehe(l) = hoehe(r) + 1
◮ nach Einfügen in l keine Verletzung der AVL-Eigenschaft
◮ nach Einfügen in r evtl. Verletzung der AVL-Eigenschaft
◮ hoehe(l) + 1 = hoehe(r)
◮ nach Einfügen in r keine Verletzung der AVL-Eigenschaft
◮ nach Einfügen in l evtl. Verletzung der AVL-Eigenschaft
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(Einfache) Rotation in AVL-Bäumen
bei Verletzungen der AVL-Eigenschaft im tiefsten Knoten k der
Form
k = Node(x, Node(y, l, r), s)
mit hoehe(l) − 1 = hoehe(r) = hoehe(s)
(Markierung von x: −2, Markierung von y: −)
Ersetzung durch lrotate(k) = Node(y, l, Node(x, r, s))
(Linksrotation)
analog:
Verletzungen der AVL-Eigenschaft im tiefsten Knoten k der
Form
k = Node(x, l, Node(y, r, s))
mit hoehe(l) = hoehe(r) = hoehe(s) − 1
(Markierung von x: +2, Markierung von y: +)
Ersetzung durch rrotate(k) = Node(y, Node(x, l, r), s)
(Rechtsrotation)
128

Doppel-Rotation in AVL-Bäumen
bei Verletzungen der AVL-Eigenschaft im tiefsten Knoten der
Form
Node(x, Node(y, l, Node(z, r, s)), t) mit (Markierungen x: −2, y:
+)
Ersetzung durch
lrrotate(k) = Node(z, Node(y, l, r), Node(x, s, t))
Links-Rechts-Rotation:
zwei aufeinanderfolgende Rotationen: (y, z), danach (x, z)
symmetrischer Fall:
Node(x, t, Node(y, Node(z, l, r), s)) mit (Markierungen x: +2, y:
−)
Ersetzung durch
rlrotate(k) = Node(z, Node(x, t, l), Node(y, r, s))
Rechts-Links-Rotation: (y, z), danach (x, z)
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Laufzeit der Operationen in AVL-Bäumen
Rebalancieren (Rotationen): O(1)
Tiefe von AVL-Bäumen mit n Knoten: O(log(n))
◮ Suche: O(log(n))
◮ Einfügen: O(log(n))
◮ Löschen: O(log(n))
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