FR lässt sich jetzt mit dem Cosinus-Satz berechnen: FR 2 = F1 + F2 ...

Winkelfunktionen Seite 14
F R lässt sich jetzt mit dem Cosinus-Satz berechnen:
F R2 = F 1
2
+ F 2
2
- 2 F 1 F 2 cos γ
____________________________________________________________________________________________
F R = √ ( 9,4 N ) 2 + ( 12,2 N ) 2 - 2 * 9,4 N * 12,2 N cos 122° = 18,9 N
Erneute Anwendung des Cosinus-Satzes liefert den Winkel ß:
F 1
2
- ( F 2
2
+ F R
2
) (9,4 N) 2 - (( 12,2 N) 2 + (18,9 N ) 2 )
cos ß = ------------------------- = ------------------------------------------------ = 0,9071
- 2 F 2 F R - 2 * 12,2 N * 18,9 N
ß = 24,9°
4.3 Siehe Abb. 2. Man liest ab F R = 19,0 N in guter Übereinstimmung mit dem Ergebnis
unter 4.2. Für ß findet man: ß = 24,5°. Auch dieses Ergebnis zeigt gute
Übereinstimmung mit dem Winkel unter Nr. 4.2.
*
Aufgaben zum (freiwilligen) Üben mit Lösungen
(Ü 5) In einem Parallelogramm ABCD ist |AB| = 5,2 cm, |BC| = 3,8 cm und der Winkel
ABC = 125,0 ° (Winkel bei B).
5.1 Berechne die Längen der beiden Diagonalen sowie den Flächeninhalt A des Parallelogramms.
5.2 Ist δ der "spitze" Winkel zwischen den beiden Diagonalen, so gilt
Lösung:
( * ) A = ½ e f sin δ .
Dabei ist e = AC und f = BD. Begründe Gleichung ( * ) am Beispiel 5.1.
Anmerkung: Die Gleichung gilt auch mit dem "stumpfen" Winkel ε zwischen den
Diagonalen; denn δ = 180° - ε und sin δ = sin(180° - ε ) = sin ε .
Abb. 3

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5.1 (Die Abbildung 3 ist nicht maßstabstreu!)
a = c = 5,2 cm; b = d = 3,8 cm; ß = 125,0° ; γ = 180° - ß = 55,0° .
Der Cosinus-Satz hilft.
_____________________________________
|AC| = e = √ a 2 + b 2 - 2 a b cos ß
_________________________________________________________________________________________________
= √ ( 5,2 cm) 2 + ( 3,8 cm) 2 - 2 * 5,2 cm * 3,8 cm cos 125,0°
= 8,01 cm
_____________________________________
|BD| = f = √ a 2 + b 2 - 2 a b cos γ
_________________________________________________________________________________________________
= √ ( 5,2 cm) 2 + ( 3,8 cm) 2 - 2 * 5,2 cm * 3,8 cm cos 55,0°
= 4,34 cm
Flächeninhalt A :
A = a b sin ß = 5,2 cm * 3,8 cm * sin 55,0° = 16,19 cm 2 .
5.2 Die Diagonalen im Parallelogramm halbieren sich gegenseitig. Daher gilt nach
Cosinus-Satz und Kürzen im Nenner:
b 2 - ( e 2 / 4 + f 2 / 4)
cos δ = -----------------------------
- e * f / 2
( 3,8 cm) 2 - ( ( 8,01 cm) 2 / 4 + ( 4,34 cm) 2 )
= --------------------------------------------------------------- = 0,3627
- 8,01 cm * 4,34 cm / 2 .
δ = 68,7°
Nach Gl. ( * ) : A = ½ e f sin δ = ½ * 8,01 cm * 4,34 cm sin 68,7°
= 16,19 cm 2
Das Ergebnis stimmt mit demjenigen aus Nr. 5.1 exakt überein.

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(Ü 6) Eine Seilbahn führt von einer Talstation
T über eine Zwischenstation Z zu
einer Bergstation B (Fig. 3). Die durchschnittlichen
Neigungswinkel des Seiles
sind α = 26° und ß = 37°, die Berstation
wird von der Talstation aus unter dem
Erhebungswinkel γ = 33° gesehen. Wie
hoch liegt die Bergstation oberhalb der
Talstation, wenn die Bergstation 450 m
über der Zwischenstation liegt?
Lösung: Die Lösung fällt umständlich aus, da wir noch nicht den sog. Sinus-Satz
kennen.
Abb. 4
Wir berechnen h 1 mithilfe von x und y.
h 450 m
( 1 ) x = -------- = ----------- = 597,17 m .
tan ß tan 37°
h 1
( 2 ) tan α = ------- und
y
h + h 1 h + y tan α
( 3 ) tan γ = ----------- = -------------------- =>
x + y (2) x + y
(x + y) tan γ = h + y tan α oder x tan γ + y tan γ = h + y tan α =>
y (tan γ - tan α ) = h - x tan γ
bzw.

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h - x tan γ 450 m - 597,17 m tan 33°
y = ----------------- = ----------------------------------------- = 384,68 m .
tan γ - tan α tan 33° - tan 26°
Aus ( 2 ) folgt: h 1 = y tan α
= 384,68 m tan 26° = 187,62 m ≈ 188 m
Die Bergstation liegt über der Talstation in der Höhe
H = h + h 1 = 450 m + 188 m = 638 m .
*

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(Aufgaben / aus Spektrum der Mathematik, Band 10)

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Deyke 2012-09-17