Elementare Zahlentheorie und Kryptographie

3. Für b, c ∈ N ungerade und u ∈ Z gilt ( u
bc)
=
( u
b
) ( u
c
)
. Dies folgt leicht aus
der Definition des Jacobi-Symbols.
4. Wenn a nicht zu b teilerfremd ist, dann gilt ( a
b
)
= 0.
Sei a ∈ (Z/b) × . Wenn a ein Quadrat ist, d.h. wenn a = x 2 für ein x ∈ (Z/b) ×
gilt, dann wird ( ) (
a
b = x
) 2
b = +1 gelten. Wenn b keine Primzahl ist, dann
kann die Umkehrung dieser Aussage falsch sein!
Beispiel: Ferner gilt F ×2
3 = {[1] 3 } und F ×2
5 = {[1] 5 , [4] 5 }. Z.B. gilt nun ( 2
( 15)
=
2
) ( 2
)
3 5 = (−1)(−1) = +1. Wir haben zweimal den Ergänzungssatz verwendet.
Wir rechnen in (Z/15) × . Wir berechnen die Quadrate in (Z/15) × .
x [1] [2] [4] [7] [8] [11] [13] [14]
x 2 [1] [4] [1] [4] [4] [1] [4] [1]
.
Man sieht: [2] /∈ (Z/15) ×2 , obwohl ( 2
15)
= +1
Wie berechnet man ( ) (
82
15 ? Wegen 82 = 2 mod 5 und 82 = 1 mod 3 gilt 81
( 2
) ( 1
)
5 3 = (−1)(+1) = −1.
15)
=
6.2 Das Reziprozitätsgesetz von Gauß
Wir kommen zu dem zentralen Satz über Jacobi-Symbole.
Satz 6.2.1 (Reziprozitätsgesetz von Gauß) Seien n, m ≥ 3 zwei ungerade
Zahlen. Dann gilt
( m
) (n−1)(m−1) (
n = (−1) 4 n
)
m .
Man beachte: Da n, m ungerade sind muß sowohl n − 1 als auch m − 1 gerade
sein und daher ist (n − 1)(m − 1) durch 4 teilbar.
Satz 6.2.2 (Ergänzungssatz) Sei b ≥ 3 ungerade.
1. ( )
1
b = +1.
2. ( {
) b−1
−1
b = (−1) 2
+1 b = 1 mod 4
=
−1 b = 3 mod 4 .
3. ( {
) b 2
b = (−1) 2 −1
8
+1 b = ±1 mod 8
=
. Beachte: Weil b ungerade ist
−1 b = ±3 mod 8
und (Z/8) 2 = {[1] 8 } gilt (siehe 6.1.1) muß b 2 − 1 durch 8 teilbar sein.
Das Reziprozitätsgesetz ist das tiefste zahlentheoretische Resultat, das in dieser
Vorlesung behandelt wird. Es hat zahllose theoretische und praktische Anwendungen.
Die für uns wichtigste Anwendung besteht in Algorithmen für die
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