7. Klasse - HCA-Gymnasium

I. Algebra
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
1) Rationale Zahlen
22
• negative Zahlen z. B. -7; -3,5; −
7
⎧ x für x > 0
⎪
• Absolutbetrag z. B. − 3 = 3 ; 5 = 5 allg.: x = ⎨ 0 für x = 0
⎪
⎩ − x für x < 0
• die vier Grundrechenarten mit rationalen Zahlen
• Rechengesetze (Assoziativ-, Kommutativ-, Distributiv-Gesetz)
a + ( b + c) = ( a + b)
+ c a ⋅ ( b ⋅ c) = ( a ⋅ b)
⋅ c Assoziativ-Gesetz der Addition bzw. Multiplikation
2) Terme
a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a Kommutativ-Gesetz der Addition bzw.
Multiplikation
a ⋅ ( b + c)
= a ⋅ b + a ⋅ c Distributiv-Gesetz
Einfache Termumformungen
• Einsetzen in Terme
• Ausmultiplizieren und Ausklammern
• binomische Formeln (1) ( ) 2 2 2
a + b = a + 2ab + b ; (2) ( ) 2 2 2
− = − 2 +
a b a ab b ;
2 2
(3) ( a + b) ⋅ ( a − b) = a − b
Beispiele:
a + b ⋅ c + d = ac + ad + bc + bd Klammern auflösen durch Ausmultiplizieren
( ) ( )
( )
2
2x + x − ax = x ⋅ 2 + x − a
Ausklammern des gemeinsamen Faktors x
( )
3 2 2 2
6 ⋅ a ⋅ b − 3⋅ a b = 3⋅ a b ⋅ 2ab
− 1 Ausklammern des gemeinsamen Faktors 2
3 ⋅ a b
3) Lösen von linearen Gleichungen und Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen
Das Ziel aller Äquivalenzumformungen ist es, die einfachste Gleichung oder Ungleichung möglichst rasch
herzustellen.
Als Äquivalenzumformungen stehen zur Verfügung:
- Termvereinfachungen; Klammern auflösen; Terme zusammenfassen; Werte von Zahlenterme berechnen; Kürzen usw.
- Beidseitige Addition bzw. Subtraktion von Zahlen oder Termen mit Variablen. (Die Variable darf nur noch auf einer Seite der
Aussageform vorkommen.)
- Beidseitige Multiplikation bzw. Division mit positiven Zahlen.
- Beidseitige Multiplikation bzw. Division mit negativen Zahlen. Dabei muss man bei Ungleichungen gleichzeitig das
Ungleichungszeichen umkehren.
Beispiel für eine Gleichung:
5 x − ( 3 − 5 x) = 8( x + 4)
10 x − 3 = 8 x + 32 | + 3 − 8x
2 x = 35 |:2
{ }
x = 17,5 ⇒ L = 17,5
4) Lösen von Textaufgaben (x-Ansatz)
Beispiel für eine Ungleichung:
− 11x
+ 3 < 7
− 11x
< 4 |:( − 11) (!)
4 ⎤ 4 ⎡
x > − ⇒ L = ;
11 ⎥
− ∞
⎦ 11 ⎢
⎣

II. Geometrie
Grundbegriffe
• Gerade AB , Strecke [ AB ] , Streckenlänge AB
• Kreis um M mit Radius r
• Parallel (Parallele Geraden haben gleiche Richtung, schneiden sich nicht): g || k
• Senkrecht (Lot, o
90 − Winkel ): g ⊥ h
Lotfußpunkt F eines Punktes P auf eine Gerade g ist der Geradenpunkt mit der kürzesten Entfernung
von P .
Winkelbeziehungen
o
• an sich schneidenden Geraden (Scheitelwinkel sind gleich groß, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180 )
• an Doppelkreuzungen mit parallelen Geraden (F-Winkel oder Stufenwinkel, Z-Winkel oder
Wechselwinkel, E-Winkel oder Nachbarwinkel)
o
o
• bei Drei- und Vierecken (Innenwinkel, Außenwinkel, Innenwinkelsumme = 180 bzw. 360 )
Symmetrie und Kongruenz von Figuren
• Achsensymmetrie (Winkel und Streckenlängen bleiben unverändert)
• Punktsymmetrie (Winkel und Streckenlängen bleiben unverändert)
• Rotation (Drehung) und Translation (Verschiebung)
• Kongruenzsätze für Dreiecke (SSS, SWS, WSW (SWW), SsW)
Dreiecke
• Winkelübertragung, Konstruktion besonderer Winkel ( o o
90 , 60 ,
o
45 ;
o
30 …, aber auch
o
120 ;
o
105 )
• Transversalen (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Höhe) und ihre Schnittpunkte (Umkreis- und
Inkreismittelpunkt, Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt)
• Satz von Thales
• Besondere Dreiecke und ihre charakterisierende Eigenschaften
(Gleichschenklig, Gleichseitig, Rechtwinklig)
• Dreieckskonstruktion (Planfigur, Konstruktion und Konstruktionsbeschreibung)