Elementare Zahlentheorie und Kryptographie
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3. Für b, c ∈ N ungerade <strong>und</strong> u ∈ Z gilt ( u<br />
bc)<br />
=<br />
( u<br />
b<br />
) ( u<br />
c<br />
)<br />
. Dies folgt leicht aus<br />
der Definition des Jacobi-Symbols.<br />
4. Wenn a nicht zu b teilerfremd ist, dann gilt ( a<br />
b<br />
)<br />
= 0.<br />
Sei a ∈ (Z/b) × . Wenn a ein Quadrat ist, d.h. wenn a = x 2 für ein x ∈ (Z/b) ×<br />
gilt, dann wird ( ) (<br />
a<br />
b = x<br />
) 2<br />
b = +1 gelten. Wenn b keine Primzahl ist, dann<br />
kann die Umkehrung dieser Aussage falsch sein!<br />
Beispiel: Ferner gilt F ×2<br />
3 = {[1] 3 } <strong>und</strong> F ×2<br />
5 = {[1] 5 , [4] 5 }. Z.B. gilt nun ( 2<br />
( 15)<br />
=<br />
2<br />
) ( 2<br />
)<br />
3 5 = (−1)(−1) = +1. Wir haben zweimal den Ergänzungssatz verwendet.<br />
Wir rechnen in (Z/15) × . Wir berechnen die Quadrate in (Z/15) × .<br />
x [1] [2] [4] [7] [8] [11] [13] [14]<br />
x 2 [1] [4] [1] [4] [4] [1] [4] [1]<br />
.<br />
Man sieht: [2] /∈ (Z/15) ×2 , obwohl ( 2<br />
15)<br />
= +1<br />
Wie berechnet man ( ) (<br />
82<br />
15 ? Wegen 82 = 2 mod 5 <strong>und</strong> 82 = 1 mod 3 gilt 81<br />
( 2<br />
) ( 1<br />
)<br />
5 3 = (−1)(+1) = −1.<br />
15)<br />
=<br />
6.2 Das Reziprozitätsgesetz von Gauß<br />
Wir kommen zu dem zentralen Satz über Jacobi-Symbole.<br />
Satz 6.2.1 (Reziprozitätsgesetz von Gauß) Seien n, m ≥ 3 zwei ungerade<br />
Zahlen. Dann gilt<br />
( m<br />
) (n−1)(m−1) (<br />
n = (−1) 4 n<br />
)<br />
m .<br />
Man beachte: Da n, m ungerade sind muß sowohl n − 1 als auch m − 1 gerade<br />
sein <strong>und</strong> daher ist (n − 1)(m − 1) durch 4 teilbar.<br />
Satz 6.2.2 (Ergänzungssatz) Sei b ≥ 3 ungerade.<br />
1. ( )<br />
1<br />
b = +1.<br />
2. ( {<br />
) b−1<br />
−1<br />
b = (−1) 2<br />
+1 b = 1 mod 4<br />
=<br />
−1 b = 3 mod 4 .<br />
3. ( {<br />
) b 2<br />
b = (−1) 2 −1<br />
8<br />
+1 b = ±1 mod 8<br />
=<br />
. Beachte: Weil b ungerade ist<br />
−1 b = ±3 mod 8<br />
<strong>und</strong> (Z/8) 2 = {[1] 8 } gilt (siehe 6.1.1) muß b 2 − 1 durch 8 teilbar sein.<br />
Das Reziprozitätsgesetz ist das tiefste zahlentheoretische Resultat, das in dieser<br />
Vorlesung behandelt wird. Es hat zahllose theoretische <strong>und</strong> praktische Anwendungen.<br />
Die für uns wichtigste Anwendung besteht in Algorithmen für die<br />
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