FR lässt sich jetzt mit dem Cosinus-Satz berechnen: FR 2 = F1 + F2 ...

Winkelfunktionen Seite 15
5.1 (Die Abbildung 3 ist nicht maßstabstreu!)
a = c = 5,2 cm; b = d = 3,8 cm; ß = 125,0° ; γ = 180° - ß = 55,0° .
Der Cosinus-Satz hilft.
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|AC| = e = √ a 2 + b 2 - 2 a b cos ß
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= √ ( 5,2 cm) 2 + ( 3,8 cm) 2 - 2 * 5,2 cm * 3,8 cm cos 125,0°
= 8,01 cm
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|BD| = f = √ a 2 + b 2 - 2 a b cos γ
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= √ ( 5,2 cm) 2 + ( 3,8 cm) 2 - 2 * 5,2 cm * 3,8 cm cos 55,0°
= 4,34 cm
Flächeninhalt A :
A = a b sin ß = 5,2 cm * 3,8 cm * sin 55,0° = 16,19 cm 2 .
5.2 Die Diagonalen im Parallelogramm halbieren sich gegenseitig. Daher gilt nach
Cosinus-Satz und Kürzen im Nenner:
b 2 - ( e 2 / 4 + f 2 / 4)
cos δ = -----------------------------
- e * f / 2
( 3,8 cm) 2 - ( ( 8,01 cm) 2 / 4 + ( 4,34 cm) 2 )
= --------------------------------------------------------------- = 0,3627
- 8,01 cm * 4,34 cm / 2 .
δ = 68,7°
Nach Gl. ( * ) : A = ½ e f sin δ = ½ * 8,01 cm * 4,34 cm sin 68,7°
= 16,19 cm 2
Das Ergebnis stimmt mit demjenigen aus Nr. 5.1 exakt überein.