Elementare Zahlentheorie und Kryptographie
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X = x 1 · · · x N der Länge N wird verschlüsselt zu<br />
E(k, X ) = rot k1 (x 1 ) · · · rot ks (x s )rot k1 (x s+1 ) · · · rot ks (x 2s ) · · · ,<br />
d.h. auf jeden der Buchstaben wird eine der Shiftabbildungen angewendet, <strong>und</strong><br />
zwar wird der n-ten Buchstabe x n mit rot kr verschlüsselt, wenn r der Rest der<br />
Division n ÷ s ist.<br />
Beispiel: Um zukünftig mit der Vigenère-Chiffre kommunizieren zu können, haben<br />
Alice <strong>und</strong> Bob bei einem persönlichen Treffen den Schlüssel k = (1, 2, 25) (also<br />
Schlüssellänge s = 3) vereinbart. Bob möchte nun die Phrase “HALLOALICE”<br />
verschlüsseln. Dazu schreibt er wiederholt den Schlüsselvektor unter den Klartext<br />
<strong>und</strong> verschiebt dann jeden Buchstaben des Klartextes um so viele Positionen<br />
im Alphabet, wie es die darunterstehende Zahl vorgibt:<br />
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Klartext H A L L O A L I C E<br />
⊕ Schlüssel 1 2 25 1 2 25 1 2 25 1<br />
Geheimtext I C K M Q Z M K B F<br />
Der Geheimtext ist also E(k, HALLOALICE) = ICKMQZMKBF .<br />
□<br />
Die Entschlüsselungs-Abbildung der Vigenère-Chiffre ist durch<br />
D(k, Y) = rot −k1 (y 1 ) · · · rot −ks (y s )rot −k1 (y s+1 ) · · · rot −ks (y 2s ) · · ·<br />
(Y = (y 1 , y 2 , · · ·) ein Geheimtext) definiert. Offenbar gilt dann D(k, E(k, X )) =<br />
X für alle X ∈ A ∗ <strong>und</strong> alle k ∈ K, d.h. (P, C, K, E, D) ist in der Tat ein Private-<br />
Key-System<br />
Beispiel: Wenn Alice eines Tages die Nachricht “NCW LQLNV IF V Y U” von<br />
Bob erhält, dann berechnet sie D(k, Y) nach dem Muster<br />
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13<br />
Geheimtext N C W L Q L N V I F V Y U<br />
⊖ Schlüssel 1 2 25 1 2 25 1 2 25 1 2 25 1<br />
Klartext M A X K O M M T J E T Z T<br />
<strong>und</strong> weiß Bescheid.<br />
□<br />
Der Schlüsselraum der s-Vigenère-Chiffre hat |K| = 26 s Elemente. Es handelt<br />
sich also um einen log 2 (26 s ) = 4.7s-Bit Schlüssel. Für s = 20 sind das 94 Bit,<br />
<strong>und</strong> das ist recht viel. Zum Vergleich: DES hat einen 56-Bit Schlüssel 6 <strong>und</strong><br />
galt bis in die 90er Jahre als sicher. Die Größe des Schlüsselraumes ist aber<br />
nur eine der sicherheitsrelevanten Merkmale eines Verschlüsselungsalgorithmus,<br />
das angibt, wie lange ein Brute-Force-Angriff, d.h. das gesamte Absuchen des<br />
Schlüsselraumes dauern würde. Wir werden sehen, dass es wesentlich intelligentere<br />
Angriffe auf die s-Vigenere-Chiffre gibt, zumindest wenn das Verhältnis<br />
Textlänge zu Schlüssellänge klein ist.<br />
Die Caesar-Chiffre ist die Vigenère-Chiffre zur Schlüssellänge 1 (d.h. der<br />
Schlüssel hat nur 4.7 Bit!). Sie soll schon im alten Rom verwendet worden sein.<br />
6 Es gibt Varianten mit 128 Bit.<br />
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