Elementare Zahlentheorie und Kryptographie
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Beweis: Sei m := (p − 1)/2 <strong>und</strong> g ∈ F × p<br />
mit [a] = g k . Daher gilt [a] m = g km .<br />
eine Primitivwurzel. Es gibt ein k ∈ Z<br />
(a m ) 2 = a p−1 = 1 mod p nach dem kleinen Satz von Fermat, <strong>und</strong> da F p ein<br />
Körper ist folgt daraus a m = 1 mod p oder a m = −1 mod p (∗).<br />
( )<br />
Wenn = 1 gilt, dann ist k nach obiger Bemerkung gerade, k = 2k ′ , <strong>und</strong><br />
a<br />
p<br />
[a] m = g 2k′m = (g k′ ) p−1 = [1] nach dem kleinen Satz von Fermat.<br />
( )<br />
Wenn = −1 gilt, dann ist k ungerade <strong>und</strong> km kann nicht durch ord(g) = p−<br />
a<br />
p<br />
1 = 2m teilbar sein. Also ist [a] m = g km ≠ [1] <strong>und</strong> mit (∗) folgt a m = −1 mod p.<br />
( )<br />
In jedem Fall gilt also a m = mod p.<br />
a<br />
p<br />
Sei nun u, v ∈ F × p . Wenn u = 0 oder v = 0 gilt, dann sind beide Seiten der<br />
( ) ( ) ( )<br />
uv u v<br />
Gleichung<br />
p<br />
=<br />
p p<br />
Null. Wir nehmen u, v ∈ F × p an. Es gibt k, l ∈ N<br />
mit u = g k <strong>und</strong> v = g l . Man folgert<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
uv g<br />
k+l<br />
u v<br />
= = (−1) k+l = (−1) k (−1) l =<br />
p p<br />
p p<br />
mit Hilfe obiger Bemerkung.<br />
□<br />
Folgerung 6.1.4 Nach dem 2. Teil des obigen Satzes gilt in F × p : Das Produkt<br />
von zwei Quadraten ist ein Quadrat. Das Produkt von einem Quadrat mit einem<br />
Nicht-Quadrat ist ein Nicht-Quadrat. Das Produkt von zwei Nicht-Quadraten ist<br />
ein Quadrat! Letzteres ist in Q × ganz anders.<br />
Sei nun b ≥ 3 eine ungerade Zahl <strong>und</strong> b = p e1<br />
1 · · · pet t die Primfaktorzerlegung von<br />
b (p i paarweise verschiedene Primzahlen). Für a ∈ Z ist das Jacobi-Symbol<br />
definiert durch<br />
( a<br />
) ( ) e1<br />
( ) et<br />
a a<br />
= · · · .<br />
b p 1 p t<br />
Man beachte: b muß eine ungerade Zahl mit b ≥ 3 sein. An a ∈ Z werden<br />
keine weiteren Bedingungen gestellt.<br />
Beispiel: Ich möchte ( 2<br />
35)<br />
berechnen. Dazu kann man wie folgt vorgehen.<br />
Per Definition gilt ( (<br />
2<br />
35)<br />
=<br />
2<br />
( 2<br />
)<br />
5)<br />
7 . Ferner gilt F<br />
×2<br />
5 = {[1] 5 , [4] 5 } <strong>und</strong> F ×2<br />
7 =<br />
{[1] 2 7, [2] 2 7, [3] 2 7} = {[1] 7 , [4] 7 , [2] 7 }. Es folgt ( (<br />
2<br />
35)<br />
=<br />
2<br />
( 2<br />
5)<br />
7)<br />
= (−1)(+1) = −1. □<br />
Bemerkung 6.1.5 Sei b ≥ 3 ungerade.<br />
1. Sei a, a ′ ∈ Z. Wenn a = a ′ mod b gilt, dann muß a = a ′ mod p i für alle i<br />
gelten <strong>und</strong> daher gilt ( ) ( )<br />
( )<br />
a<br />
b =<br />
a ′<br />
b<br />
. Es hat Sinn [a]b<br />
b<br />
:= ( )<br />
a<br />
b zu definieren.<br />
2. Für u, v ∈ Z gilt ( ) (<br />
uv<br />
b = u<br />
) ( v<br />
)<br />
b b . Dies folgt unmittelbar aus der entsprechenden<br />
Rechenregel für das Legendre-Symbol.<br />
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